Le signal Edi étant noyé dans des bruits dont le plus important étant le signal ECG car sa bande de fréquence (QRS) empiète sur le signal EMG du diaphragme (Figure 49) Pour diminuer au maximum le bruit sur notre signal Edi, nous avons traité le signal par ondelettes dyadiques34. La transformation en ondelette permet d’appliquer une analyse multirésolution sur le signal étudié.
Figure 49 - Electromyogramme brut (Edi brut) avec la courbe du débit respiratoire) et la
superposition du signal ECG (plus particulièrement le pic onde R) au signal EMG.
L’analyse multirésolution a été conçue par Meyer [117] et Mallat [118]. C’est une méthode pour construire des bases orthogonales d’ondelettes. L’analyse multirésolution de la transformation en ondelettes équivaut à une décomposition atomique35 temps-échelle. Chacun des atomes peut s’interpréter comme étant une projection locale du signal analysé et obtenu à partir d’une ondelette Y(t) unique (ondelette mère) par une translation en temps et une dilatation. De façon plus générale, une analyse multirésolution désigne une suite imbriquée d’espace d’approximation …, l’entier étant associé à la résolution
34 Les ondelettes dyadiques sont des échantillonnages en échelle de la transformée en ondelettes d’un facteur 2, le temps n’est pas soumis à cet échantillonnage.
35 Une transformée temps fréquence linéaire corrèle le signal avec une famille de fonctions bien concentrées en temps et en fréquence, d’où cette appellation atomes temps fréquence (Mallat S.).
1 +
⊂ j
j V
57 (dilatation binaire ou dyadique) au sens où et engendré par une base de type :
, avec ℝ et est la fonction échelle. L’approximation d’une fonction à la résolution est définie comme sa projection orthogonale sur un espace L²
ℝ .
L’analyse multirésolution de L² ℝ [119] sert à mettre en évidence divers phénomènes
présents dans un signal (cas sur le signal Edi). L’idée de cette analyse multirésolution d’un signal constitue à représenter comme une limite de ses approximations successives où chaque approximation est une version issue de la précédente. Une analyse multirésolution effectuée sur le maillage synthétisé permet de diminuer la résolution sans perte d’informations.
Elle permet de synthétiser ou de séparer les signaux multidimensionnels à différents niveaux de résolution, en les décomposant sur une base de fonctions d'échelle36 et sur une base de fonctions ondelettes d’information, jusqu’à atteindre le maillage de contrôle.
Cela consiste à associer du détail de niveau. Il est par définition égal à la différence d'information entre son approximation, et à la résolution. L’analyse multirésolution s’appuie sur la théorie des ondelettes. On note par et respectivement le niveau d’approximation et de détails de à la jième résolution (projection sur et :
,
avec , et
Les fonctions ondelettes sont déduites des fonctions d’échelle fournies par la subdivision (Figure 50). Les ondelettes et les fonctions d’échelles biorthogonales sont constituées par un banc de filtres à reconstitution parfaite ou filtres à miroirs conjugués[120]. La transformée en ondelette d'un signal fait intervenir deux fonctions : la fonction d’ondelette
, qui permet de relever les hautes fréquences correspondant aux détails (d) et la fonction d’échelle , qui permet de relever les basses fréquences correspondant aux approximations parties plus lisses du signal (a). A partir de ces deux fonctions, on est capable de réaliser deux filtres : h(k) un filtre passe-haut associé à ψ, et g(k) : un filtre passe-bas, demi-bande, associé à . Pour passer d’un niveau d’approximation au niveau inférieur, il suffit de calculer la convolution discrète du signal avec les filtres g et h (équations 30 et31).
(30)
(31)
La convolution du signal avec ces filtres permet de récupérer les coefficients de détails (d). Ceux-ci proviennent du filtre passe-haut (h), ils représentent les composantes hautes fréquences du signal. Les coefficients d'approximations (a) résultent du filtrage passe-bas (l), ils représentent les composantes passe-basses fréquences du signal.
Remarque : Il existe une relation entre l’échelle et la fréquence = ×1/ , avec F= fréquence (Hz), a est le facteur d’échelle, et k constante en fonction de l’ondelette et de la fréquence d’échantillonnage (fe) en Hz (fe/a). j V
(
t k)
t j j k j = ϕ − ϕ ( ) 22 2 , ∈ ϕ j − 2 Vj ⊂ ϕ ψ [ ] j a n d nj[ ] f Vj Wj , [ ] , j j n a n = f ϕ d nj[ ]= f,ψj n, , 1 2 ( ) ( ) 2 2 j j n j j t n t − ϕ = ϕ , ( ) 1 ( 2 ) 2 2 j j n j j t n t − ψ = ψ ψ ϕ ϕ 1[ ] [2 ] [ ] [ 2 ] j j j k a + n a h n a k h k n ε = ∗ =∑
− 1[ ] [2 ] [ ] [ 2 ] j j j k d + n a g n a k g k n ε = ∗ =∑
−58
Figure 50 - Sous division d’approximation et de détail du signal d’entrée. Les détails (d) et
approximations(a) font référence à la multirésolution.
