Analyse des résultats pour le cas à plusieurs degrés de liberté

Le résultat de la résolution du système d’équations (4.38) est une paire de paramètres T,

pour chaque valeur propre j

k, pour chaque valeur de fréquence considérée f et pour une position de c

l’outil x . Comme dans la section 4.2.2, nous construisons les diagrammes de stabilité pour différentes _P

positions de l'outil pendant la passe. Les paramètres d’usinage correspondent, comme précédemment, à la 16ème _passe.

Dans la figure 4.9, le diagramme tridimensionnel de stabilité du processus de coupe est, comme précédemment, tracé dans l’espace des 3 paramètres x_P, , f_rot : coefficient de raideur de coupe,

rot

f fréquence de rotation de la pièce et x position. Sur ce tracé, une couleur correspond à une _P

famille de lobes et est associée une valeur propre j

k (ces dernières évoluant de manière continue avec

l’avancement de l’outil). Il y a autant de valeurs propres que de degrés de liberté. Les figures 4.10(а), 4.11(a), 4.12(a) et 4.18 sont des coupes de ce diagramme de stabilité tridimensionnel.

Figure 4.9 – Diagramme de stabilité dans l’espace des paramètres x_P, , f_rot

La figure 4.10 (а) représente une coupe du diagramme de stabilité dans le plan des paramètres ,f_rot pour la position de l’outil x_p 0,739L. Cette position de l’outil correspond à l’instant très particulier où la perte de stabilité du processus de coupe est prédite. Trois ensembles de lobes sont visibles (les autres sont en dehors du graphique). En pratique, nous nous intéressons uniquement à la

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frontière de la zone de stabilité inférieure, car à partir du moment où les paramètres du système atteignent la frontière de stabilité inférieure, le processus de coupe devient instable. La ligne verticale rouge représente la fréquence de rotation de la pièce, correspondant à la fréquence de rotation de l'expérience f_rot 12,63 Hz (сf chapitre 2).

a) Variation du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de rotation de la pièce

b) Variation du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de broutement

Figure 4.10 – Coupe du diagramme de stabilité dans le plan ,f_rot pour la position de l’outil

0,739

p

x L

Cette ligne verticale croise le premier ensemble de lobes au point А. Pour évaluer la stabilité du processus de coupe, il faut, comme dans la section 4.2.2, estimer la position relative du point А vis-à- vis de la valeur limite du coefficient de raideur de coupe _exp 1 (ligne horizontale bleue). Si le point А est au-dessus de la ligne bleue, alors le processus de coupe en continu est stable, s’il est en dessous, il est instable. Sur la figure 4.10 (a) le processus de coupe en continu se trouve juste à la frontière de la zone de stabilité car on a _A 1. La fréquence d’oscillation (fréquence de broutement) est une des caractéristiques de la limite de la zone de stabilité de la coupe. C’est à cette fréquence que commencent les oscillations auto-excitées du système. La fréquence de broutement dépend de la zone de stabilité rencontrée (famille de lobes) ainsi que du point d’intersection entre cette zone de stabilité et la ligne verticale correspondant à la fréquence de rotation de la pièce. Sur la figure 4.10 (b) est

[Hz] [Hz]

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montrée la variation de la valeur limite du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de broutement f_chatter. Ainsi, en reportant cette valeur _A 1 sur la figure 4.10 (b), nous obtenons la valeur de la fréquence de broutement f_chatter 1930 Hz. Il est important de noter qu’à chaque famille de lobes correspond une fréquence de broutement différente. Cela peut se voir sur les figures 4.11 (a) et 4.11 (b).

Sur la figure 4.11 (a) sont représentées les familles de lobes de la zone de stabilité pour la position de l’outil x_p 0,574L dans le plan des paramètres ,f_rot . Ces familles sont au nombre de 6 (chacune affectée d’une couleur différente). Sur la figure 4.11 (b), pour cette position de l’outil, est tracée l’évolution du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de broutement pour chaque famille. Les évolutions des fréquences de broutement sont donc très clairement dissociées entre familles de lobes.

Lors de l’avancement de l’outil, les familles de lobes peuvent se déplacer verticalement vers le haut ou vers le bas (augmentation ou diminution de respectivement), ou encore se déplacer dans la direction horizontale les uns par rapport aux autres.

а) Variation du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de rotation de la pièce

b) Variation du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de broutement

Figure 4.11 – Coupe du diagramme de stabilité dans le plan ,f_rot pour la position de l’outil

0,574

p

x L

[Hz] [Hz]

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fonction de la fréquence de rotation de la pièce

b) Variation du coefficient de raideur de coupe en fonction de la fréquence de broutement

Figure 4.12 – Coupe du diagramme de stabilité dans le plan ,f_rot pour la position de l’outil

0,592

p

x L

Ceci est visible si on compare les deux diagrammes de stabilité des figures 4.11(a) et 4.12(a) qui sont obtenus pour xp 0,574L et xp 0,592L respectivement. La dépendance du coefficient de

raideur de coupe à la fréquence de broutement pour les deux états du système est également visible sur les figures 4.11 (b) et 4.12 (b).

Pour x_p 0,574L la première famille lobes rencontrée pour f_rot 12,63Hz est celle de couleur bleue (figure 4.11 (а)) alors que pour xp 0,592L la première famille rencontrée est de

couleur noire. Les fréquences de broutement correspondantes sont 4192 Hz (figure 4.11 (b)) et 1969 Hz (figure 4.12 (b)).

La figure 4.13 représente l’évolution des fréquences de broutement sur la frontière de la zone de stabilité en fonction de la position de l’outil pour les différentes familles de lobes. Ces fréquences de broutement sont très proches des fréquences naturelles de la coque et évoluent comme elles avec l’avancement de l’outil à cause de l’enlèvement de matière (perte de masse et de raideur).

[Hz] [Hz] [Hz]

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Figure 4.13 – Variation des fréquences d’oscillations sur les frontières des zones de stabilité en fonction de la position de l’outil.

Sur les figures 4.15 et 4.16, nous avons juxtaposé l’évolution des fréquences de broutement et l’évolution des fréquences naturelles. La proximité des courbes est bien visible. Les oscillations des courbes rouges (fréquences de broutement) proviennent des changements de lobe. Par conséquent, quant une zone d'instabilité est atteinte, le système commence à s’auto-exciter à des fréquences toujours proches des fréquences naturelles de la coque.

a) Fréquence correspondant à k 3,m 1 b) Fréquence correspondant à k 4,m 1

Figure 4.14 – Comparaison entre fréquences naturelles de la coque et fréquences de broutement

F re q, [ Hz] F re q, [ Hz]

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a) Fréquence correspondant à k 3,m 2 b) Fréquence correspondant à k 5,m 1

Figure 4.15 – Comparaison entre fréquences naturelles de la coque et fréquences de broutement