Analyse a posteriori : résultats

La première partie a été difficile pour les élèves, parce qu'ils ne comprenaient pas ce que nous attendions. Certains ont également soulevé le problème qu'ils savaient calculer la médiane mais qu'ils ne savaient pas « ce que c'est ».

Finalement, un certain nombre d'élèves a choisi d'écrire « la valeur du milieu est 21,44 s » pour présenter la médiane, ce qui a donné « la valeur du premier quart est ... » pour ceux qui ont tenté de transposer cette réponse au premier quartile. D'autres élèves ont proposé une formulation du type « le 11ème meilleur temps est 21,42s », « le 6ème meilleur temps est ... », ou « il y a 10 valeurs au dessus et en dessous de 21,44s », « 5 valeurs sont inférieures à ... », ce qui ressemble plus à ce que nous attendions. Enfin, certains élèves ont été plus dans l’interprétation : « Nina a autant de scores au dessus et en dessous de 21,44s », « 50 % des temps sont inférieurs et 50 % sont supérieurs ». Dans tous les cas, les élèves ont copié leur présentation de la médiane pour formuler celle des quartiles. Le groupe qui a proposé « autant de valeurs au dessus qu’en dessous » n’a pas trouvé de phrase pour les quartiles.

Un point positif est que ce travail a amené un certain nombre d'élèves à chercher dans leur cours ou dans leur manuel une définition de la médiane et des quartiles pour pouvoir proposer une réponse. Certains se sont appuyés sur l’interprétation proposée par le livre (au moins 50 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la moyenne et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales), en la simplifiant (en enlevant le au moins par exemple) ou en la précisant pour les séries dont ils parlaient. En effet, un certain nombre d’entre eux a remarqué qu’ils n’avaient pas besoin de la fonction quartiles du tableur, et qu’en triant les données, ils pouvaient facilement vérifier les valeurs données par le tableur, ce qui a donné les formulations « le 6ème meilleur temps est ... » et « 5 valeurs sont inférieures à ... ».

La seconde partie a plus motivé les élèves ; les « coachs » autant que les « sélectionneurs » étaient intéressés par le choix du « meilleur » athlète, et ils ont échangé beaucoup d'arguments pour défendre leurs choix.

Les élèves n'ont pas utilisé leurs phrases écrites dans la partie A pour présenter leurs données. Ils ont donné les indicateurs statistiques calculés de manière « brute ». Par conséquent, les premiers arguments étaient tous de la forme « Untel a une meilleure moyenne/ médiane », « Telle autre a un meilleur 1er _{quartile ». Certains ont aussi parlé de régularité, mais plutôt en}

d'écrire des arguments qui n'utilisent pas les mots « médiane » et « quartiles », pour les forcer à interpréter ces indicateurs, ils ont fait l'effort de reformuler leurs arguments et se sont alors basés sur les phrases qu’ils avaient formulé dans la partie 1. Voici quelques propositions d’élèves :

- « Eli a de meilleurs temps sur les 5 meilleurs essais, mais Florent a de meilleurs temps sur les 5 moins bons »

- « Plus la palette entre le premier et le troisième quartile est élevée, moins le nageur est régulier, donc Eli est plus régulier que Florent »

- « Meilleur 16ème temps »

- « Nina est plus rapide sur les 25 premiers % » - « Angèle a un meilleur dernier quart »

Le point positif est donc que beaucoup de formulations différentes ont été proposées, et que les binômes se sont échangé les phrases qu’ils avaient formulé dans la première partie pour rédiger à quatre les arguments demandés. En revanche, aucun élève n'a remarqué que la série de Nina comprenait une valeur extrême, non représentative de ses temps habituels. Quand je l'ai fait remarquer à certains groupes, les réactions ont été variées : des élèves en on déduit qu'elle n'était pas du tout régulière, d'autres ont trouvé « dommage » qu'elle ait fait cette « erreur » et se sont posé la question de savoir si elle aurait été meilleure sans ce temps, mais sans le vérifier, et un groupe l'a vérifié en supprimant cette valeur mais ils n'ont pas changé d'avis, à cause d’un désaccord au sein du groupe.