On obtient les coefficients appelés Ca et Cd de la transformée en ondelettes discrètes par filtrages successifs sur les mêmes deux filtres (h, l), en y injectant à chaque itération les coefficients Ca.
La transformée en ondelettes discrètes est calculée par produit de convolution à chaque
itération de k suivant l'algorithme rapide de Mallat appelé aussi décomposition pyramidale [118] (Figure 51).
Représente le sous échantillonnage.
Figure 51 - Principe de l’algorithme rapide de Mallat, à chaque itération de k une nouvelle
décomposition est calculée, ce qui crée de nouveaux coefficients (Ca et Cd). Les signaux de type (Ca) sont les signaux lissés résultant du produit de convolution du signal à la résolution précédente par le filtre h et les (Cd) qui sont les coefficients d’ondelettes aux différentes échelles [121].
Les équations des coefficients Ca, coefficients d’approximations (équation 32) et Cd coefficients des détails (équation 33).
Figure 52 - Arbre de la décomposition pyramidale et équation des coefficients (Ca, et cd).
2↓
(32)
(33)
avec :
h (high) = filtre passe haut l (low) = filtre passe bas
[ ] [ ]
( ) 2 n Ca k =∑
x n l k−n[ ] [ ]
( ) 2 n Cd k =∑
x n h k−n59 Un banc de filtres réalise une décomposition pyramidale ou pyramide multirésolution du signal (Figure 52), cela fait apparaître un sous échantillonnage à la sortie de chaque niveau de filtre.
Le sous-échantillonnage, en se rapportant au théorème de Nyquist-Shannon37, n'entraîne aucune perte d'information du signal. Il a pour effet de provoquer une diminution de la précision temporelle à mesure que la fréquence diminue.
En effet, le sous échantillonnage (Figure 53-1) provoque à chaque itération une division par deux du nombre d'échantillons, donc division par deux de la localisation temporelle à un coefficient sous-échantillonné qui peut être associée à deux coefficients en amont du filtre
A l’inverse la reconstruction (Figure 53-2) se fait à partir des coefficients aj et dj, la transformée en ondelettes inverses reconstruit aj, en inversant l'étape de décomposition par insertion de zéros et de convolution des résultats avec les filtres de reconstruction [121].
La reconstruction du signal d’origine se fait à partir des signaux lissés a (approximation) et des coefficients d’ondelettes d (détails) (équation 34).
Par exemple : pour j fixé, on peut retrouver les coefficients aj [n] à partir des coefficients aj+1[n] et dj+1[n] (équation 34) :
L’équation de reconstruction s’écrit:
(34)
Figure 53 - (1) Décomposition : cascade de filtres, suivi de sous échantillonnage, (2) la
transformée inverse reconstruit Y(t)ou signal de sortie en insérant des zéros entre aj et dj, puis en les filtrant et en prenant la somme. 2↓ Représente le sous échantillonnage et 2↑représente le
sur échantillonnage.
37 Définition du théorème de Nyquist-Shannon : lorsque que l’on échantillonne un signal analogique (xt), la fréquence d’échantillonnage (fe) doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale de ce signal. Ce théorème est à la base de la conversion analogique numérique des signaux.
1 1 [ ] [ 2 ] [ ] [ 2 ] [ ] j j j p Z p Z a n h n p a + p g n p d + p ∈ ∈ =
∑
− +∑
−60
On peut de même effectuer la décomposition du signal aj en signal aj+1 et d, ainsi en répétant cette opération on crée un signal à basse résolution aj et une suite de signaux de détails d1..dj.
On peut faire une décomposition récursive analogue en utilisant l’algorithme à trous38 et engendrer un signal basse résolution Aj et une suite de signaux de détails D1..Dj. Les deux décompositions sont liées par la relation (équation 35) :
(35)
Le signal reconstitué a2 s'obtient en filtrant les signaux dilatés par insertion de zéros, par un filtre passe-bas dual h2 et un filtre passe-haut dual g2. En notant s(x) le signal obtenu à partir de x en insérant un zéro tous les deux échantillons, cela s'écrit (équation 36) :
(36)
Un banc de filtres à reconstruction parfaite décompose un signal par filtrages et sous-échantillonnages. Il le reconstruit par insertions de zéros, filtrages et sommation. On dit qu'on a un banc de filtres à reconstruction parfaite quand a2 = a0. Lorsqu'en plus h = h2 et g = g2, on parle de filtres miroirs conjugués.
Pour la reconstruction du signal (Figure 54) cela se traduit par exemple pour j fixé, nous allons voir qu’à partir des coefficients aj+1[n] et dj+1[n] on peut retrouver les coefficients aj [n], dont on en déduit (équation 37) :
(37)
Figure 54 - Schéma de reconstruction du signal.
L’algorithme de Mallat est plus rapide que celui de la transformée de Fourier :
D’où l’algorithme : ; avec et .
En pratique on se limite à la transformée en ondelettes dyadiques pour profiter de la rapidité de l’algorithme à trous qui s’implémente avec des bancs de filtres.