Lco(PS ij,ωoij) = 4D2f#2
πτ0f2∆t∆p2hωoij,zci4fij−1(Vij) (3.37)
Si tous les termes ou ensemble de termes ne sont pas accessibles à l’expérimentateur, car absent ou alors calibrés de manière relative, la mesure deLco sera alors relative, et la BRDF apparente associée aussi. Dans le cas contraire, on parle de mesure absolue.
L’ensemble des expériences dans cette thèse seront en effet des mesures relatives, n’ayant pas nécessité d’ajouter des calibrations supplémentaires afin de mesurer des valeurs ab-solues.
3.4. Analyse des incertitudes et conclusions
Par exemple, si on reprend la procédure simple vue en sous-section 3.2.2, sous-estimer la focalef correspond à directement sous-estimer l’ouverture f#. La dépendance entre les variables va dépendre fortement de la procédure de calibration. D’après la définition du Vocabulaire International de Métrologie[de Bièvre, 2012] et la procédure recommandée par leGuide pour l’expression des incertitudes de mesure et ses annexes [GUM, 1997], lorsque plusieurs sources de bruit sont présentes, les incertitudes doivent être quadra-tiquement combinées, et les covariances entre les différentes sources prises en compte [GUM, 1997]. Ces covariances sont cependant difficiles d’accès, les dérivations pouvant être extrêmement fastidieuses voire non-analytiques [Duboiset al., 2016]. En fait, on peut montrer [Farrance et Frenkel, 2012] que si la procédure de calibration créé suffisamment d’interdépendances entre les variables, alors la covariance entre deux variables particu-lières est "floutées" par l’ensemble des autres sources de bruit. C’est pour cette raison que nous conserverons ainsi l’équation 3.4 comme formule de référence pour le calcul des erreurs.
La meilleure approche pour améliorer la qualité de la mesure est de ne pas vouloir mesurer indépendamment toutes les variables. Dans l’équation 3.37, si au lieu de calibrer fij−1(Vij)etτ0on mesure en faitfij−1(Vij)/τ0, alors on soustrait une source d’erreur poten-tielle. Ensuite, on peut bien sûr ignorer les incertitudes de toutes les variables qui restent statiques durant la mesure (commef ou∆p), en échange de quoi la mesure devient re-lative. Par exemple, si l’ouverturef# reste constante, toutes les valeurs acquises seront comparables entre elles sans nul besoin de déterminerf#. On fera alors en sorte de fixer un maximum de paramètres caméra : si la mise au point peut être fixe alors on fixe D, si le temps d’exposition peut être fixe alors on fixe ∆t, si la caméra peut être fixe alors on fixezc, etc... On peut bien entendu combiner ces deux aspects. Par exemple, nous ver-rons au chapitre 5 que la calibration radiométrique de la caméra consiste essentiellement en calibrerfij−1(Vij)/hωoij,zci4 et à considérer fixe tout le termeD2f#2/(πτ0f2∆p2). On améliore drastiquement l’incertitude de mesure, en pouvant espérer atteindre les 1 ou 2%
d’erreurs.
Caméra
Caméra "rasante"
Projection du pixel + incertitude du rayon
Lisse
Rugueux
FIGURE3.11 – Incertitudes du rayon et surface. La présence d’une erreur sur le rayon ca-méra provoque une erreur sur le point impacté à la surface de l’objet. Plus l’incidence est rasante, plus cet effet peut être prévalant. L’estimation de la normale est correcte seule-ment lorsque la surface est localeseule-ment lisse. Les mesures les plus fiables seront donc celles effectuées sur des surfaces lisses et à incidences peu rasantes.
