8.3 La politique de service LAS
8.3.1 Analyse de LAS
Métriques
Soit le taux d’arrivée des clients. On considère une distribution
avec une densité
. L’abréviation c.m.f.v.f signifie dans la suite continue, à moyenne finie et à variance finie. Étant donnée une fonction de répartition
* 7 , on dénote par le complémentaire de cette fonction.
On définit comme * 7 . Ainsi 5 5 est la moyenne et
le second moment de la distribution considérée. La charge des clients de taille inférieur ou égal à est donnée par &
* 7 , et& &
est la charge totale du système.
8.3. LA POLITIQUE DE SERVICE LAS 123
signifie des arrivées poissonnienes. Un processus de Poisson fournit une modélisation accept- able du processus d’arrivée des flots dans l’Internet [45]. L’expression du temps de réponse conditionnel des clients de tailles pour la politique de service M/G/1/SRPT [91] peut être
décomposé en un temps d’attente conditionnel
(temps entre l’instant où un client arrive dans le système et temps au bout duquel il est servi pour la première fois) et un temps de rési- dence conditionnel défini
comme le temps entre le premier service et la fin du service du client : >$ ? >$ >$ >$ ? 2 & (8.1) >$ ? * 7 & (8.2)
De manière similaire, on décompose le temps de réponse
pour une file
en deux termes. Le premier terme
et le second
. Notons que ces termes ne correspondent pas aux temps conditionnels d’attente et de résidence définis pour SRPT. Ils sont introduits pour simplifier les comparaisons entre politiques dans la section 2.3.3. Le temps moyen conditionnel de réponse
pour LAS est donné par [89],
? ? 2> & (8.3) ? & (8.4)
Finalement, les formules de
pour des files M/G/1/PS et M/G/1/NPP, où NPP signifie des politiques de service non préemptives sont [25] :
) ? & (8.5) ? 2 & (8.6)
Les politiques NPP incluent FIFO, last-in first-out (LIFO), RANDOM, etc. On définit le temps de réponse conditionnel normalisé par
? $)(C*, *
. La définition du temps de réponse normalisé
montre que pour deux politiques A et B, le ratio $)(C*,
?
$)(C*, *
?
Choix de la distribution des tailles des clients
Nous allons analyser LAS pour des distributions de taille de clients c.m.f.v.f. spécifiques. Le choix d’une distribution est motivé par les caractéristiques du trafic Internet où la plupart des
flots sont courts et plus de la moitié de la charge est due à une très faible fraction des flots les plus grands. Plusieurs distributions ont été utilisée pour modéliser le trafic Internet avec tou-
jours un coefficient de variation plus grand que 1 [8, 26, 41]. Parmi ces distributions, on peut citer : la distribution de Pareto, la distribution de Pareto bornée, la distribution lognormale, la distribution hyper-exponentielle, la distribution Gaussienne inversée et des mélange de lognor- mal et Pareto. Soit
la taille des clients. La densité des clients pour une distribution de Pareto bornée est: ? 5 2 (8.7) où
est la taille minimale des clients et
l’exposant de la loi de puissance. La fonction de répartition
est donnée par :
? : (8.8)
Dans cette these, nous avons utilisé des variantes de la distribution de Pareto (la distribution de Pareto de seconde espèce et la distribution de Pareto bornée) pour modéliser la forte vari- abilité des distributions observées sur l’Internet. La distribution de Pareto de seconde espèce est version translatée de la distribution de Pareto avec des tailles d’échantillon commençant à zéro et non à
. La densité d’une distribution de Pareto de seconde espèce est donnée par :
? ) 5 > 23 (8.9)
où est le facteur d’échelle. Nous avons souvent utilisé cette distribution dans nos simula-
tions pour générer des flots de taille variable avec un minimum de un paquet. La fonction de répartition de Pareto de seconde espèce est donnée par :
? >: (8.10)
La distribution de Pareto borne est utilisée communément en analyse car elle peut avoir une grande variance et modélise ainsi bien les distributions observées sur l’Internet. De plus la taille maximale bornée des flots permet de rendre compte de la taille maximale des flots observés [107, 27, 13]. Nous utilisons également la distribution de Pareto bornée pour cette
8.3. LA POLITIQUE DE SERVICE LAS 125
même raison. Nous la notons
, où
et
sont les tailles minimales et maximales des clients et
l’exposant de la loi de puissance. La densité d’une loi de Pareto est donnée par :
? 5 , 2 (8.11) La function de repartition et le nième moment
pour une loi
0 sont donnés par : ? " , 2 ? 8
Ainsi, l’expression du coefficient de variation d’une loi
est donné par'
.
Pour obtenir différentes valeurs de ' pour une loi
0
, on ajuste un ou plusieurs paramètres de la distribution, i.e.,
, , ou .
Nous considérons également le cas des distributions exponentielles des taills de clients pour évaluer LAS dans le cas d’une file M/M/1. Pour une loi exponentielle, le coefficient de variation est 1. On dénote la loi exponentielle avec une moyenne de
% par
. La densité de la distribution exponentielle est donnée par :
* ? * ,
La variabilité de la distribution peut être estimé à partir de la fonction de masse pondérée (
) [28], qui ( pour un client de taille ) est défini comme la fraction de la masse constituée
par les clients de taille inférieure ou égale à :
(C*,
. the high variability property.
La figure 8.1 représente la fonction de masse pondérée pour des distributions BP avec dif- férentes valeurs de' et pour la distribution exponentielle, toutes avec une même moyennes de
1
. La figure 8.1(a) montre que pour la distribution exponentielle, 1% des clients les plus gros constituent environ 5% de la masse totale. Au contraire, pour une loi BP, on observe que 1% des plus gros clients concentrent une masse qui croît avec' de 15% de la masse totale pour
' ?
2
à près de 50% pour ' ?
. Par ailleurs, la figure 8.1(b) montre que pour les lois BP avec'
21
exhibent toute une forte variabilité au sens où 50% de la masse totale est constitué par moins de 1% des plus grands clients.