Analyse des résultats avec asymétrie d’information

• •• FIGURE4.1 – Ex-plication du

box-plot. ^F_{pour les scénarios CS et CT pour}^{IGURE 4.2 – Gains du fournisseur} chaque classe d’instances où T = 10.

La lecture d’un boxplot se fait de la manière suivante (voir figure 4.1). La ligne du milieu représente la médiane, les côtés du boxplot représentent le premier et le troisième quartiles notés Q1et Q3respectivement. Les "moustaches" (les extrémités hors du boxplot) représentent la valeur maximale M et minimale m calculées suivant les formules M = min(Q3+ 1.5(Q3− Q1), gmax) où gmaxest le gain maximal observé sur l’ensemble des valeurs et M = min(Q1+ 1.5(Q3−Q1), gmin) où gminest le gain minimal observé sur l’ensemble des valeurs considérées. Les points isolés correspondent aux gains qui sont soient supérieurs à M , soit inférieurs à m. La figure 4.2 représente les résultats des scénarios CS et CT sous forme de boxplot quand T = 10. Sur la figure, nous pouvons observer qu’il y a une différence entre les gains associés au scénario CS et ceux associés au scénario CT. Pour la classe B, le gain du fournisseur est au moins égal à 6.8% avec le scénario CS et 11.8% avec le scénario CT pour la moitié des instances, et parmi ces instances, 25% d’entre-elles ont un gain au moins égal à 27% avec le scénario CS et 29.3% avec le scénario CT. Pour la classe A, les boxplots nous permet de mieux la répartition des gains parmi toutes les instances. La médiane est à 0% pour les deux scénarios alors que dans le tableau 4.4, la moyenne des gains est égal à 5.9% pour le scénario CS et 6.9% pour le scénario CT.

4.1.3 Analyse des résultats avec asymétrie d’information

Dans cette section, nous fournissons une analyse expérimentale pour évaluer le gain du fournisseur dans le cas où soit f^D, soit p^D, ou h^Dest privé. Pour les tests, nous avons utilisé la formulation étendue basée sur le problème de localisation (Pochet et Wolsey, 2006) pour la résolution des problèmes avec le solveur CPLEX.

L’hypothèse d’asymétrie d’information nécessité la génération de profils selon le coût privé du distributeur. Par la suite, les paramètres sont générés aléatoirement suivant une loi uni-forme U[αβ] où α et β correspondent aux bornes des intervalles décrits ci-dessous. Les para-mètres de coût qui ne sont pas privés sont aléatoirement générés selon les classes d’instances

4.1. Monopole du distributeur 77 décrites dans le tableau 4.1. Le coût fixe du fournisseur est donné par fF

t = δpF

t avec δ = 500 s’il n’est pas privé.

La génération des paramètres de coût représentant les profils du distributeur se fait de la manière suivante. Pour chaque classe d’instances, nous créons 100 instances telles que T ∈ {10, 20, 30} et N ∈ {2, 10}. La probabilité Piqu’un distributeur soit de profil i ∈ N est tirée aléatoirement dans [0, 1]. Nous normalisons ensuite les valeurs de Pide sorte queP

i∈NPi= 1. Les demandes sont choisies aléatoirement dans l’intervalle [0, 300].

Si le coût de réapprovisionnement du distributeur pD n’est pas privé, il est généré aléa-toirement dans [1, 100]. Si le coût fixe de réapprovisionnement du distributeur f^Dest privé, nous générons ce coût pour représenter les profils en posant f₁^D = δc où c est choisi aléatoi-rement dans l’intervalle [cD min

1 , cD max

1 ] = [1, 20]. Le profil 1 représente un distributeur avec un coût fixe de réapprovisionnement qui n’est pas élevé. Les profils suivants sont créés de sorte que le coût fixe de réapprovisionnement soit croissant. Pour les profils i ∈ {2, . . . , N}, fD

i est tiré aléatoirement dans [c^{D max}i−1 + 100/N, cD max

i−1 + 20 + 100/N ] (20 représente la longueur de l’intervalle et 100/N nous permet de générer les différents profils du distributeur). Par exemple, pour une instance de classe A où N = 2 de coût privé f^D, les coûts sont construits de la manière suivante : h^F, p^F, h^D sont aléatoirement choisis dans l’intervalle discret dé-crit dans le tableau 4.1, pD est aléatoirement généré dans [1, 100], fD

1 est généré en posant fD

1t = δc où c est aléatoirement choisi dans l’intervalle [1, 20] et fD

2 est généré en posant fD

2t = δc où c est choisi dans l’intervalle [70, 90]. De la même manière, si pD(resp. hD) corres-pond au coût privé, p^D1 (resp. h^D1) est choisi aléatoirement dans [p^{D min}1 , pD max

1 ] = [1, 20] (resp. [hD min

1 , hD max

1 ] = [0, 6]), et pour chaque profil i∈ {2, . . . , N}, pD

i (resp. h^D_i ) est aléatoirement généré dans [pD max

i−1 + 100/N, pD max

i−1 + 20 + 100/N ] (resp. [hD max

i−1 + 5, hD max

i−1 + 7 + 5]). Afin de comparer nos résultats avec le cas où il y a une information complète, quand p^D est privé et N = 2, les instances sont construites à partir des instances utilisées pour l’ana-lyse expérimentale avec information complète décrites dans la section 4.1.2 : sous l’hypothèse d’information complète, deux instances sont associées à un quintuplet (p^F, h^F, f^D, h^D, d), une avec pD

