Analyse spectrale dans le cas d’une géométrie séparable

Dans ce qui suit, pour étudier la convergence, on considérera le terme source f “ 0 et on cherchera à montrer que pb

pnq et p `

pnq tendent vers 0 pour toute donnée initiale non nulle.

Dans un premier temps, nous allons étudier la convergence dans le cas particulier d’une géo- métrie séparable qui nous permettra de faire des calculs analytiquement. Nous allons considérer un domaine Ω rectangulaire (voir Figure1.6) défini par :

Ω “ r0, `8rˆr´h, hs. On découpera alors ce domaine en

et l’algorithme de Schwarz associé sera donc : Trouver pb pnqP H 1_pΩ bq telle que ∆pb pnq` ω 2<sub>p</sub>b pnq“ 0 dans Ωb, Bνpbpnq “ 0 sur BΩbX BΩ, pBν` γqpbpnq“ pBν ` γqp ˘ pnq sur Σ ` b, et trouver p` pnqP H 1

locpΩ`aq sortante telle que

∆p` pnq` ω 2_p` pnq“ 0 dans Ω ` a, Bνp`<sub>pnq</sub> “ 0 sur BΩ`a X BΩ, p` pnq“ p b pn´1q sur Σ ` a. (1.39)

⌦

⌃

⌃

⌦

Figure 1.6 – Géométrie du demi-guide régulier.

Pour un choix de γ tel que Impγq ‰ 0, cet algorithme est bien posé et consistant (on le déduit de la proposition 1.3.3). De plus, étant donné la géométrie, nous pouvons utiliser la décomposition modale de la solution non seulement dans Ω`

a mais aussi dans Ωb. Nous avons

donc :

— dans Ωb, pbpnq qui s’exprime comme une somme sur les modes aller-retour :

pb_pnq“ ÿ kě0 B_pnqk `eiβkx ` e´iβkx˘ ϕ kpyq, (1.40)

où B_pnqk est un complexe. On trouve cette expression car on impose la condition de Neu-

mann Bpb

pnq“ 0 sur Σ0 “ tx “ 0u ˆ r´h, hs.

— dans Ω`

a, p`pnq qui s’écrit comme une somme sur les modes sortants : p` pnq“ ÿ kě0 Ak_pnqeiβkpx´aq_ϕ kpyq, (1.41) où Ak pnq est un complexe.

En utilisant les conditions de transmission définies sur Σ˘

a et Σ

˘

b , on déduit la Proposition 1.3.5 Nous avons les relations explicites entre Bk

pn´1q et B k pnq, et entre A k pn´1q et Ak_pnq : B_pnqk “ λkBpn´1qk , et A k pnq “ λkAkpn´1q, où les coefficients complexes λk sont donnés par :

λk“

eiβkl_piβ

k` γqpeiβka` e´iβkaq

eiβkb_piβ

k` γq ` e´iβkbpγ ´ iβkq

1.3. Étude de méthodes itératives de résolution 31 Preuve : Pour montrer ce résultat, partons de pb

pn´1q donné par la formule (1.40). On déduit

de la condition de transmission p` pnq “ p

b

pn´1q sur Σ `

a, et en utilisant l’orthogonalité des modes

entre eux, que pour tout k :

Ak_pnq“ B_pn´1qk peiβka<sub>` e</sub>´iβka<sub>q. (1.42)</sub> Puis, on itère notre processus en utilisant la condition pBν ` γqpbpnq “ pBν` γqp

˘ pnq sur Σ ` b : iβkBpnqk pe iβkb<sub>´ e</sub>´iβkb<sub>q ` γB</sub>k pnqpe iβkb _{` e}´iβkb_{q “ A}k pnqpiβke

iβkl_{` γe}iβkl_q,

ôBk_pnq“ Ak_pnq ˆ eiβkl_piβ k` γq eiβkb<sub>piβ</sub> k` γq ` e´iβkbpγ ´ iβkq ˙ , ôBk_pnq“ B_pn´1qk e iβkl_piβ

k` γqpeiβka` e´iβkaq

eiβkb_piβ

k` γq ` e´iβkbpγ ´ iβkq

.

(1.43)

On retrouve le résultat énoncé et obtient la même relation pour Ak_pnq en utilisant simplement

l’équation (1.42). _

Étant donné cette proposition, nous savons que le processus itératif (1.39) est convergent si et seulement si :

Sup

kPN

|λk| ă 1. (1.44)

Remarque 1.3.6 Il est intéressant de noter que pour le choix particulier du paramètre γ “

´iβk, on annule le coefficient λk.

Avec l’expression explicite des λk, on peut montrer le

Lemme 1.3.7 La limite de |λk| pour k tendant vers `8 est :

— pour l “ 0, lim kÑ`8|λk| “ 1, — pour l ą 0, lim kÑ`8|λk| “ 0.

