Analyse à vitesse variable

1.6.2.1 Représentation temps-fréquence : Transformée de

Fou-rier à court terme

La transformée de Fourier à court terme TFCT (en anglais : Short Time Fourier Transform STFT) ou Transformée de Fourier à Fenêtre Glissante est une TF du signal temporel x(t) dans une fenêtre h(t) loca-lisée dans le temps. Elle est obtenue en déplaçant la fenêtre tout au long du signal. La STFT d’un signal x(t) est définie par :

ST F T (t, f ) =

Z ∞

−∞

x(τ )h(τ − t)e^{−i2πf τ}dτ (1.26)

On obtient une représentation temps-fréquence du signal. Les incon-vénients de cette technique sont : le temps de calcul important car elle est représentée sur deux dimensions (temps et fréquence) et la résolution temps-fréquence fixe car on ne peut pas être à la fois précis en temps et en fréquence (bonne localisation temporelle c’est-à-dire mauvaise locali-sation fréquentielle et vice versa),[7].

1.6.2.2 Transformée en ondelettes

La transformée en ondelettes est une méthode d’analyse temps-échelle. Elle a récemment été très populaire et elle a été appliquée au diagnostic des défauts des machines tournantes [89, 90, 91, 92, 93, 94, 95]. Cette mé-thode compare le signal avec une fonction de référence nommée ondelette. La transformée en ondelettes continue est définie par l’équation :

W T (b, a) = ¹ p|a| Z x(t).ψ^∗ t − b a  .dt (1.27)

1.6 Traitement des signaux 45

Avec : ψ est l’ondelette utilisée, ψ∗ son complexe conjugué, a est le facteur d’échelle de l’ondelette et b le décalage temporel de la fonction ondelette.

Les résolutions temporelle et fréquentielle de la transformée en onde-lettes ne sont pas constantes sur toutes les fréquences. Si l’intervalle de temps est long, l’information basse fréquence est à haute résolution. Si l’intervalle de temps est plus court, l’information haute fréquence est à haute résolution. Dans [96], ils ont montré que les deux méthodes TFCF et transformée d’ondelette ont montré un succès pour la détection des dé-fauts en utilisant les courants d’une machine (MCSA) dans les conditions non stationnaires contrairement à l’FFT.

1.6.2.3 Order tracking

Les méthodes précédentes tendent à contourner les limites de l’ana-lyse de Fourier dans le cas non stationnaire. La raison principale est que les données de départ sont échantillonnées en fonction du temps. A fré-quence variable la représentation spectrale classique n’a plus de sens. L’order tracking aborde ce problème de manière différente. L’idée est de remplacer l’échantillonnage temporel traditionnel par un échantillon-nage angulaire. Cette méthode est très utilisée en mécanique et dans le domaine des moteurs thermiques. L’angle considéré peut être choisi de plusieurs manières mais le plus souvent il est lié à la position mécanique de l’arbre. Dans ce cas, un défaut périodique n’est plus caractérisé par un nombre d’impacts par seconde (grandeur dépendant de la vitesse) mais par un nombre d’impacts par tour. L’order tracking nécessite de disposer d’une mesure ou d’une estimation de l’angle mécanique et de procéder à un échantillonnage direct ou indirect du signal à analyser.

Afin d’illustrer le principe de l’order tracking, nous allons utiliser un simulateur de machine synchrone LSRPM commandée en vitesse par commande vectorielle. Le simulateur est présenté sur la figure 1.16. La machine étudiée est un moteur synchrone à aimants permanents 7800W-750tr/mn (nombre de paires de pôles P = 4). Le couple nominal du moteur est TrN = 7N.m. Le générateur de défaut est toujours caractérisé par une perturbation du couple résistant de 9 impacts/tour.

Figure. 1.16 – Simulateur du moteur LSRPM

Le moteur tourne à une vitesse de rotation variable autour de la vitesse nominal 750 tr/min suivant un cycle allant de [wn− w_n/4; w_n+ w_n/4] u [60; 100]rad/s comme le montre la figure 1.17.

Nous avons montré dans le chapitre 2 que la vitesse instantanée est le signal le plus sensible aux indicateurs de défauts, ce signal sera utilisé dans l’analyse suivante. Si l’on effectue une FFT directe de la vitesse (voir figure 1.17), on peut deviner les fréquences liées au défaut autour de (Fd= 9 × 750/60 = 112.5Hz) mais le spectre est perturbé à cause des variations de la vitesse. La variation de fréquence des composantes liées au défaut sont montrées plus clairement avec une représentation 3D en temps-fréquence sur la figure 1.18.

1.6 Traitement des signaux 47 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 60 80 100 0 100 200 300 400 500 600 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ¹⁰ -3

Spectre fréquence instantanée IF

Figure. 1.17 – Vitesse de rotation mécanique (Wm) et son spectre (FFT).

Temps-Fréquence 1 2 3 4 5 6 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Fréquence (Hz) -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 Puissance(dB) Fd 2 Fd 3 Fd

On fait maintenant l’hypothèse qu’on connaît la position mécanique du rotor (θm). En utilisant cette position on peut exprimer les signaux en fonction de θm et non de t. Pour pouvoir utiliser la FFT sur ce nou-veau signal, il faut que la discrétisation angulaire du signal soit réalisée à pas constant ∆θm. Cette phase sera détaillée dans le paragraphe 2.2.4.2. Sur la figure 1.19, est représenté le spectre de la vitesse de la machine, ré-échantillonnée en fonction de θm à pas angulaire constant. L’échelle des abscisses n’est plus exprimée en Hz mais en événements par tour (evt/tour). Les ordres 9, 18, 27 . . . sont maintenant facilement détectables.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 60 80 100 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 2 4 6 8 ¹⁰ -3 Spectre rééchantillonné

Figure. 1.19 – Vitesse de rotation et son spectre ré-échantillonné. Il est donc possible, à partir d’un ré-échantillonnage angulaire, de re-venir à un représentation stationnaire des signaux et d’utiliser à nouveau des techniques simples telle que la FFT. Toutefois cette technique néces-site de connaître la position mécanique de la machine (θm) et de mettre en oeuvre une technique d’échantillonnage angulaire à pas constant ∆θm. Le chapitre suivant présente la stratégie adoptée et qui consiste à estimer la vitesse de la machine à partir des mesures électriques puis d’en déduire la position mécanique par intégration.

Chapitre 2

Order Tracking par estimation de