Analyse des erreurs sur l’identification du dipôle par le système LLA

II.4.2.1. Expérience numérique

Nous proposons d’expliquer les erreurs pointées par [BER 89], à l’origine du système LLA, à l’aide d’une expérience numérique. Elle présente l’avantage d’être simple et propose des conclusions intéressantes pour ce travail.

Considérons une source multipolaire magnétique quasi statique, appelée source de référence dans la suite. Nous la contraignons volontairement comme une source d’ordre 4, i.e. ses composantes multipolaire sont toutes nulles dès que n > 4. Ce choix peut sembler arbitraire pour le moment. Mais nous avons vu que nous nous intéressons à l’identification des 8 premiers paramètres du multipôle magnétique (source d’ordre 2). Les composantes des ordres 3 et 4 (16 en tout) sont donc considérés comme des composantes perturbatrices de cette identification. On ne considère pas plus de composantes perturbatrices. En effet, les décroissances en 1/r⁽ⁿ⁺²⁾ du champ B nous permettent de supposer qu’elles ont une zone d’influence très limitée à l’extérieur de la sphère de validité.

L’expérience numérique proposée consiste, en quelque sorte, à reproduire celle du système LLA : la source de référence est centrée dans un repère de coordonnées sphériques et on mesure le flux de champ B traversant une grande antenne boucle d’axe z. Or, c’est

t t e ∂ Φ ∂ − = ) ( , ^(II.87)

où le flux Φ est donné par :

( )

∫∫

On considère le cas où la surface est une portion de sphère limitée par l’antenne boucle, n

est un vecteur unitaire normal sortant de l’élément de surface dS.

Le théorème de Stokes nous permet de transformer (II.88) en :

( ) _∫

∫∫

• A est le potentiel vecteur de la source de référence. Son développement

multipolaire en régime quasi statique a déjà été donné en (II.65),

• dl = r_b.dϕ.u_ϕϕϕϕ est l’élément de longueur de l’antenne boucle d’axe z ; le contour

fermé considéré. rb est son rayon.

La configuration de l’expérience numérique est donnée sur la Figure II.9. Afin de donner une influence égale à chacune des 24 composantes de cette source de référence, le rayon de l’antenne boucle est de 1 mètre et toutes les composantes du multipôle sont de valeur unitaire. Ceci nous permet de ne discuter que de l’effet de la répartition angulaire du champ dans l’espace. L’idée est de déplacer l’antenne boucle le long de son axe z, dans les

limites de la sphère de mesure, donc à +/- 1 mètre de part et d’autre de la position centrale. Pour chaque position, on calcule le flux créé par chacune des 24 composantes harmoniques de la source de référence. Cette étape est réalisé grâce au calcul de la circulation du potentiel vecteur A le long du contour fermé qu’est l’antenne boucle, conformément à

θθθθ

r

ϕ

Figure II.9. Configuration de l’expérience numérique. L’antenne boucle est déplacée le long de son axe z.

Les résultats sont regroupés sur la Figure II.10. En abscisse sont reportées les différentes positions de l’antenne boucle entre -1 et +1 mètre sur l’axe z. En ordonnées, on retrouve le flux créé par chacune des composantes. Il est donc noté Φnm et est exprimé en Weber (Wb).

En observant la Figure II.10, on fait un premier constat important : sur les 24 composantes

Bnm du champ créées par la source de référence, seules celles d’axe z (donc d’indice m = 0) créent un flux non nul dans cette antenne boucle et ce, quelle que soit sa position. On le savait déjà pour les autres composantes du dipôle d’après la présentation faite au chapitre I du système LLA. C’est une conséquence directe des propriétés d’orthogonalité du développement multipolaire. La forme de l’antenne boucle est donc capable de sélectionner un ensemble de composantes quelle que soit leur intensité. Voici donc une première illustration de cette notion de filtrage spatial des composantes du développement multipolaire.

