La méthode Grey-Taguchi est basée sur la procédure d'optimisation de la méthode Taguchi et adopte une Analyse Relationnelle Grise (GRA) pour transférer des problèmes multi-réponse à des problèmes de réponse unique. La théorie du système gris proposé par Deng a été prouvée pour être utile pour traiter les informations insuffisantes, incomplètes et incertaines [18].
La théorie Grey-Taguchi dite Relationnelle Grise peut résoudre les problèmes flous et ceux qui ont des données incomplètes. Il peut également compenser les lacunes de la régression statistique et d'analyser efficacement et les relations entre les séquences dans des situations impliquant des données limitées. Par ailleurs, il est un procédé qui permet de mesurer la corrélation entre les séries et appartient à la catégorie de la méthode d'analyse de données ou d’une méthode géométrique. En outre, c’est une méthode efficace pour optimiser les interrelations complexes entre les réponses multiples. Dans l'Analyse Relationnelle Grise, Lorsque les unités dans lesquelles la
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Grise.
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performance est mesurée sont différentes pour les différents attributs, l'influence de certains attributs peut être négligée. Cela peut également se produire si certaines performances ont une très grande portée. En outre, si les objectifs et les orientations de ces attributs sont différents, cela entraînera des résultats incorrects dans l’analyse. Il est donc nécessaire de traiter toutes les valeurs de performance pour chaque solution de rechange dans une séquence de comparabilité (processus de transfert de la séquence d'origine à une séquence comparable) dans un processus analogue à la normalisation.
Ce processus est connu comme la génération Relationnelle Grise. Dans notre travail, la méthode Grey-Taguchi proposée considère le problème multi-réponse comme un problème de prise de décision multi-attributs.
L’analyse Grey-Taguchi résout les problèmes, problème multi-réponse en combinant l’ensemble de valeurs attribuées de performance étant considéré pour toutes les alternatives en une seule valeur. Cela réduit le problème d'origine à un problème de prise de décision unique objectif. Le processus de combinaison des valeurs d'attribut en une seule valeur est similaire à la méthode adoptée dans les méthodes de pondération Ratio d'échelle [18].
II.2.2. Optimisation par L'Analyse Relationnelle Grise (Grey Relational
Analysis GRA):
Les caractéristiques multiples de performance ont été évaluées en utilisant l'Analyse Relationnelle Gris (GRA). Dans cette analyse, l'optimisation des caractéristiques multiples de performance peuvent être convertis à l'optimisation de la Qualité Relationnelle Unique Grise. Les étapes suivantes sont considérées pour l'Analyse Relationnelle Gris (GRA) [20].
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II.2.2.1. Etape 1 : La normalisation
Les rapports S/N obtenus par la méthode de Taguchi sont normalisés dans l'intervalle 0 à 1. Si le but est la minimisation du critère (les critères de rugosité et les efforts de coupe) alors la séquence originale est normalisée comme suit :
- Le plus petit est le meilleur (The-smaller-the-better) :
xi(k) = max (xi0 (k))−xi0(k)
max (xi0(k))−min (xi0(k))
(II.5)
Si le but est la maximisation du critère (volume de copeau enlevé par unité de temps, MRR) alors la séquence originale est normalisée comme suit :
- Le plus grand est le meilleur (The-larger-the better) :
xi (k) = xi0(k)−min (xi0 k )
max ( xi0(k))−min (xi0(k))
(II.6) Où : xi (k) valeur normalisée de la séquence.
max (xi0 (k)) la plus grande valeur de xi0 (k) la kième réponse. min (xi0 (k)) la plus petite valeur de xi0 ( k) la kième réponse.
II.2.2.2. Etape 2 : Calcul des coefficients du Relationnel Gris
Les coefficients du Relationnel Gris (Grey Relational Coefficients) peuvent être calculés comme suit :
𝜉i(k) = ∆𝑚𝑖𝑛+ψ∆𝑚𝑎𝑥
∆0𝑖 𝑘 +ψ∆𝑚𝑎𝑥 0 < ξ𝑖(𝑘) ≤ 1
(II.7) Où :
Δ0i(k) est la différence en valeur absolue entre x0k (k) et xik (k). Δmin est la plus petite valeur de Δ0i(k).
Δmax est la plus grande valeur de Δ0i(k) coefficient de distinction et sa valeur est comprise entre 0 à 1.
