Chapitre II: Analyse et synthèse des systèmes LPV
II.1. Introduction
La terminologie «linéaire à paramètre variable» a été introduite dans [17] pour distinguer les systèmes LPV des deux systèmes LTI et LTV. La distinction des systèmes LTI est claire dans la mesure où les systèmes LPV sont non stationnaires. La distinction des systèmes LTV est moins apparente, car pour toute trajectoire du vecteur paramètres 𝜌, la dynamique de (𝐼. 4) constitue un système linéaire variant dans le temps. Au contraire, les systèmes LPV se distinguent des systèmes LTV du point de vue de l'analyse et de la synthèse. L'analyse et la synthèse des systèmes LPV est principalement basée sur des approches d'analyse de stabilité, de performance et le contrôle, car un système LPV n'est rien d'autre qu'un système incertain avec des paramètres variables dans le temps. Dans ce contexte, au cours des vingt-cinq dernières années, les problèmes de stabilité et de conception d'une commande pour un système LPV donné qui maintient la stabilité en boucle fermée et garantissent en même temps des exigences de performance données en présence de paramètres variables dans le temps largement étudié sont résolus informatiquement avec élégance grâce au développement théorique des outils d’analyse et de synthèse de certaines classes de systèmes projetés aux systèmes LPV.
Le but du chapitre est de présenter ces outils, mais d'abord, quelques définitions préliminaires sur la stabilité des systèmes dynamiques sont nécessaires. Le reste de ce chapitre on présente divers résultats sur l'analyse pour les systèmes LPV avec ses différentes représentations exposées au chapitre I. Le chapitre débuté par quelques définitions générales de la stabilité soutenue par la théorie de Lyapunov et la stabilité quadratique suivi en complément par l’aspect de robustesse et la performance robuste des systèmes LPV en exposant des théorèmes importants. Enfin, la dernière partie du chapitre est consacrée à la stabilisation quadratique des systèmes LPV par retour d’état statique et retour de sortie dynamique.
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nous essayons d’apporter une énonciation simple sur la stabilité de Lyapunov et la stabilité entrée- sortie qui ont été largement utilisées dans la commande [100,101].
II.2.1. Théorie de Lyapunov
La méthode de Lyapunov pour vérifier la stabilité asymptotique est la technique applicable aux systèmes dynamiques. Nous présentons ici un ensemble de définitions sur la stabilité (asymptotique, exponentielle, etc…) d'un système non linéaire variant dans le temps. L' "uniformité" est nécessaire pour caractériser les systèmes variants dans le temps dont le comportement a une certaine uniformité pour différentes valeurs du temps initial 𝑡0 (référer aux [100,101] pour plus de détails).
Nous définissons un système non linéaire variant dans le temps:
𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥(𝑡0) = 𝑥0 (𝐼𝐼. 1) Par hypothèse, les conditions garantissant l’existence et l’unicité de solutions de la fonction 𝑓: ℝ𝑛× ℝ+ → ℝ𝑛 supposée localement Lipschitzienne dès lors que la dérivée partielle de 𝑓 par rapport à 𝑥 est continue et continue par morceaux par rapport à 𝑡.