Lors de la dernière partie, les arguments en faveur des uns et des autres ont été notés et commentés par les élèves. La conclusion formulée par les élèves était que dans les deux cas, chacun des deux athlètes avait des points forts et des points faibles et qu’il fallait faire un choix. Dans plusieurs groupes, certains élèves ont évoqué la valeur extrême de Nina pour donner un argument en sa faveur, ce qui m’a donné l’occasion de faire remarquer à tous que la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, mais pas la médiane. Dans certains groupes, la discussion s’est arrêtée là, tandis que dans un groupe une élève a réagi en en déduisant qu’on ne pouvait pas « se fier » à la médiane, puisqu’elle ne rend pas compte de toutes les valeurs, tandis que d’autres soutenaient que c’était bien d’enlever les « erreurs ». Le débat s’est arrêté

là faute de temps, mais ce départ était positif, bien que peu d’élèves y aient participé (en s’exprimant ou en écoutant activement).

3. Discussion et conclusion

Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressées à la place de l'oral dans un cours de mathématiques dans le cadre du socio-constructivisme et des situations adidactiques. En particulier, nous nous sommes demandé si les discussions entre élèves pouvaient leur permettre de mieux comprendre la signification des indicateurs statistiques, et si oui, comment favoriser ce contexte de travail. Nous avons donc mis en place trois activités facilitant les interactions, deux basées sur le débat scientifique et une proposant un problème d'essence sociale.

Dans la première activité, le but est d'amener les élèves à penser seuls à faire un tableau d'effectifs. Ils doivent également comprendre sans l'intervention du professeur l’intérêt de ce tableau dans le calcul de la moyenne. Les discussions portent donc sur des méthodes et non sur des résultats et la classe arrive ensemble aux conclusions. Le professeur met en place le cadre et sert d'intermédiaire entre les élèves pour favoriser les échanges dans un premier temps. Dans un deuxième temps, il institutionnalise les conclusions auxquelles la classe est arrivée. Pour cette activité, les résultats sont partagés. Dans une des classes, certains élèves ont pensés seuls à faire un tableau (première version de l'activité), ce qui a conduit a une discussion intéressante sur les méthodes proposées et a permis aux élèves de se convaincre entre eux que les tableaux étaient une méthode efficace. Dans l'autre, la discussion n'a pas été possible car l'ensemble des élèves avaient globalement la même méthode. Pour l'intérêt du tableau dans le calcul de la moyenne, là encore les résultats sont partagés. Dans une classe, de nombreux élèves ont pensés seuls à utiliser le tableau (version modifiée de l'activité) et ont convaincu les autres de son efficacité. L'objectif est donc ici parfaitement atteint : la classe arrive seule à la « bonne » conclusion. Dans l'autre classe, cela n'a pas fonctionné car les élèves n'ont presque pas utilisé le tableau et ceux qui l'ont fait n'ont pas convaincu les autres qui trouvaient la méthode trop compliquée.

De cette activité, nous pouvons donc conclure que proposer des activités qui permettent aux élèves de justifier et comparer leurs méthodes de résolution leur permet effectivement de mieux comprendre les notions utilisées, et que la discussion peut permettre aux élèves de se convaincre de l'intérêt d’une nouvelle proposition. Cependant, pour que le débat puisse avoir

lieu et amène les élèves à mettre en question leurs connaissances, il faut s'assurer que la solution soit accessible à au moins une moitié de la classe et que les élèves vont bien proposer plusieurs méthodes. Si ces conditions ne sont pas réunies, nous avons pu constater que le débat ne fonctionne pas ; les élèves ne construisent pas de nouvelle connaissance parce qu’ils n’en ressentent pas le besoin. Il est donc primordial de bien choisir les objectifs à atteindre pour que ces conditions puissent être réunies. De plus, le professeur doit s’efforcer au maximum de ne pas émettre d’avis sur les réponses proposées afin d’obliger les élèves à remettre en question leurs réponses et à s’intéresser aux propositions de leurs pairs, puisqu’ils doivent les valider ou les invalider par eux-mêmes. Cela les aide également à proposer plus librement des réponses et à donner des avis basés sur leur réflexion personnelle, plutôt que sur une logique scolaire. Enfin, nous avons également pu constater que cette manière d’enseigner est chronophage. Cela doit donc être fait sur les points clefs du programme, ce qui nous ramène à l'importance du choix des objectifs. Ces conclusions sont en accord avec les textes de Legrand et al. (2011) et Garnier et al., (2004).