En examinant de plus près les formes des contributions dans le contour, on s’aperçoit qu’elles sont différentes selon l’ordre de la composante. Ainsi, celles d’ordre impair (n = 1 et n = 3) créent un flux qui évolue de façon pair par rapport à la position centrale de l’antenne boucle en z = 0, de façon impaire pour les composantes paires (n =2 et n = 4). Les flux des premières sont représentés avec des traits, les autres avec des points sur la Figure II.10.

Figure II.10. Flux créés par la source de référence à travers une antenne boucle d’axe z pour différentes positions sur z.

II.4.2.2. Retour sur les erreurs du système LLA

Que fait le système LLA ? Il propose de placer l’antenne boucle sur la position centrale, en

z = 0. Or, il est clair sur la Figure II.10, que cette forme d’antenne placée à cet endroit capte le maximum de flux créé par la composante dipolaire sur z, certes, mais est également sensible à la composante octopolaire d’axe z (qui d’ailleurs est elle aussi à son maximum). Par contre, les composantes B₂₀ et B₄₀ n’y créent aucun flux. Nous sommes à même d’expliquer les erreurs d’identification constatées et reproduites sur la Figure I.28 (page 74).

D’une part, on a vu que, en toute rigueur (i.e. sans hypothèse de distance minimale pour valider le modèle), le multipôle équivalent à la boucle de courant élémentaire possédait des composantes d’ordre impair. Elles sont d’autant plus intenses que le rayon de la boucle est grand ou bien, ce qui est équivalent, qu’on se rapproche d’elle. C’est un des tests réalisés par [BER 89] : l’augmentation du rayon du dipôle source selon z à rayon d’antenne boucle fixe, augmente l’influence de la contribution d’ordre 3 (et plus) dans la mesure du courant induit dans l’antenne. Cette contribution est donc bien une perturbation puisqu’elle vient modifier la valeur de la composante A₁₀ recherchée. Cela explique la dérive constatée sur la valeur de cette composante.

D’autre part, on a également étudié l’effet du décentrage du dipôle par rapport au centre de la décomposition : cela enrichit son multipôle. Or, il est équivalent en terme de

développement multipolaire de décentrer la source ou de décaler l’antenne boucle. Ainsi, dans certaines configurations de déplacement (ici sur l’axe z), il apparaît des composantes

B20, B30, B40 et plus, dans le développement multipolaire de la boucle de courant d’axe z. D’après la Figure II.10, seule la composante B₃₀ est susceptible de perturber l’identification de A10. C’est de nouveau le constat fait sur la Figure I.28 (page 74) : le décalage de la boucle de courant étudiée modifie la mesure de la composante A10 selon qu’elle est décalée suivant z ou dans le plan xy. Pour ce premier décalage, l’explication est maintenant clarifiée.

En utilisant les quelques propriétés de symétrie des harmoniques sphériques réelles données précédemment, nous sommes capables de généraliser ces constats. Les observations qui viennent d’être faite concernant l’axe z sont transposables sur les deux autres axes x et y. En effet, d’une part, les composantes d’ordre 1 du multipôle sur les axes

x et y sont à l’image de celle sur l’axe z après simple rotation, et, d’autre part, il en est de

même concernant la géométrie de l’antenne boucle. Les composantes d’ordres supérieurs sur les axes x et y vont donc avoir des comportements similaires à ceux sur l’axe z. Le système LLA identifie les composantes A1m du multipôle équivalent de la source par l’intermédiaire de la mesure de la composante radiale du champ B correspondant. La forme des antennes boucles réalise ainsi un filtrage spatial des composantes d’ordre 2 sur une source de référence d’ordre 2. Par contre, la mesure est sensible dès l’ordre 3 du développement multipolaire.

