Analyse du contenu énergétique des modes POD

Pour comprendre et quantifier l’effet de la position de l’aiguille sur les grandes échelles de l’écoulement dans le sac, nous allons analyser le contenu énergétique des premiers modes POD les plus énergétiques en fonction de la position de l’aiguille. La Figure 4.8 présente les résultats de l’énergie relative _/ des six premiers modes ( = 0 à 5) par rapport à l’énergie totale pour les cinq cas de levées d’aiguille statiques ℎ = 6, 8, 10, 16 et 31 % simulés avec l’approche LES.

Les résultats du mode moyen = 0 sur la Figure 4.8 (haut - gauche) montrent que l’énergie relative de l’écoulement moyen dans le sac augmente avec l’ouverture de l’aiguille de 55 % environ à faible levée d’aiguille (ℎ = 6 %) pour atteindre ~90 % à haute levée d’aiguille (31 %). Toutefois la valeur absolue de l’énergie du mode 0 décroit d’un facteur de 2 lorsque l’ouverture de l’aiguille passe de 6 % à 31 %. L’augmentation de la fraction d’énergie

/ avec l’ouverture de l’aiguille, observée à la Figure 4.8, s’explique par une forte

décroissante de l’énergie des fluctuations dans le volume du sac avec l’ouverture de l’aiguille. Ce dernier résultat concorde avec les conclusions de l’analyse qualitative réalisée dans la section 4.3.1 à l’aide visualisations des champs de vitesse et des lignes de courant instantanées. En particulier, il a été observé que l’ouverture de l’aiguille cause l’élargissement du jet de carburant issu de la zone du siège avec une diminution de sa vitesse, et une réduction de la zone dynamique située entre le jet et le corps de l’injecteur.

Figure 4.8 Distributions de l’énergie relative des six premiers modes en fonction de la position statique des levées d’aiguille pour ℎ = 6, 8, 10, 16 et 31 %

Pour les modes POD de = 1 à 5, une tendance inverse au mode 0 est observée sur la Figure 4.8. Les résultats montrent une forte décroissance en générale de l’énergie relative

/ des modes POD 1-5 avec l’ouverture de l’aiguille, alors que le maximum d’énergie

étudiée (6-31%), la réduction d’énergie des modes de fluctuation est : d’un facteur 10 sur les modes 1 et 2, facteur 6 sur le mode 3 et d’un facteur 3 sur les modes 4 et 5. Il est ainsi possible de déduire que la turbulence est fortement réduite dans le sac avec l’ouverture de l’aiguille, jusqu’à un facteur 10 sur les deux premiers modes les plus énergétiques des fluctuations.

Pour les hautes levées d’aiguille de 16 et 31 %, les énergies relatives des modes POD 2 et 3 sont presque équivalentes, cela laisse envisager une cohérence entre ces deux modes. Pour vérifier ceci, Ma, Geisler et Schröder (2017) proposent un indice statistique de la qualité de cohérence qui calcule l’intercorrélation entre les fonctions temporelles ( ). Les valeurs de l’indice de cohérence varient entre 0 (modes incohérents) et 1 (cohérence parfaite). Cet indice a été utilisé pour déterminer le niveau de cohérence entre les modes 2 et 3. Les résultats des 5 positions d’aiguille ont montré une cohérence partielle uniquement, avec un indice qui varie entre 0.1 et 0.4 suggérant une faible cohérence entre les deux modes.

L’analyse de l’effet de la position de l’aiguille sur les modes POD 1-5 est maintenant poursuivie en considérant l’énergie relative _/ par rapport à l’énergie cinétique turbulente totale = ∑ , tel que donné par l’équation (4.10).

/ = _∑ (4.10)

L’énergie relative est privilégiée dans l’étude des modes de fluctuations afin de discriminer l’effet du champ moyen. En effet, la contribution énergétique du mode de la moyenne ( = 0) est un ordre de grandeur supérieure à la contribution du premier mode le plus énergétique des fluctuations ( = 1) comme il peut être observé à la Figure 4.8.

La Figure 4.9 présente les résultats de variations de l’énergie relative des modes de fluctuations en fonction de la position de l’aiguille. À la plus faible levée de 6 % considérée, la somme des modes 1-5 représente ~30 % de l’énergie cinétique turbulente totale. Cette contribution subit une forte diminution puis se stabilise autour de 12-14 % pour les levées d’aiguille

intermédiaires (ℎ = 10 et 16 %) avant d’augmenter légèrement à plus hautes levées d’aiguille. Une tendance globalement similaire est observée pour l’énergie relative du mode 1 seul qui contribue à hauteur de 40 à 50 % de la somme des modes 1-5. Ceci confirme l’importance du poids relatif du mode 1 par rapport aux modes supérieurs. Finalement, la Figure 4.9 illustre également que l’énergie relative des modes 1-199 diminue de façon importante, passant d’un peu plus de 45 % de l’énergie totale à une levée de 6 % pour atteindre ~12 % pour une levée d’aiguille de 31 %.

Figure 4.9 Variations de l’énergie cinétique turbulente relative des modes 1, 1-5 et 1-199 en fonction de la position statique des levées

d’aiguille pour ℎ = 6, 8, 10, 16 et 31 %

Le changement de tendance du poids relatif des modes 1-5 avec la position de l’aiguille laisse présager un transfert d’énergie entre les modes POD de fluctuations dans le sac par effet de l’aiguille. Pour confirmer ce constat, nous avons tracé dans la Figure 4.10 les distributions de l’énergie cumulative des modes 1 à 199 pour les différentes levées d’aiguille étudiées. Les résultats montrent trois différentes distributions d’énergie en fonction de la levée d’aiguille : faible levée (6 %), levées intermédiaires (8, 10 et 16 %) et haute levée (31 %). Ces trois

distributions d’énergie traduisent un transfert d’énergie relative entre les premiers modes et les modes supérieurs en fonction de la levée d’aiguille.

Figure 4.10 Distributions de l’énergie cumulative des modes 1 à 199 pour différentes positions statiques de l’aiguille : ℎ = 6, 8, 10, 16 et 31 %

Pour mieux comprendre ce transfert d’énergie, nous considérons par exemple le cas d’une reconstitution POD de 30 % d’énergie cinétique turbulente. À la plus faible levée de 6 %, les 5 premiers modes sont suffisants pour reconstituer 30 % d’énergie. Avec l’ouverture de l’aiguille qui atteint des levées intermédiaires, l’énergie relative initiale est rapidement transférée des bas modes (1-5) vers les modes supérieurs (5-20). Pour ces cas de levées d’aiguille intermédiaires (8, 10 et 16 %), 20 modes environ sont nécessaires pour reconstituer 30 % d’énergie cinétique turbulente. À la plus haute levée d’aiguille (31 %), l’énergie relative est retransférée vers les modes inférieurs, et seulement 12 modes sont nécessaires pour reconstituer 30 % de l’énergie cinétique turbulente de l’écoulement.

Pour conclure sur les résultats de cette section, nous avons pu quantifier l’effet statique de l’aiguille sur la contribution énergétique des six premiers modes POD, et nous avons vu comment l’énergie cinétique turbulente relative se transfère des bas modes les plus énergétiques vers les modes supérieurs et vice-versa en fonction de la levée d’aiguille. Jusqu’à présent, l’effet de l’aiguille sur l’énergie des premiers modes a été quantifié, la distribution spatiale 3D de ces modes dans le volume du sac reste encore abstraite. Pour cela la caractérisation des structures cohérentes associées aux modes POD les plus énergétiques est poursuivie.