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∆0i(k) = x0(k) − xi(k)
(II.8) ∆min = min min x0(k) − xi(k)
(II.9) ∆max= max max x0(k) − xi(k)
(II.10) -La valeur de ψ est en générale égale à (0.5).
II.2.2.3. Etape 3 : Calcul du GRG (Grey Relational Grade)
Après avoir calculé la moyenne des coefficients du Relationnel Gris (Grey Relational Coeficients), les γi (Grey Relational Grade) peuvent être obtenu comme suit :
𝛼𝑖 = 1𝑛 𝑛 ξ𝑖 (𝑘)
𝑘=1
(II.11)
Où: n est le nombre des caractéristiques de performance.
La plus grande valeur de "Grey Relational Grade" est considérée comme la relation la plus forte entre la séquence idéale (x0 (k)) et la séquence donnée (xi (k)). La séquence idéale (x0 (k)) est la meilleure réponse dans le processus expérimental. Ainsi, le Grade Relationnel (Relational Grade) supérieur correspond à la combinaison des paramètres la plus proche de l'optimale.
II.2.3. Test de confirmation
Après avoir évalué la configuration optimale des paramètres, l'étape suivante consiste à prévoir et vérifier l'amélioration des caractéristiques de qualité en utilisant la combinaison Paramétrique optimale. L’estimation du Grade Relationnel Gris 𝝃 i en utilisant le niveau optimal des paramètres de conception qui peut être calculée comme suit :
ξ 𝑖 = ξ + 𝑞𝑖=1ξ 𝑖∗− ξ
(II.12) Où:
∀jϵi ∀k ∀jϵi ∀k
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𝝃 : La moyenne totale du Grade Relationnel Gris;
𝝃 𝒊∗ : La moyenne totale du Grade Relationnel Gris au niveau optimal des paramètres qui ont un effet significatif sur les caractéristiques de performance multiples.
𝝃 i : L’estimation du Grade Relationnel Gris.
Le test de confirmation expérimentale est la dernière étape dans la vérification des résultats établis sur la base de l'approche de conception de Taguchi. Les conditions optimales sont fixées pour les facteurs importants (les facteurs insignifiants sont fixés à des niveaux économiques).
La moyenne des résultats de l'expérience de confirmation est comparée à la moyenne prédite en se basant sur les paramètres et les niveaux testés. L'expérience de confirmation est une étape cruciale et est fortement recommandé par Taguchi pour vérifier les résultats expérimentaux [18].
II.2.4. Analyse de variance ou ANOVA
II.2.4.1. Introduction à l’analyse de variance (ANOVA)
Au cœur du problème de la vérification d’hypothèses statistiques se trouve le fait qu’il est toujours possible d’attribuer à des variations aléatoires une partie des différences observées entre les moyennes des échantillons. Dans une expérience, toutes les sources incontrôlables de variabilité qui affectent la mesure constituent ce qu’il est convenu d’appeler l’erreur expérimentale l’une des sources les plus importantes de variabilité incontrôlable provient des différences individuelles. Une autre source d’erreur provient de l’erreur de mesure, une mauvaise lecture de l’instrument, une erreur de transcription, un arrondissement, etc. D’autre part, une situation expérimentale n’est jamais parfaitement identique d’un moment à l’autre, puisque le sujet perçoit les deux événements comme étant successifs. Il est impossible de créer des situations expérimentales exactement identiques. De plus, ces sources d’erreurs ne sont pas systématiques, elles sont aléatoires et indépendantes des effets du traitement.
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L’analyse de la variance (ANOVA) a pour objectif d’étudier l’influence d’un ou plusieurs facteurs sur une variable quantitative. Nous nous intéresserons ici au cas où les niveaux, ou modalités, des facteurs sont fixés par l’expérimentateur. On parle alors de modèle fixe; C’est la comparaison de moyennes pour plusieurs groupes (> 2). Il s'agit de comparer la variance intergroupe (entre les différents groupes : écart des moyennes des groupes à la moyenne totale) à la variance intragroupe (somme des fluctuations dans chaque groupe).
S'il n'y a pas de différence entre les groupes, ces deux variances sont à peu près égales. Sinon, la variance intergroupe est nécessairement la plus grande.
L’ANOVA se résume à une comparaison multiple de moyennes de différents échantillons constitués par les différentes modalités des facteurs. Les conditions d’application du test paramétrique de comparaison de moyennes s’appliquent donc à nouveau [11].
