Analyse du processus de séparation et d'évaluation

Nous avons repertorié les résultats intermédaires du processus d'optimisation pour le problème initial. La figure IV.23 représente l'évolution de l'objectif au cours des itérations successives.

Le point de départ du calcul (étape 1) a été déterminé à partir de l'algorithme défini en IV 3.3. Il amène une valeur de l'objectif de 1.50.

Le processus d'optimisation d'Excel commence par résoudre le problème en variables continues et arrive à la solution suivante (étape 4) :

De = 30 mm, d = 2.91 mm,

τ

0 = 4.01 %Rm, ne = 31.72 mm, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm

Comme la valeur de ne obtenue n'est pas entière, le processus d'optimisation effectue la "séparation et évaluation". Le domaine de variation initial pour ne : [3 ; ...] est divisé en deux à partir de la valeur de ne obtenue précédement soit : [3 ; ...] = [3 ; 31] ∪ [32 ; ...]

La première branche : [3 ; 31], est parcourue en traitant le problème en variables continues avec ne≤ 31.

Le point de départ de ce nouveau calcul (étape 5) est automatiquement déterminé par le processus et consiste à initialiser la variable séparée à la valeur admissible la plus proche soit : De = 30 mm, d = 2.91 mm,

τ

0 = 4.01 %Rm, ne = 31 mm, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm

L'optimisation en variables continues conduit au résultat suivant (étape 7) :

De = 30 mm, d = 2.90 mm,

τ

0 = 3.99 %Rm, ne = 31 mm, L1 = 157.97 mm, L2 = 197.97 mm

Comme la valeur de ne est entière, la valeur de la fonction objectif associé (αF =1.57) est une "évaluation exacte" du premier domaine. Il n'est donc pas nécessaire de le découper d'avantage, le processus passe à l'évaluation du deuxième domaine.

La deuxième branche : [32 ; ...], est parcourue en traitant le problème en variables continues avec ne≥ 32.

Le point de départ de ce nouveau calcul (étape 8) est automatiquement déterminé par le processus et consiste à initialiser la variable séparée à la valeur admissible la plus proche sans modifier les autres soit :

De = 30 mm, d = 2.90 mm,

τ

0 = 3.99 %Rm, ne = 32 mm, L1 = 157.97 mm, L2 = 197.97 mm

Pour ce point, la valeur de l'objectif est de 1.65 mais les contraintes sur F1 et F2 sont violées. Le processus, revient donc dans le domaine des solutions réalisables et l'optimisation en variables continues conduit au résultat suivant (étape 12) :

De = 30 mm, d = 2.95 mm,

τ

0 = 4.06 %Rm, ne = 32 mm, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm

Comme la valeur de ne est entière, la valeur de la fonction objectif associé (αF =1.60) est à nouveau une "évaluation exacte" du domaine.

Tous les domaines ont été évalués de manière exacte. Il suffit donc de comparer les évaluations pour retenir la meilleure solution. C'est la solution de l'étape 12 qui présente la meilleure évaluation (αF =1.60), c'est la solution de ce problème en variables mixtes.

3.6 Vérification des résultats

Les résultats ont été vérifiés en utilisant le logiciel GENESIS [GRE 90].

Pour effectuer une modélisation correcte du problème, il est important de bien analyser les particularités du cahier des charges. Dans l'exemple présenté, l'utilisation de la norme DIN pour le calcul entraîne que

τ

0 est fixé dès lors que D et d sont connus. De la même manière, la course Sh est connue, il n'y a donc qu'un paramètre fonctionnel à déterminer.

Comme pour les ressorts de compression (III 3.6), l'expérimentation se déroule en deux étapes.

Dans la première, les intervalles de variation des variables sont les plus grands possibles, le nombre de bits affectés à chaque domaine de variation est déterminé pour avoir une précision suffisante et le coefficient de mutation est fixé à la valeur généralement conseillée.

Pour la première étape :

• Gène 1 : 0.3 ≤ De ≤ 30 (limite du cahier des charges) codé sur 1024 bits (210)

• Gène 2 : 0.15 ≤ d ≤ 15 (limites du fournisseur de fil) codé sur 1024 bits (210)

• Gène 3 : 3 ≤ n ≤ 130 (limites du cahier des charges) codé sur 128 bits (27)

• Gène 4 : 80 ≤ F2 ≤ 90 (limites du cahier des charges) codé sur 64 bits (26)

• Coefficient de mutation 0.001 Le résultat obtenu est :

De = 29.71 mm, d = 2.91, n = 32 et F2 = 81.27

Ces caractéristiques entraînent :

τ

0 = 4.05 %Rm, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm et αF = 1.58 Le résultat est déjà très proche de celui obtenu avec Excel. On peut essayer d'améliorer le résultat en passant à la deuxième expérience.