Ce problème du choix des objectifs s’est retrouvé dans la seconde activité, puisque dans la première version, les objectifs à atteindre ne comportaient pas une difficulté didactique suffisante et le débat n'avait donc pas d'intérêt : les élèves se sont rapidement convaincus de la complexité du problème posé et de la multiplicité des réponses possibles. Dans la seconde version, les objectifs à atteindre étaient un peu plus difficiles pour les élèves, puisqu’il fallait se confronter à la difficulté de donner une définition mathématique. Cela a permis d’alimenter une discussion d’une part sur la manière de déterminer le premier quartile d’une série statistique, et d’autre part sur l’objet mathématique appelé quartile (est-ce un nombre, un ensemble de nombres…?). Le choix du problème est donc primordial si on veut pouvoir mener à bien un débat entre les élèves. Cette activité nous a permis de confirmer un autre point essentiel relevé par Legrand et al. (2011) : l'importance de la motivation des élèves dans le débat. En effet, si l'intérêt des élèves n'a pas été suffisamment suscité dans la dévolution du problème, certains s’en désintéressent très vite. De même si leur proposition est immédiatement acceptée comme juste. Il faut donc que la difficulté ne soit pas trop grande, afin qu’ils puissent s’impliquer dans le problème, mais pas trop faible non plus. Nous pouvons ajouter que la gestion du débat est essentielle : il faut laisser du temps aux élèves pour comprendre et analyser les propositions de leurs pairs. Pour cela, la trace écrite au tableau est un support important ; elle permet d’ajouter un support visuel aux propositions

orales et de revenir en arrière quand la discussion part dans une impasse. En notant tous les arguments avancés, le professeur les met tous au même niveau de vérité pour les élèves et les incite à tous les remettre en question. Toutefois, pour relancer le débat, il est souvent utile de rappeler l’attention des élèves sur des arguments choisis, soit pour les éliminer, soit pour réorienter la réflexion sur une bonne voie.

Dans l'activité 3, deux modes d’interactions sont utilisés : lors de la première partie, les élèves travaillent par binôme ou trinôme sur un même problème. Ils sont donc amenés à comparer leurs compréhensions de ce qu’ils doivent faire puis à se mettre d’accord sur la formulation d’une réponse finale. Ces étapes doivent les aider à expliquer leur compréhension du problème posé ainsi que leurs schémas de pensée, à les défendre, et à les remettre en question pour les concilier avec les autres propositions et arriver à un accord, comme proposé par Laborde (Garnier et al., 2004). Les discussions portent donc majoritairement sur l’interprétation des indicateurs statistiques à travers le problème de la formulation des réponses, ce qui est une réelle difficulté pour les élèves. Cette partie a bien fonctionné, puisque les élèves ont pu découvrir qu’ils ne savaient pas décrire ce que représente une médiane par exemple, et qu’ils ont du construire progressivement une formulation, qu’ils ont ensuite comparée avec celle d’un autre binôme lors du second temps, pour l’améliorer encore. Cela montre bien comment la coopération aide à reformuler et à améliorer la compréhension des notions étudiées. Par ailleurs, dans cette activité, le contrat didactique est changé dans le sens où les élèves ne doivent pas fournir au professeur une unique bonne réponse, mais former des phrases de réponse compréhensibles par leurs pairs, ce qui correspond aux propositions faites par Legrand et al. (2011). Toutefois, cela présente l’inconvénient que les exigences des élèves envers leurs pairs sont moins grandes que celles de l’institution : quand leurs raisonnements sont proches, ils parviennent à se comprendre sans nécessairement former des phrases complètes et leurs réponses manquent souvent de précision et de rigueur mathématique. Dans la deuxième partie, les élèves doivent faire un choix à plusieurs et le justifier. Cela permet aux élèves de confronter leurs représentations et d’approfondir le sens mathématique des indicateurs statistiques en les forçant à les interpréter dans un contexte. Dans cette étape également les élèves formulent un savoir par eux-même, sans intervention du professeur, et sans la pression de devoir fournir une réponse préexistante. Cela permet de changer le contrat didactique,. En effet, suivant le courant socio-constructiviste, le professeur n’apporte pas la connaissance mais aide les élèves à la formuler et fait ressortir lors du temps

