Analyse des données expérimentales

A l'aide d'une caméra particulière pour laquelle il est possible de sélectionner

des bandes de longueur d'onde de 15 nm, Ruderman et collaborateurs [85]

repro-duisent l'échantillonnage en longueur d'onde réalisé sur des images naturelles par

les cônes. Ils ont vérié que le codage en opposition de couleur permet de réduire

la redondance du signal de couleur pour des signaux réels. A partir d'une analyse

en composantes principales, ils montrent que les images naturelles sont composées

principalement d'une variation de luminance avec une grande variance, puis d'une

variation de bleu moins jaune avec une variance plus faible, et enn une variation

de rouge moins vert avec une très faible variance.

De plus, à partir de ce procédé expérimental, Paraga et collaborateurs [78] ont

vérié que la luminance était en décroissance de type

1

=f avec la fréquence

spa-tiale. Ils ont montré que la chrominance dénie par L-M suivait également cette loi.

Cependant, la décroissance semblerait plus forte pour des longueurs d'onde entre

400 et 500 nm que pour les longueurs d'onde entre 520 et 640 nm. Cette

remar-que expliremar-que sans doute pourquoi les récepteurs L et M sont couplés et fortement

présents dans la rétine, car dans les grandes longueurs d'onde, les images naturelles

comportent plus de hautes fréquences spatiales. Une étude de Osorio et Bossomaier

[75] semble également conrmer cette hypothèse.

A partir des travaux de Paraga et collaborateurs [78], nous avons estimé la

statistique des images naturelles couleur. Dans leur étude, Paraga et collaborateurs

ont mesuré 28 images naturelles de taille 256x256 pixels pour 31 bandes spectrales

de 10 nm de largeur de bande, entre 400 et 700 nm, chaque pixel de l'image étant

quantié sur 8 bits. Les images par bandes spectrales sont disponibles sur le réseau

internet [78]. Nous disposons donc de mesures de I

(

x;y;

)

pour 256 valeurs de x

et de y et 31 valeurs de .

Nous avons tout d'abord cherché à démontrer la stationnarité du signal de

couleur. Un signal est stationnaire si la matrice de corrélation ou de covariance est

une matrice de Toeplitz. Pour calculer la matrice de covariance nous prenons un

ensemble de vecteurs dont les composantes sont les énergies pour chaque bande

spectrale pour une position spatiale. Le vecteur est une carrotte suivant dans la

des réalisations particulières de la variable aléatoire dans l'image. Il n'est pas

possible de construire l'ensemble des vecteurs des 28 images pour les 256x256 pixels

car la quantité de données est trop importante. Nous choisissons au hasard 100

vecteurs dans chacune des 28 images disponibles.

A(

n;

)=

I

(

x

(

n

)

;y

(

n

)

;

)

(3.34)

x;y: séquence de positions aléatoires

n

=1:100

La matrice de covariance de

A

est estimée par la relation suivante:

Cov

(

1

;

2 )=

Ek

h ; A(

n;

1 ); A(

n;

1 ) ; A(

n;

2 ); A(

n;

2 )

T

i

(3.35)

Le résultat du calcul de la matrice de covariance montre que le signal

échan-tillonné sur la variable de longueur d'onde n'est pas stationnaire (g. 3.13), car

la matrice n'est pas une matrice de Toeplitz, c'est-à-dire que les valeurs sur les

diagonales de la matrice ne sont pas toutes identiques.

lambda1

lambda2

5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30

Figure 3.13: Résultat du calcul de la covariance des vecteurs chromatiques. Les données

expérimentales ne permettent pas de montrer la stationarité sur .

Les résultats sont cependant à prendre avec beaucoup de précautions. D'une

part, le nombre d'images n'est pas susant pour établir un résultat général

-able. D'autre part, la sélection de bandes de longeurs d'onde n'est pas une chose

facile. Les ltres sélectifs interposés devant la caméra modient un peu la

struc-ture spatiale de l'image car ils induisent des distorsions spatiales. La sélectivité

des ltres n'est peut-être pas susante et surement pas assez homogène. De plus

l'acquisition de toutes les bandes spectrales n'est pas immédiate, il faut environ 3

à 5 minutes pour acquérir l'ensemble des images, la composition chromatique peut

changer pendant cette durée.

La stationnarité spatiale est généralement admise pour les images naturelles,

nous l'avons également vériée sur ces données. Par contre, la stationarité

chroma-tique n'est pas facile à évaluer. Intuitivement, si l'on considère que les spectres des

objets naturels sont des fonctions continues et lentement variables en fonction de

la longeur d'onde, ils doivent être stationnaires, au moins dans la plage centrale

des longeurs d'ondes visibles. C'est une hypothèse que nous formulerons, sachant

qu'elle doit être testée expérimentalement.

Ensuite nous avons cherché à montrer la séparation de la corrélation en produit

de corrélation spatiale et chromatique. En supposant le signal stationnaire pour les

variables spatiales et chromatique, nous pouvons calculer la corrélation comme la

transformée de Fourier inverse du carré du module de la transformée de Fourier du

signal. Pour eectuer ce calcul nous avons utilisé la transformée de Fourier rapide

(FFT) tridimensionnelle.

RI

(k

;

)=

iFFT

(j

FFT

(

I

(k

;

))j 2 )=

RI

(k)

(

)

(3.36)

avec

k=[

x;y

]

T

Nous avons vérié sur les 28 images que la corrélation peut se décomposer en

produit de corrélation spatiale et chromatique. Bien évidemment, pour en avoir

la certitude, il faut répéter l'opération sur un grand nombre d'images. La gure

suivante montre les deux corrélations obtenues par le calcul sur l'ensemble de la

base d'images à bandes spectrales.

Comme nous l'avons vu, cette propriété nous permet l'étude théorique de

l'autocorrélation statistique du signal composite de la rétine.

0 ⁵ 10 15 ²⁰ 25 30 ³⁵ 0 10 20 30 40 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x y R(x,y) 0 5 10 15 20 25 30 35 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 lambda eta 0 ⁵ 10 ¹⁵ 20 ²⁵ 30 35 0 10 20 30 40 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 10⁻⁵

x

y

Erreur

Figure 3.14: La corrélation spatio-chromatique est décomposable en produit de la

corrélation spatiale et de la corrélation chromatique. A gauche - Corrélation spatiale

RI

(k)

. A droite - Corrélation chromatique

(

)

. En bas - Moyenne sur de l'erreur

E

=

RI

(k

;

);

RI

(k)

(

)

engendrée par la décomposition en produit. Cette moyenne

est très faible,

10

3.5 Propriétés de l'échantillonnage chromatique

Dans le document Le traitement du signal chromatique dans la rétine : Un modèle de base pour la perception humaine des couleurs. (Page 172-176)