Nous sommes maintenant en mesure d’expliquer le grand diamètre de ces antennes. Avec cette forme simple d’antenne boucle, le seul moyen d’améliorer la qualité du filtrage sur les composantes d’ordre 3 est de compter sur la propriété de décroissance plus rapide des ordres supérieurs à 2. Il faut donc que le système de mesure soit suffisamment éloigné de la source pour espérer que les composantes B3m (et plus) soient d’intensité suffisamment réduite pour ne pas trop perturber l’identification des A1m.

II.4.2.3. Principe de notre solution

Les résultats observés et commentés avec la Figure II.10 et la critique du système LLA précédente nous permettent d’introduire simplement le concept sur lequel repose notre proposition d’amélioration du dispositif de mesure. En effet, sur cette figure, on remarque qu’il existe des positions de l’antenne boucle sur z pour lesquelles le flux Φ30 est nul. Elles sont symétriques par rapport à la position centrale, en z = +/- 0,5 m. Si on dispose précisément une antenne boucle sur chacune de ces positions, la composante B₃₀ n’est plus en mesure d’y créer du flux (positions signalées en rouge sur la Figure II.10). Par contre,

B20 et B40 le font. Mais les propriétés de parité des flux nous montrent que la composition additive des mesures dans chacune de ces antennes boucles sont constructives pour la composante B₁₀, destructives pour les deux dernières. La géométrie globale de ce nouveau capteur, constitué de deux antennes boucles, correspond très exactement à celle des bobines d’Helmholtz, géométrie déjà proposée comme une amélioration par [PAS 92] et décrite dans le chapitre précédent.

Par contre, il est difficile de généraliser pour le moment cette discussion à l’identification de toutes les composantes du quadripôle. Nous verrons cela dans le chapitre III de manière rigoureuse et systématique.

II.4.3. Conclusion

Ainsi, aux vues de ces quelques résultats, nous sommes donc en mesure d’apporter une amélioration notable au système LLA. D’une part, nous envisageons d’ajouter l’identification des composantes du quadripôle et les observations simples précédentes nous y encouragent. Et, d’autre part, en transformant le dessin des boucles de détection, on peut repousser la sensibilité du capteur au delà de l’ordre 4. D’un système d’identification des 3 composantes de l’ordre 1 par filtrage angulaire des composantes de l’ordre 2 du multipôle, nous ambitionnons la réalisation d’un capteur des 8 paramètres des ordres 1 et 2 par filtrage angulaire des composantes d’une source d’ordre allant jusqu’à l’ordre 4 inclus. Ainsi, les premières signatures parasites ne devront intervenir qu’à partir de l’ordre 5. Mais elles ont une décroissance en 1/r⁽ⁿ⁺⁷⁾ et, à priori, sont peu présentes dans les structures étudiées.

Néanmoins, nous verrons que si ces composantes d’ordre supérieures à 4 existent, elles peuvent perturber de manière non négligeable l’identification des 8 composantes recherchées. Ainsi, tout comme procède le système LLA, il faudra aussi s’éloigner de la sphère de validité pour dessiner les nouveaux contours. Mais nous gagnons, dans tous les cas, sur le plan de la dimension du capteur. Ainsi, nous verrons qu’à précision d’identification identique, le diamètre des nouveaux capteurs sera plus faible. Les difficultés rencontrées lors de l’utilisation du système LLA dès 5 MHz par [SAV 04] et liées aux phénomènes de propagations seront ainsi résolues.

Nous proposons maintenant d’exposer un outil qui utilise le produit scalaire défini pour les fonctions harmoniques sphériques (II.70). Le champ magnétique (ou plus exactement sa composante radiale) créé par la source numérique est calculé sur toute la surface de la sphère de validité. Les composantes du multipôle magnétique équivalent à la source complexe sont alors calculées par projection orthogonale sur la base du multipôle. L’outil peut s’avérer intéressant dans le cadre du prototypage virtuel des systèmes d’électronique de puissance dans un logiciel basé sur la Méthode des Eléments Finis (MEF).