Du point de vue géométrique, le cumul des erreurs est malheureusement plus difficile à minimiser. La procédure est pourtant simple : pour chaque pixel on cherche à détermi-ner l’intersectionPS avec la surface dans la directionωo (lancé de rayons, raytracingen anglais), en ce pointPS de normale nS il faut ensuite déterminer la direction d’éclaire-mentωi et l’éclairement associéEi. Si la lumière utilisée est angulairement assez basse fréquence, on va facilement connaître en tout point l’éclairement et la direction d’origine de la lumière. Le problème est plutôt au niveau du raytracing caméra-surface (cf. Figure 3.11). En effet, l’objectif est que le rayon soit suffisamment bien connu tel que l’incerti-tude sur son point d’impact avec la surface soit contenue dans l’empreinte du pixel. Ainsi la moindre erreur de translation dans la position de la caméra ou le moindre écart angu-laire dans la direction du rayon peut fausser cette affirmation. C’est pour cette raison que le couple caméra-objet est fixe dans l’expérience développée ci-après en section 3.5. Si ce n’était pas le cas, on pourra considérer que le pixel est "aussi gros" que l’incertitude de sa projection, faisant de fait baisser la résolution effective de la mesure. Comme on peut le voir dans la figure 3.11, l’empreinte du pixel est en fait un cumul de l’incertitude sur le rayon et l’empreinte réelle du pixel. Plus le rayon est rasant avec la surface, plus une erreur sur celui-ci provoque une grande erreur sur la position du pointPS sur la sur-face. Comme l’empreinte du pixel, celle-ci suit une loi en1/hωo,nSi. Un cas particulier émerge au niveau des bordures géométriques (cf. Figure 3.11). Dans ces cas l’incertitude sur le rayon ne permet même pas de contenir l’incertitude de positionnement. La surface que l’on pense mesurer peut être très éloignée de celle qui l’est réellement. On préfère alors ne même pas considérer ces mesures. Par exemple, Lensch [Lensch et al., 2003]
3.4. Analyse des incertitudes et conclusions
calcule une carte de profondeur pour chaque image, et supprime tous les pixels autour des discontinuités.
La surface elle-même nécessite d’être bien connue, qu’elle soit implicite ou explicite.
Si elle est implicite, par exemple une sphère, l’intersection et la normale seront sujets aux incertitudes de détermination du centre et du rayon de la sphère. La précision peut être très bonne pour peu que l’objet soit effectivement une sphère. Si elle est explicite, comme par exemple un maillage 3D, il existe un compromis à faire entre la précision de l’intersection et la précision de la normale. Ce point sera abordé plus en détail au chapitre 5. La seule chose que nous noterons ici est qu’il sera plus précis de mesurer des surfaces lisses aux reliefs doux qu’une surface chaotique. La figure 3.11 montre aussi cet effet : là où la surface est lisse peu importe la réalisation la normale varie peu, alors que là où la surface est rugueuse c’est tout le contraire. La détermination de la normale joue un rôle supplémentaire dans le calcul de la BRDF. Si on reprend la définition 1.29, on voit que le rapport entre la luminance mesurée et l’éclairement au pointPS doit encore être divisé parhωi,nSipour obtenir la BRDF. L’incertitude de ce calcul est donné par
(fr) fr
=
s
(Lo) Lo
2
+
(Ei) Ei
2
+ ( 1
hωi,nSi −1)
(θi) θi
2
(3.38) avecθi l’angle entre la normale et la lumière. Naturellement, plus la lumière est rasante, plus l’incertitude sur ce terme est élevée, il tend même vers +∞. Il sera alors crucial d’avoir une normale bien connue pour obtenir des valeurs correctes de BRDF pour ces incidences, sans quoi elle seront impossibles à mesurer.
On peut finalement résumer les incertitudes de la manière suivante :
— Radiométrie de la caméra : facile à minimiser pour peu d’avoir une procédure de calibration précise. Les mesures relatives sont de meilleure qualité.
— Radiométrie de l’éclairage : pas de difficulté particulière si la lumière est angulai-rement basse fréquence.
— Géométrie de la caméra : à plusieurs dizaines de centimètres de distance il faut sa-voir où se projette un pixel à typiquement de l’ordre du dixième de millimètre près.
La position de la caméra par rapport à l’objet doit être tout aussi bien connue. L’ac-cent doit être mis sur cette calibration afin d’obtenir de bons résultats.
— Géométrie de la source de lumière : la source de lumière est généralement unique et située loin de l’objet à mesurer, une erreur sur sa position ne provoque qu’une faible erreur sur la directionωi.
— Géométrie de l’objet : la surface de l’objet doit être bien connue. Si on peut être tolérant vis-à-vis de la position des points de la surface (précision sous la projection du pixel), la normale doit être quant à elle très précise sans quoi la mesure de BRDF est directement faussée.
Si la normale à la surface n’est pas suffisamment précise, on n’interprétera pas la mesure comme étant une mesure de BRDF. Des algorithmes spécialisés se chargeront de déterminera posteriori quelle normale permet de vérifier au mieux certaines propriétés présumées de la BRDF [Lenschet al., 2003; Wanget al., 2016; Choeet al., 2016].