Analyse en fr´ equence

WjODFRQIRFDOLWpIU RLGHPP

Fig. 6.40 – Position de la confocalit´e en fonction de la puissance de pompe (mesure directe effectu´e avec un OPO doublement r´esonnant).

Afin de s’affranchir des probl`emes li´es `a la position de la r´esonance de la pompe nous avons ´etudi´e une cavit´e doublement d´eg´en´er´ee. Cela signifie que nous avons utilis´e des miroirs ayant les mˆeme rayons de courbure et coefficients de r´eflexion dans l’infra-rouge, mais parfaitement transparents pour la pompe. Ainsi, la puissance de chauffage ne d´epend aucunement de la longueur de la cavit´e. Nous avons pu alors mesurer direc-tement la longueur de la cavit´e `a confocalit´e en fonction de la puissance de pompe, ce qui est repr´esent´e en figure 6.40. On voit une d´ependance `a peu pr`es lin´eaire, et qui confirme le caract`ere macroscopique du d´eplacement avec une pente de l’ordre de 3mm par Watt de puissance de pompe.

D.2 Analyse en fr´equence

La temp´erature `a laquelle nous utilisons notre cristal (de l’ordre de 25<sup>o</sup>C) fait que les fr´equences d’´emission du signal et du compl´ementaires sont tr`es proches, mais pas identiques. Nous avons ´etudi´e leur d´ependance en fonction des effets thermiques et de la temp´erature du cristal.

180 Chapitre 6. L’oscillateur param´etrique optique

D.2.1 Un peu de th´eorie

On trouvera tous les d´etails sur les fr´equences d’´emission des oscillateur param´etriques optiques dans [Debuisschert 93]. Nous allons ici simplement r´esumer les propri´et´es d’un tel syst`eme. La quantit´e conserv´ee dans le syst`eme est l’´energie, via la relation ω_p = ω_s + ω_c (relation entre les pulsations respectives de la pompe, du signal et du compl´ementaire). Comme la pompe a une fr´equence impos´ee, ω_s+ω_c est une constante, pour connaˆıtre les fr´equence d’´emission du champ signal et du champ compl´ementaire il suffit alors de connaˆıtre ∆ω = ω_s − ωc. Les fr´equences d’´emission seront donc ca-ract´eris´ees par la fr´equence de battement :

∆ν = ν_s− νc. (6-17)

R´esumons les param`etres responsables du choix de ∆ν par le syst`eme, et leur

d´ependance avec la temp´erature :

R´esonance signal et compl´ementaire

Les champs signal et compl´ementaire doivent respecter les conditions de r´esonance de la cavit´e (comparables `a l’´equation (6-11)). Ces conditions, avec la conservation de l’´energie, imposent la discr´etisation des valeurs de ∆ν possibles en fonction de la longueur de cavit´e. Le syst`eme est alors susceptible de ’sauter’ d’un mode d’oscillation `

a l’autre, la distance entre deux modes vaux dans notre cas (voir [Debuisschert 93]) :

∆_∆ν = ^c

L ' 3 GHz. (6-18)

o`u L est la longueur effective de la cavit´e. On appellera les fr´equences de battements impos´ees par cette condition de r´esonance ∆ν<sub>m</sub> o`u m est un entier. Lorsque l’on change la temp´erature du cristal, cela change les indices du cristal et donc les conditions de r´esonance, celles-ci vont donc se d´eplacer avec la temp´erature du cristal.

R´esonance de la pompe

L’´emission avec une puissance de pompe proche du seuil d’oscillation ne peut avoir lieu que pour une longueur de cavit´e pour laquelle la pompe est proche de la r´esonance. A l’int´erieur de chaque pic de r´esonance de pompe, se trouvent plusieurs r´esonances de signal et compl´ementaire remplissant les conditions pr´ec´edentes. Il y a donc un

ensemble de fr´equences d’oscillation possibles pour chaque r´esonance de pompe. Le

D Effets thermiques et analyse en fr´equence 181

battement. Avec δn la diff´erence d’indice entre les deux polarisations et l la longueur du cristal il vient

∆_∆ν = ^c

δnl ' 300 GHz. (6-19)

Accord de phase

En plus de ces conditions de r´esonance, il faut ´egalement prendre en compte la conservation de l’impulsion lors du processus param´etrique. Si l’on appelle ∆k = k_p− k_s− kc le d´esaccord de phase, o`u k_p, k_s et k_c sont respectivement les vecteurs d’onde de la pompe, du signal et du compl´ementaire, le seuil de la cavit´e est minimum pour

∆k = 0. Cette valeur correspond `a une fr´equence de battement ∆ν_k qui n’est pas

forc´ement une des fr´equences autoris´ees par les conditions de r´esonance. Le syst`eme choisit donc la fr´equence de battement ∆ν_m autoris´ee par les conditions de r´esonance la plus proche possible de ∆ν_k. Lorsque l’on change la temp´erature du cristal, on change les indices respectifs des deux polarisations et donc la condition d’accord de phase. Cet effet induit un changement de la fr´equence de battement en fonction de la temp´erature du cristal.

