Chapitre VI Analyse numérique et statistique CHAPITRE VI
ANALYSE NUMERIQUE ET STATISTIQUE
VI-1 INTRODUCTION
Généralement la solution des problèmes physiques complexes (notamment en sciences hydrauliques) nécessite de recourir au champ expérimental au biais des modèles réduits, ainsi par des essais empiriques et semi-empiriques. Dans ce sens la validation des résultats expérimentaux est indispensable par l’analyse numérique.
L’analyse numérique est une discipline des mathématiques. Elle s’intéresse tant aux fondements théoriques qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique et d’autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie (FERROUN., 2016)
L’analyse numérique s’effectue par plusieurs méthodes statistiques telles que l’interpolation, extrapolation et la régression.
À cet effet, la présente étude tente de vérifier et valider les résultats de l’analyse dimensionnelle (chapitre IV) et les résultats expérimentaux obtenus sur modèles réduits des déversoirs non rectilignes creusés (chapitre V) par une analyse numérique et statistique afin d’obtenir une relation approximative du coefficient du débit en fonction des paramètres adimensionnels régissants l’écoulement sur les déversoirs non rectilignes creusés.
VI-2 CHOIX DES OUTILS DE L’ANALYSE NUMERIQUE
Après une recherche approfondie sur le meilleur outil adéquat à l’analyse numérique appliquée sur les déversoirs non rectilignes creusés, il est apparu qu’il est nécessaire de recourir à la régression multiple des résultats obtenus expérimentalement par le logiciel mathématique MINITAB 17.
VI-2-1 Définition de la régression multiple
La régression multiple est un outil de la statistique qui a pour but d’expliquer la variabilité existante dans une variable aléatoire (Y) lorsque le comportement de cette variable est conditionné par les valeurs certaines que peuvent prendre d’autres variables, contrôlées ou non par l’expérimentateur (HAMISULTANE., 2002).
D’une autre façon, la régression multiple génère une équation pour décrire la relation statistique entre un ou plusieurs prédicateurs et la variable de réponse, ainsi que pour prévoir de nouvelles observations. En règle générale, la régression utilise la méthode des moindres carrés ordinaire, qui trouve l'équation en réduisant la somme des valeurs résiduelles carrées.
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La forme générale du modèle de régression linéaire multiple est comme suit :
Y 0 1X12X2...pXp (VI-01) Dont :
Y : variable dépendante ou expliquée à caractère aléatoire;
X1, X2,... Xp : variables indépendantes ou explicatives mesurées sans erreur ou fixées à des niveaux arbitraires (non aléatoire);
0,1,2,...,p: sont les paramètres du modèle (nous les estimons à l’aide d’un échantillon et la méthode d’estimation sera de nouveau la méthode des moindres carrés);
VI-2-2 La méthode des moindres carrés ordinaire (MCO)
La méthode des moindres carrés ordinaire (MCO) est le nom technique de la régression mathématique en statistiques, et plus particulièrement de la régression linéaire multiple.
Il s'agit d'ajuster un nuage de points selon une relation linéaire, prenant la forme de la relation matricielle , où est un terme d'erreur.
La méthode des moindres carrés consiste à minimiser la somme des carrés des écarts, écarts pondérés dans le cas multidimensionnel, entre chaque point du nuage de régression et son projeté, parallèlement à l'axe des ordonnées, sur la droite de régression.
Lorsque la matrice se décompose en , on parle de régression linéaire uni-variée (régression linéaire). Lorsqu'il y a plusieurs régresseurs dans la matrice , on a plutôt affaire à une régression linéaire multiple (HURLIN - 1998).
VI-2-3 Présentation de MINITAB 17
MINITAB 17 est un logiciel (Français) propriétaire commercial de statistiques. Il est développé par la société MINITAB. Il est largement utilisé par les universités pour enseigner les statistiques, et les développeurs le dirigent particulièrement aux entreprises en affichant leur intention de les rendre plus performantes selon la méthode « Six Sigma ».
Il offre un éventail d'outils qui permettent de mener à bien les projets d'amélioration de la qualité les plus exigeants. Il contient cinq didacticiels à utiliser de manière consécutive :
- Session 1 : Représentation graphique des données - Session 2 : Entrée et exploration des données - Session 3 : Analyse des données
- Session 4 : Evaluation de la qualité
- Session 5 : Conception d'un plan d'expériences
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Figure VI-01 : L'interface de MINITAB 17 VI-2-4 Différents type de régression par MINITAB 17:
MINITAB 17 fournit plusieurs procédures de régression tels que :
Les procédures de régression par les moindres carrés et les moindres carrés partiels
Les procédures de régression logistique
Les procédures de régression non linéaire
Les procédures de régression orthogonale
Les procédures de régression pas à pas
Les procédures de régression polynomiale
Les procédures de régression pondérée VI-2-5 La régression multiple par MINITAB 17
Les résultats de la régression indiquent la direction, l'ampleur et la signification statistique de la relation entre un prédicteur et une réponse.
· Le signe de chaque coefficient indique la direction de la relation.
· Les coefficients représentent l'évolution moyenne de la réponse pour un changement d'unité dans le prédicteur, sans modification des autres prédicteurs du modèle.
· La valeur de (p) de chaque coefficient teste l'hypothèse nulle que le coefficient est égal à zéro (aucun effet). Par conséquent, si les valeurs de (p) sont petites, cela peut souligner le caractère significatif de l'ajout du prédicteur au modèle.
· L'équation prévoit de nouvelles observations, en fonction de valeurs de prédicteur
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Figure VI-02 : Menu de Régression – MINITAB 17
VI-2-6 Conditions d’application de la régression multiple par MINITAB 17 La réussite du modèle de régression multiple par MINITAB 17 est conditionnée par :
- Utilisée chaque fois qu’une variable observée, dite variable dépendante, doit être exprimée en fonction de 2 ou plusieurs autres variables observées, dites indépendantes ou mieux explicatives.
- Le cas le plus simple est celui où les variables explicatives sont des variables non aléatoires, leurs valeurs étant toutes choisies a priori de façon arbitraire.
- D’autre part les p variables explicatives peuvent être des variables aléatoires dont les valeurs sont observées dans des conditions analogues à celle de la variable dépendante.
VI-3 ANALYSE NUMERIQUE APPLIQUEE SUR LES DEVERSOIRS NON RECTILIGNES CREUSES
La relation obtenue par l’analyse dimensionnelle (chapitre IV) a montré que le coefficient de débit du déversoir non rectiligne creusé est en fonction de :
Cw = ƒ (H*/P, L/W, W/P, a/b, d’/P)
La charge relative (H*/P) ;
Le ratio (L/W) ;
Le rapport de l’aspect vertical (W/P);
La largeur relative des alvéoles (a/b) ;
Le rapport entre le creusement des alvéoles et la hauteur du déversoir (d’/P).