en commun les éléments importants pointés par eux, comme lors de l’activité 2, où les élèves ont construit ensemble une définition du cours.

En conclusion, nous avons mis en avant dans ces travaux l'importance des interactions entre élèves dans le cadre de l'interprétation des indicateurs statistiques, pour favoriser la motivation des élèves et la compréhension profonde des notions. Comme cela avaient été noté par plusieurs travaux (Legrand, 2011, Ménard, St Pierre, 2014, Garnier et al., 2004), pour favoriser les échanges entre élèves et optimiser leur efficacité dans l’approfondissement du sens des notions abordées, il est important que :

- l’énoncé ne soit ni trop dur (les élèves doivent pouvoir comprendre et s’approprier le problème, et envisager une piste de résolution), ni trop facile (leur première idée ne doit pas être celle attendue) ;

- le problème posé constitue un obstacle cognitif pour que les élèves s’y intéressent d’une part et pour que l’activité les conduise à modifier leur schémas de pensée d’autre part ;

- le problème posé porte sur une difficulté pédagogique clé du chapitre, en raison du caractère chronophage de ces activités ;

- les objectifs soient clairs et que les élèves puissent savoir s'ils ont résolus correctement le problème (auto-positionnement) ;

- il n’existe pas de « mauvaise méthode alternative » permettant de résoudre le problème : il doit engager de manière cruciale les connaissances visées, dans le sens où elles doivent être nécessaires pour résoudre le problème,

- les échanges portent sur le choix d’une méthode ou sur un raisonnement (et non sur la validité d'un résultat ou d'une méthode) ;

- les élèves s’habituent à ce nouveau contrat didactique, pour quitter la logique scolaire et entrer dans une logique mathématique ;

- ils aient le temps de communiquer.

Si ces conditions sont réunies, le travail en classe a alors plus de sens pour les élèves. Ils sont plus intéressés et s’impliquent davantage dans la compréhension du sens des raisonnements et des notions mathématiques que nous souhaitons leur enseigner.

4. Bibliographie

Brousseau G. (1995). L’enseignant dans la théorie des situations didactiques: 1. Structure et fonctionnement du système didactique. Noirfalise R., Perrin-Glorian M.-J. (eds.) Actes de la VIII° Ecole d’été de didactique des mathématiques St-Sauves d’Auvergne. Clermont- Ferrand : IREM de Clermont-Ferrand. Actes de la VIIIe Ecole d’Eté, 1995, p. 3-46.

Glasersfeld E. von (2004). Pourquoi le constructivisme doit-il être radical? Revue des Sciences de l’Éducation 20(1): 21–27.

Jonnaert, P. & Vander Borght, C. (2009, 3e éd.). Créer des conditions d’apprentissage. Un cadre de référence socioconstructiviste pour la formation didactique des enseignants. Paris/Bruxelles : De Boeck-Université.