Synth`ese

Fig. 6.41 – Choix de la fr´equence de battement entre le signal et le compl´ementaire. La courbe de minimum ∆ν_k est celle de l’accord de phase, les lignes verticales correspondent aux r´esonances successives et la derni`ere courbe repr´esente les r´esonances de la pompe. La fr´equence choisi par le syst`eme sera celle, dans une r´esonance de pompe, la plus proche du parfait accord de phase.

On peut voir en figure 6.41 comment se r´epartissent les diff´erents processus pour le choix de la fr´equence d’´emission. On voit que globalement celle-ci est impos´ee par l’accord de phase, et que sa valeur pr´ecise est d´etermin´ee par les conditions de

182 Chapitre 6. L’oscillateur param´etrique optique

r´esonance. Lorsque l’on change la temp´erature du cristal, cela change `a la fois les conditions de r´esonance et les conditions d’accord de phase, cependant, toujours d’apr`es [Debuisschert 93], on voit que le rapport entre ces deux variations, si l’on appelle T la temp´erature, est donn´e par

[∂(∆ν_m)]/∂T

[∂(∆ν_k)]/∂T ' − ^δnl

2(L + nl) ' 1, 5.10−2_{. (6-20)}

Ainsi la variation due `a l’accord de phase est beaucoup plus importante que celle due

aux conditions de r´esonance. On peut donc, en faisant varier exp´erimentalement la

temp´erature, voir les variations associ´ees aux conditions d’accord de phase.

D.2.2 Etude exp´^´ erimentale

D´ependance avec la temp´erature du cristal

Pour ´etudier les fr´equences d’´emission du syst`eme, nous avons plac´e en sortie de l’OPO un spectrom`etre et une cavit´e Fabry-P´erot (voir figure 6.37). Le spectrom`etre avait une r´esolution effective de l’ordre de 30 GHz. La cavit´e Fabry-P´erot ´etait une cavit´e confocale de 10cm de long, avec donc un intervalle spectral libre correspondant `

a une fr´equence de 1, 5 GHz. La r´esolution de cette cavit´e est donn´ee par sa finesse,

qui est de l’ordre de 50 soit une r´esolution de 30 M Hz modulo 1, 5GHz. Nous avions

donc une bande d’incertitude situ´ee entre 1.5 GHz et 30 GHz. De fait, pour l’´etude des fr´equences d’´emission en fonction de la temp´erature nous n’avons utilis´e que le spectrom`etre, le Fabry-P´erot nous permettant simplement de visualiser les sauts de mode. -100 0 100 200 300 24 29 34 39 44 )UpTXH QFH GH EDWWHPH QW*+ ] 7HPSpUDWXUHGXFULVWDOƒ&HOVLXV 3HQWH*+]ƒ&

D Effets thermiques et analyse en fr´equence 183

Les r´esultats exp´erimentaux sont donn´es en figure 6.42. On voit une d´ependance parfaitement lin´eaire de la fr´equence de battement avec la temp´erature du cristal, et on voit que l’on coupe la d´eg´en´erescence parfaite `a une temp´erature d’environ 38^oC.

D´ependance avec la puissance de pompe

20 25 30 35 40 45 50 55 60 0 100 200 300 400 )UpTXH QFH GH EDWWHPH QW*+ ] 3XLVVDQFHGHSRPSHP: 3HQWH≈*+]P:

Fig. 6.43 – D´ependance de la fr´equence de battement ∆ν avec la puissance de la pompe Nous avons ´etudi´e l’influence de la puissance de la pompe sur les fr´equences d’´emission.

Nous avons donc, pour une longueur de cavit´e donn´ee, mesur´e ∆ν en fonction de la

puissance de pompe, comme cela est repr´esent´e en figure 6.43. On voit une d´ependance `

a peu pr`es lin´eaire, qui permet de d´eduire, pour une variation de puissance de pompe donn´ee, la variation de fr´equence de battement, et donc `a partir de la courbe 6.42 la variation de temp´erature du cristal associ´ee :

∆Puissance_pompe= 10mW ⇐⇒ ∆∆ν = 1 GHz ⇐⇒ ∆T = 0, 05 K.

Conclusion

Ces ´etudes nous montrent que l’on travaille en g´en´eral proche de la d´eg´en´erescence transverse, mais qu’aucun m´ecanisme ne fixe les fr´equence d’´emission. Ainsi, d’une r´ealisation sur l’autre, mˆeme avec des conditions exp´erimentales proches, les fr´equences d’´emission seront diff´erentes.