A travers les simulations et sur la base des résultats des études théoriques, quelques auteurs encouragent le choix les méthodes basées sur le plug-in pour le calcul du paramètre lissage et cela quel que soit le type des données. Ce choix se justifie par la capacité d’apprentissage dans le cas des données complexes de la technique du plug-in. À travers les figures, nous notons une faible dispersion de ses paramètres de lissage. Les paramètres de lissage issus de la méthode de validation croisée biaisée 2 sont très dispersés. Les résultats statistiques de la méthode de validation biaisés 1 sont proche de ceux du plug-in simple/naïf. La méthode de validation croisée
Figure III.4– Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas d’une Weibull
W (2, 3; 15) ; taille des données 500.
Figure III.5– Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas d’une Weibull
W (2, 3; 15) ; taille des données 1000.
biaisée 2 est la moins efficace pour ce type de distribution surtout à grande taille. Les méthodes de plug-in Sheater et Jones avec gradient enregistrent une faible dispersion. Par conséquent sur
III.6 Applications numériques
Figure III.6 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas de mélange pondéré de Weibull de même paramètre d’échelle (35%W (1, 5; 15) + 55%W (2, 3; 15) + 10%W (4, 5; 15)) ; taille des données 100.
Figure III.7 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas de mélange pondéré de Weibull de même paramètre d’échelle (35%W (1, 5; 15) + 55%W (2, 3; 15) + 10%W (4, 5; 15)) ; taille des données 500.
Figure III.8 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas de mélange pondéré de Weibull de même paramètre d’échelle (35%W (1, 5; 15) + 55%W (2, 3; 15) + 10%W (4, 5; 15)) ; taille des données 1000.
Figure III.9 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas de mélange pondéré de Weibull de même paramètre de forme (35%W (2, 5; 15) + 55%W (2, 5; 150) + 10%W (2, 5; 1500)) ; taille des données 100.
III.6 Applications numériques
Figure III.10 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas de mélange pondéré de Weibull de même paramètre de forme (35%W (2, 5; 15) + 55%W (2, 5; 150) + 10%W (2, 5; 1500)) ; taille des données 500.
Figure III.11 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas de mélange pondéré de Weibull de même paramètre de forme (35%W (2, 5; 15) + 55%W (2, 5; 150) + 10%W (2, 5; 1500)) ; taille des données 1000.
Figure III.12 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas des données provenant d’un équipement composé de sous-équipements en concurrence (M in{W (1, 5; 15); W (2, 3; 15)}) ; taille des données 100.
Figure III.13 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas des données provenant d’un équipement composé de sous-équipements en concurrence (M in{W (1, 5; 15); W (2, 3; 15)}) ; taille des données 500.
III.6 Applications numériques
Figure III.14 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas des données provenant d’un équipement composé de sous-équipements en concurrence (M in{W (1, 5; 15); W (2, 3; 15)}) ; taille des données 1000.
ce critère, la méthode de plug-in de Sheater et Jones a de meilleures aptitudes pour l’estimation des densités.
Nous notons qu’il existe d’autre approche de calcul du paramètre de lissage telles que la
méthode graphique de Silverman[44] ou la Smoothed Cross validation Method dans la
littéra-ture. La comparaison entre les méthodes est assez difficile et nous met face à un problème de généralisation. C’est à dire que nous ne pouvons pas prendre les résultats d’une simulation par-ticulière et les généraliser. Cependant, nous notons théoriquement que la méthode du plug-in à un taux de convergence de l’ordre de n−4/15 le meilleur parmi toutes les méthodes et le plus proche de la valeur théorique possible n−1/2.
L’estimateur du noyau de Parzen, en dépit de son aptitude à modéliser des distributions complexes, montre quelques problèmes lorsque le support des données est borné selon Hominal et Deheuvels [42] pour l’estimation des fonctions de densité. C’est pour cette raison que nous nous sommes abstenus de prendre des données issues de distribution de Weibull à faible pa-ramètre de forme β dans lesquels l’effet du biais est important au voisinage de 0. Ceci relate un problème de cette approche qui ne se résume pas seulement au seul choix du paramètre de lissage. L’application numérique suivante discute sur les solutions proposées dans la littérature afin d’améliorer la mise place de la démarche du noyau de Parzen et son utilisation.
Figure III.15 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas basé sur les fonctions de répartition et des données provenant d’une distribution de melange de Weibull (35%W (2, 5; 15) + 55%W (2, 5; 150) + 10%W (2, 5; 1500)) ; taille des données 100.
III.6 Applications numériques
Figure III.16 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas basé sur les fonctions de répartition et des données provenant d’une distribution de melange de Weibull (35%W (2, 5; 15) + 55%W (2, 5; 150) + 10%W (2, 5; 1500)) ; taille des données 500.
Figure III.17 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas basé sur les fonctions de répartition et des données provenant d’une distribution de melange de Weibull (35%W (2, 5; 15) + 55%W (2, 5; 150) + 10%W (2, 5; 1500)) ; taille des données 1000.
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Figure III.18 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas basé sur les fonctions de répartition et des données provenant d’un équipement composé de sous-équipements en concurrence (M in{W (1, 5; 15); W (2, 3; 15)}) ; taille des données 100.
Figure III.19 – Dispersion après 30 simulations de calcul du paramètre de lissage h : cas basé sur les fonctions de répartition et des données provenant d’un équipement composé de sous-équipements en concurrence (M in{W (1, 5; 15); W (2, 3; 15)}) ; taille des données 500.
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