Cette fois, nous resserrons les bornes des variables et augmentons le coefficient de mutation :

• Gène 1 : 25 ≤ De ≤ 30 (limite du cahier des charges) codé sur 128 bits (27)

• Gène 2 : 1 ≤ d ≤ 5 (limites du fournisseur de fil) codé sur 128 bits (27)

• Gène 3 : 25 ≤ n ≤ 40 (limites du cahier des charges) codé sur 16 bits (24)

• Gène 4 : 80 ≤ F2 ≤ 85 (limites du cahier des charges) codé sur 32 bits (25)

• Coefficient de mutation 0.01 Le résultat obtenu est :

De = 29.96 mm, d = 2.95, n = 32 et F2 = 82.25

Ces caractéristiques entraînent :

τ

0 = 4.07 %Rm, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm et αF = 1.59. Compte tenu des effets de la discrétisation, nous pouvons considérer que les résultats obtenus sont équivalents.

Voyons maintenant comment traiter la suite du problème : nous intégrons un point de passage supplémentaire (F3,L3). Fixer un point de fonctionnement entraîne une équation fonctionnelle entre deux paramètres constructifs. Dans notre cas :F3=F0+(L3−L0)R

Cette relation peut être exprimée en fonction de F0, D, d et n : n D 8 d G ) d D 2 d n 3 L ( 0 F 3 F ₃ 4 + − − + = D'où l'équation : 3 4 D 8 d G ) 0 F 3 F ( d ) d D 2 3 L ( n − + + − =

Dans cet exemple, lorsque D et d sont connus, F0 peut être calculé (norme DIN) et donc aussi la variable n. La variable n peut donc être enlevée du chromosome.

De la même manière, il faut que L1 et L2 ne changent pas et restent égales à 160 et 200 mm. Il n'y a donc plus de paramètre fonctionnel à définir. Le problème obtenu a donc uniquement deux gènes : De et d.

Dans la première étape le problème est défini de la manière suivante :

• Gène 1 : 0.30 ≤ De ≤ 30 (limite du cahier des charges) codé sur 1024 bits (210)

• Gène 2 : 0.5 ≤ d ≤ 15 (limites du fournisseur de fil) codé sur 1024 bits (210)

• Coefficient de mutation 0.001 Le résultat obtenu est :

De = 29.88 mm, d = 2.91. Ces caractéristiques entraînent :

τ

0 = 4.03 %Rm, n = 30, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm et αF = 1.46

Nous procédons dans la deuxième étape à une réduction des bornes des variables :

• Gène 1 : 25 ≤ De ≤ 30 (limite du cahier des charges) codé sur 128 bits (27)

• Gène 2 : 1 ≤ d ≤ 5 (limites du fournisseur de fil) codé sur 128 bits (27)

• Coefficient de mutation 0.01

Le résultat obtenu est quasiment identique au précédent :

De = 29.96 mm, d = 2.92. Ces caractéristiques entraînent :

τ

0 = 4.03 %Rm, n = 30, L1 = 160 mm, L2 = 200 mm et αF = 1.46

Cette fois, le ressort est légèrement différent mais les valeurs de la fonction objectif restent très proches (αF = 1.46 au lieu de αF = 1.47).

3.7 Conclusion

Nous avons présenté une technique pour optimiser le dimensionnement d'un ressort de traction qui intègre tous les calculs de vérification conseillés dans les normes de calcul. Le résultat proposé indique les paramètres constructifs ainsi que les paramètres fonctionnels optimisés.

L’utilisation de la grille de saisie pour renseigner le cahier des charges a de nouveau montré son efficacité. La difficulté de résolution du problème mathématique associé est surmontée en utilisant une méthode combinant arithmétique des intervalles, algorithmes spécifiques (pour trouver les longueurs de fonctionnement optimales), optimisation en variables continues par gradient réduit généralisé puis "séparation et évaluation" pour les variables entières. Les résultats obtenus sont très bons et montrent que la méthode de résolution proposée est efficace et rapide.

Les fonctionnalités complémentaires comme la définition d'un point de fonctionnement supplémentaire peuvent rapidement être utilisées pour élargir la gamme des cahiers des charges utilisables. La performance des résultats ainsi que la rapidité de mise en œuvre (temps de préparation ajouté au temps de calculs) sont toujours suffisantes pour être d'un intérêt certain pour les concepteurs des bureaux d'études comme pour les fabriquants de ressorts.

Dans le document Développement d'outils d'assistance à la conception optimale des liaisons élastiques par ressorts (Page 154-158)