Définition II.2.1.1 (Condition de Lipschitz)
La fonction 𝑓 est localement Lipschitzienne par rapport à 𝑥 si, ∀𝐾 ⊂ 𝒟, ∃𝐿 > 0/∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐾2, ∀𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1] tel que
‖𝑓(𝑥, 𝑡) − 𝑓(𝑦, 𝑡)‖ ≤ 𝐿‖𝑥 − 𝑦‖ (𝐼𝐼. 2) Définition II.2.1.2 (Point d’équilibre)
Le système (𝐼𝐼. 1) possède le point d’équilibre 𝑥𝑒 s’il vérifie
𝑓(𝑥𝑒, 𝑡) = 0, ∀𝑡 ≥ 𝑡0 (𝐼𝐼. 3) Définition II.2.1.3 (Stabilité simple)
Le point d'équilibre 𝑥𝑒 est simplement stable si, ∀𝜖 > 0, ∀𝑡0 ≥ 0, ∃𝛿(𝜖, 𝑡0), tel que
‖𝑥(𝑡0) − 𝑥𝑒‖ < 𝛿 ⇒ ‖𝑥(𝑡) − 𝑥𝑒‖ < 𝜖, ∀𝑡 ≥ 𝑡0 (𝐼𝐼. 4) Définition II.2.1.4 (Stabilité uniforme)
Le point d'équilibre 𝑥𝑒 est uniformément stable si, ∀𝜖 > 0, 𝛿(𝜖) > 0 tel que
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Définition II.2.1.5 (Stabilité asymptotique)
Le point d'équilibre 𝑥𝑒 est asymptotiquement stable si, ∀𝑡0 ≥ 0, ∃𝑐 > 0 tel que ‖𝑥(𝑡0) − 𝑥𝑒‖ < 𝑐 ⇒ lim
𝑡→+∞‖𝑥(𝑡)‖ → 𝑥𝑒 (𝐼𝐼. 6) Définition II.2.1.6 (Stabilité asymptotique uniforme)
Le point d'équilibre 𝑥𝑒 est uniformément asymptotiquement stable si:
la stabilité uniforme est vérifiée,
la stabilité asymptotique est vérifiée.
On dit que la stabilité asymptotique uniforme est globale si les conditions de stabilité asymptotique uniforme sont vérifiées avec 𝑐 = +∞.
Définition II.2.1.7 (Stabilité exponentielle)
Le point d'équilibre 𝑥𝑒 est exponentiellement stable si, ∀𝑡0 ≥ 0, il existe deux réels positives 𝛼 et 𝜆 tel que pour 𝑥(𝑡0) suffisamment petit,
‖𝑥(𝑡) − 𝑥𝑒‖ ≤ 𝛼‖𝑥(𝑡0) − 𝑥𝑒‖𝑒−𝜆(𝑡−𝑡0), ∀𝑡 ≥ 𝑡
0 (𝐼𝐼. 7) Définition II.2.1.8 (Stabilité exponentielle uniforme)
la stabilité asymptotique uniforme est vérifiée,
la stabilité exponentielle est vérifiée.
On dit que la stabilité exponentielle uniforme est globale si les conditions de stabilité exponentielle uniforme sont vérifiées pour toute condition initiale 𝑥(𝑡0).
Notez que la stabilité exponentielle implique une stabilité asymptotique uniforme mais que l'inverse n'est pas nécessairement vrai.
On assume que le système (𝐼𝐼. 1) a au moins une solution 𝑥(. ) sur ℝ+. On le suppose également que l'origine 𝑥0 = 0 est un point d'équilibre pour ce système, c’est-à-dire,
𝑓(0, 𝑡) = 0, ∀𝑡 ∈ ℝ+ (𝐼𝐼. 8) cette dernière notion est fondamentale dans la théorie de Lyapunov.
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II.2.2. Méthode directe de Lyapunov
La second méthode de Lyapunov appelée aussi méthode directe [102] généralise la constatation que le comportement stable ou instable d’un système est relié à la caractéristique et à l’évolution de sa fonction d’énergie généralement de forme
𝑉(𝑥) = 𝑥𝑇𝑃𝑥 (𝐼𝐼. 9) où 𝑥 ∈ ℝ𝑛×𝑛 l’état du système et 𝑃 ∈ ℝ𝑛×𝑛 une matrice symétrique définie positive.
Avantages:
Étude de la stabilité par examen de l’énergie totale du système,
Système linéaires et non linéaires,
Ne nécessite pas la solution de l’équation d’état, ni la connaissance des pôles du système. Candidat de Lyapunov
Il y a deux propriétés essentielles que la fonction d’énergie possède, à savoir la propriété d’être maximum ou minimum au point d’équilibre qui a tendance à être stable pour le minimum de la fonction d’énergie. C’est ce type de particularité que présente le candidat de Lyapunov.