Dans le tableau d’ANOVA, P-value est la probabilité (allant de 0 à 1) que les résultats observés dans une étude (ou résultats plus extrêmes) ont pu se produire par hasard.
Si P > 0,05, le paramètre est insignifiant (Non signifiant);
Si P < 0,05, le paramètre est signifiant.
La somme des carrés (SC) est utilisée pour estimer le carrée de la déviation de la moyenne générale. 𝑆𝐶𝑓 =𝑁𝑁 𝑛𝑓 𝑁𝑛𝑓(𝑦𝑖 𝑖=1 − 𝑦 )² 𝑦 = 𝑁1 𝑁 𝑦𝑖 𝑖=1 (II.13) Où :
𝑦 : La moyenne des réponses,
𝑦𝑖: La réponse moyenne observée dans les expériences où le facteur f prend son ième niveau,
𝑁 : Nombre total d'expériences, 𝑁𝑛𝑓: Niveau de chaque facteur f.
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La moyenne des carrés (MC) est estimée en divisant la somme des carrés sur le degré de liberté df.
𝑀𝐶𝑖 = 𝑆𝑆𝑖
𝑑𝑓𝑖 (II.14)
Afin de vérifier l'adéquation du modèle, l’indice de Fisher F-value est utilisé avec la base que les valeurs de F-calculées devraient être supérieures à celles obtenues à partir du F-table.
𝐹𝑖 = 𝑀𝐶𝑖
𝑀𝐶𝑒 (II.15)
Avec : MCe les carrés moyens des erreurs.
La dernière colonne du tableau d’ANOVA (Contribution en %), montre la contribution des facteurs (en pourcentage %) sur la variation totale, indiquant le degré d'influence sur le résultat.
𝐶𝑜𝑛𝑡. % = 𝑆𝐶𝑓
𝑆𝐶𝑇 × 100 (II.16)
II.2.4.2. Graphe des effets des facteurs
Il s'agit d'une manière commode de représenter l'évolution de la réponse en fonction des niveaux des différents facteurs. Il consiste à tracer pour chaque facteur la moyenne des réponses obtenues lorsqu'il prend ses différents niveaux. L'exemple de la (Figure II.2) correspond à un facteur A1 à trois niveaux, un facteur A2 à deux niveaux et un facteur A3 à quatre niveaux [11].
II.2.4.3. Moyenne générale
Elle correspond à la moyenne de la réponse sur les m essais.
𝑀 = 𝑚𝑖=1𝑌𝑖
𝑚 (II.17)
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II.2.4.4. Effet d'un facteur
L'effet 𝐸𝐴𝑖𝑗du facteur A au niveau j correspond à la moyenne des réponses lorsque le facteur A est au niveau j soustrait de la moyenne M [11].
𝐸𝐴𝑖𝑗 = (𝑀𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑢 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑎𝑢 𝑗) − 𝑀 (II.18)
Remarque : la somme des effets d'un facteur à tous ses niveaux est nulle . 𝐸𝐴𝑖𝑗 =
𝑛𝐴𝑖
𝑗 =1 0 (II.19) o Exemple de calcul à 3 niveaux :
L'effet de paramètre au niveau A1 = mA1 – m = 13 (ŋ1 + ŋ2 + ŋ3 ) - m.
L'effet de paramètre au niveau A2 = mA2 – m = 1
3 (ŋ1 + ŋ2 + ŋ3 ) - m.
L'effet de paramètre au niveau A3 = mA3 – m = 1
3 (ŋ1 + ŋ2 + ŋ3 ) – m.
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II.2.5.Conclusion
A partir des années 50 le statisticien Taguchi élabora des tables permettent de construire des plans d’expériences adopter à la majorité des problèmes industrielles. Taguchi a contribué à une méthodologie facile à appliquer en s’attaquant à l’amélioration de la qualité. Pour conclure cette introduction on résume les principaux avantages de cette méthode par rapport aux méthodes traditionnelles d’expérimentation :
– Diminution du nombre d’essais ;
– Possibilité d’étudier un très grand nombre de facteurs ; – Détection des éventuelles interactions entre facteurs ; – Modélisation très aisée des résultats ;
Chapitre III: Comportement dynamique des structures.
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Comportement dynamique des structures.
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