Preuve : Commençons par rappeler que pour k ą k0, où k0 est l’indice du dernier mode

propagatif, nous avons :

βk“ i d ˆ kπ 2h ˙2 ´ ω2, où ˆ kπ 2h ˙2 ´ ω2 P R`.

Ainsi, pour tout k Ñ `8, l’expression des λk devient équivalente à :

λk “ e´|βk|l_p´|β k| ` γqpe´|βk|a` e|βk|aq e´|βk|b_p´|β k| ` γq ` e|βk|bpγ ` |βk|q „ e´|βk|l´e |βk|a e|βk|b “ ´e ´2|βk|l_,

dont on déduit directement le résultat donné. _

Cas sans recouvrement : Si l “ 0, l’algorithme ne peut pas converger car les coefficients λk

tendent en module vers 1 (d’après le lemme ci-dessus).

Cas avec recouvrement : Si l ą 0, nous ne savons a priori pas si l’algorithme converge.

Cependant, pour les modes évanescents, nous savons que les λk associés tendent exponentiel-

lement vite (avec k) vers 0. En ce sens, on a amélioré la situation par rapport au cas l “ 0 et cette propriété des λk sera importante pour la suite (voir section 1.3.4).

De plus, dans le cas avec recouvrement la convergence peut être assurée pour les basses

fréquences. En effet, si on considère

ω ă kπ

2h,

nous avons alors un unique mode propagatif associé à k “ 0. En choisissant (voir remarque

1.3.6)

γ “ ´iω, (1.45)

on annule le coefficient λ0 associé à ce mode propagatif. Pour les modes évanescents, c’est à dire k ě 1, on peut facilement montrer que (voir la démonstration du lemme 1.3.7)

@k ě 1, lim

lÑ`8|λk| “ 0, (1.46)

où on rappelle que l représente la taille du recouvrement. Par conséquent, on peut toujours choisir un recouvrement "suffisant" et γ pour avoir |λk| ă 1 quel que soit k, ce qui assure la

convergence.

Afin de mieux appréhender ces résultats, nous avons tracé sur la Figure 1.7 le module de λk

en fonction de k, pour les paramètres :

ω “ 30, γ “ ´iω, et l P t0, 1, 2u.

On indique par la droite verticale verte la position du dernier mode propagatif k0 et par la droite

horizontale rouge |λ| “ 1. Sur ces résultats numériques, nous retrouvons bien les propriétés des

λk vues précédemment, c’est à dire :

— pour γ “ ´iω, le coefficient λ0 “ 0,

— si l “ 0, |λk| tend vers 1,

— si l ą 0, |λk| décroît exponentiellement vite avec k pour les modes évanescents.

De plus, on peut noter qu’augmenter le recouvrement n’améliore pas nécessairement la situation. Par exemple, on voit sur la Figure1.7que |λk0| augmente en module en passant de l “ 1 à l “ 2.

Figure 1.7 – Modules des λk en fonction de k avec γ “ ´iω pour ω “ 30. De gauche à droite,

nous avons utilisé plusieurs recouvrements l P t0, 1, 2u. La ligne verticale verte représente le numéro k0 du dernier mode propagatif.

1.3. Étude de méthodes itératives de résolution 33

Maintenant, sur la Figure 1.8, nous avons tracé

ρpλkq “ max kPN |λk|,

en fonction de la fréquence pour les paramètres suivants :

ω P r0, 50s, l P t0, 1u, et γ “ ´iω.

La ligne rouge horizontale indique la droite ρpλq “ 1, valeur que ρpλkq ne doit pas dépasser pour

avoir la convergence. On observe ici

— pour l “ 0 : l’algorithme ne peut jamais converger et ρpλkq tend vers 1 par valeur

supérieure (attention à l’échelle),

— pour l ą 0 : on arrive à assurer la convergence pour les basses fréquences. Cependant, pour de plus hautes fréquences le recouvrement ne permet plus d’assurer la convergence.

Figure 1.8 – ρpλkq en fonction de la fréquence ω P r0, 50s en considérant γ “ ´iω. À gauche,

l “ 0 et à droite, l “ 1.

Il serait intéressant de chercher les paramètres l et γ "optimaux" (dans le sens de minimiser

ρpλkq) ou encore utiliser des techniques de relaxation (voir [21, 49]) pour essayer d’obtenir la

convergence. Une autre piste serait l’étude d’autres conditions de transmission aux bords des sous-domaines, en particulier l’utilisation de conditions optimisées (voir par exemple [42,41,49]). Cependant, cette étude est limitée au cas d’une géométrie séparable, et ne s’étend pas à une géométrie arbitraire de Ωb pour laquelle nous n’avons plus d’expression explicite des λk.