Vygotski L. S. (1934). Pensée et Langage. Paris : Editions Sociales

Grondeux, J. (2016) L’esprit critique. Repéré à : http://eduscol.education.fr/cid110519/l- esprit-critique-jerome-grondeux-inspecteur-general-histoire-et-geographie.html

Ménard, L. & Saint-Pierre, C. (2014) Se former à la pédagogie de l’enseignement supérieur. Montréal : Kingsbury

Garnier, C., Bednarz, N., Ulanovskaya, I. (2004) Après Vygotski et Piaget : perspectives sociale et constructiviste : écoles russe et occidentale. Bruxelles : De Boeck Université

Legrand, M., Lecorre, T., Leroux, L., Parreau, A. (2011) Le principe du « Débat Scientifique » dans un enseignement, Tome I : Principe et origines d’un « cours constructiviste ». Journées nationales de l’APMEP de Grenoble, IREM de Grenoble.

5. Annexes

Table des annexes :

Annexe 1 : Activité 1, modalités de mise en œuvre………2 Annexe 2 : Activité 2, modalités de mise en œuvre………... 3 Annexe 3 : Activité 3, modalités de mise en œuvre………4

Annexe 1 : Modalités de mise en œuvre de l’activité 1.

Le professeur Les élèves Temps

Donne l'activité.

Consigne : Essayer de résoudre les questions 1 à 4 de manière « efficace ». Temps : 10mn.

Insister sur la rapidité.

2 min

- Passe dans les rangs pour observer ce que font les élèves et repérer des solutions différentes.

- Ne répond pas aux questions (sauf celles concernant l'énoncé, éventuellement pour expliquer ce que veut dire « proportion » avec un exemple)

- Conduite de classe : impose le silence et force tous les élèves à réfléchir au problème.

Résolvent seuls le problème 10 min Ne pas laisser plus.

- Envoie au tableau 2-3 élèves ayant trouvé la bonne solution mais ayant utilisé des méthodes différentes.

Fais écrire le calcul entré dans la calculatrice. - S'assure que tout le monde a compris les différentes propositions

3 élèves écrivent leur solution au tableau, puis chacun explique sa méthode.

10 min

Laisse répondre à la question 5) Notent des mots-clés 5 min

Interroge plusieurs élèves Ne donne pas son avis

Ecrit les mots-clés au tableaux

Donnent leur avis

Proposent éventuellement de nouvelles méthodes.

10 - 15 min Conclusion : institutionnalisation.

- Explique que la méthode des tableaux est celle utilisée par tout le monde, donc c'est celle-ci qu'on va retenir. (mais les autres méthodes peuvent être bien aussi !)

- Trace le tableau en y plaçant les mots effectif, fréquence, ECC, FCC.

- Cours.

Écoutent puis remplissent la fiche de cours.

Annexe 2 : Modalités de mise en œuvre de l’activité 2

Le professeur Les élèves Temps

Donne l'énoncé de la partie I seulement. Consigne : A faire individuellement.

Résolvent seuls le problème 5 min - Correction collective de la partie I. 1).

- Discussion sur la question I. 2) : discuter de la méthode puis lister différentes répartitions et différentes phrases.

- Insister sur le tri des notes et afficher la liste triée.

Conclusion : les réponses ne sont ni bonnes ni mauvaises : le point important ici est qu'on doit faire un choix.

Répondent oralement pour corriger la question 1)

Pour la question 2) proposer des réponses et expliquer la démarche utilisée.

5 min

Donne l'énoncé de la partie II. Résolvent seuls le problème 7 min Mise en commun :

Ecriture au tableau des différentes définitions. Aucun commentaire sur les définitions données

5 min

Partie III. Regardent les définitions, les testent et

essaient de répondre à la question. 7 min - Fait voter à main levé pour les définitions

proposées et demande les raisons de chaque choix

- note les mots clefs correspondant aux limites des définitions (précision, unicité .. )

- relance éventuellement les débats en posant des questions : est-ce que telle valeur correspond à la définition ?

- note les nouvelles propositions.

Proposent leurs solutions en argumentant

10 min

Institutionnalisation : On remplit ensemble les définitions de médiane et quartile sur le « polycopié à trous », en s’appuyant sur la définition construite par la classe.

Copient les définitions et cherchent les exemples.

Annexe 3 : Modalités de mise en œuvre de l’activité 3.

Une séance d’une heure en salle informatique. Les élèves sont par groupes de deux.

Le professeur Les élèves Temps