∈ [1, 20] et une autre avec pD

∈ [70, 90]. Nous créons alors une instance avec asymé-trie d’information où le distributeur de profil 1 est celle avec p^D ∈ [1, 20] et celui de profil 2 correspond à l’instance avec pD∈ [70, 90]. Remarquons que pour le cas où hDest privé, il n’est pas nécessaire de différencier le cas où h^Dest élevé ou non car les profils du distributeur sont générés de sorte que le coût de stockage associé aux profils est croissant. Dans ce cas, nous considérons donc uniquement les classes A et B.

Résultats expérimentaux

L’espérance du gain du fournisseur, en pourcentage, est égale à (1− E[cF

P]/E[cF])∗ 100 où E[cF

P] correspond à l’espérance du coût du fournisseur pour les scénarios ST, CS et CT et E[cF] est l’espérance du coût du fournisseur lorsque le distributeur impose son plan de réapprovi-sionnement qui est le plus coûteux pour le fournisseur. Les résultats sont reportés dans les tableaux 4.5, 4.6 et 4.7. La colonne Moy (resp. Max) représente la moyenne (resp. maximale) de l’espérance du gain du fournisseur des 100 instances pour chaque classe d’instances.

T = 10 T = 20

ST CS CT ST CS CT

N Classe Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max 2 A 0.0 0.0 5.6 43.9 6.4 43.9 0.0 0.0 12.1 60.6 12.1 60.6 2 B 0.0 0.0 15.0 63.9 16.2 63.9 0.0 0.0 27.2 63.9 27.7 63.9 2 C 0.0 0.0 2.2 29.5 2.2 29.5 0.0 1 2.6 15.6 2.6 15.6 2 D 0.0 0.0 10.8 41.3 10.8 41.3 0.0 0.0 13.8 34 13.8 34 10 A 0.0 0.0 5.8 47.5 6.8 47.5 0.0 1.4 9.5 31.7 9.6 31.7 10 B 0.0 0.0 11.0 51.6 12.5 51.6 0.0 0.3 22 54.8 22.6 54.8 10 C 0.0 0.2 2.2 20.4 2.2 20.4 0.0 0.0 2.5 12.2 2.5 12.2 10 D 0.0 1.7 7.0 33.2 7.0 33.2 0.0 0.0 11.8 37 11.8 37

TABLE4.5 – Moyenne de l’espérance du gain du fournisseur (%) quand p^Dest le coût privé.

(a) Cas où N = 2. (b) Cas où N = 10. FIGURE 4.3 – Espérance du gain du fournisseur pour le scénario CS pour

chaque classe d’instances lorsque pDest privé et T = 30.

Le tableau 4.5 et les figures 4.3 (a), 4.3 (b) présentent les résultats pour le cas où le coût privé est pD(une explication sur la lecture d’un boxplot est fournie dans la section 4.1.2). De la même manière que dans le cas avec information complète, le contrat sans transfert d’argent ne permet pas ua fournisseur d’avoir un gain significatif comparé aux autres contrats. En effet, pour T = 10, seules les classes d’instances C et D avec N = 10 ont un gain strictement positif avec une valeur maximale de 1.7%. Pour T = 20, il y a trois classes d’instances avec un gain positif dont la valeur maximale est 1.4%. Nous comparons les résultats quand N = 2 avec ceux où nous faisons l’hypothèse que tous les paramètres de coût sont connus. Nous obser-vons qu’en pratique l’asymétrie d’information ne détériore pas d’une manière significative le gain du fournisseur comparé au cas avec information complète, il y a une différence d’au plus 1 point de pourcentage entre les deux cas. Ainsi, bien que le coût du fournisseur avec asymé-trie d’information peut augmenter d’un facteur arbitrairement élevé par rapport au cas avec information complète (2.4), ces résultats montrent qu’en pratique, son coût n’augmente pas significativement lorsqu’il y a asymétrie d’information. Le scénario CS permet au fournisseur d’avoir une moyenne de gain aussi significatif que le scénario CT. Pour T = 10, la différence de gain entre ces deux scénarios est au plus de 1.5 points et pour T = 20, elle est au plus de 0.6 points. De plus, pour la classe A et N = 2, les boxplots montrent que 50% des instances ont un gain supérieur à 1% pour le scénario CS et supérieur à 1.5% pour le scénario CT. Parmi elles,

4.1. Monopole du distributeur 79 25% ont un gain entre 8% et 18.5% pour le scénario CS et un gain entre 9.9% et 22.5% pour le scénario CT. De la même manière que pour le cas avec information complète, la moyenne de l’espérance du gain du fournisseur est la moins élevée pour les instances de la classe C. Pour N = 2, il est égal à 2.6% pour la classe C quand T = 20 alors qu’il est au moins égal à 12.1% pour les autres classes. De plus, le fournisseur a une moyenne la plus élevée avec la classe B (27.7% quand T = 20 et N = 2). Le nombre de profils semble avoir un faible impact sur la moyenne de l’espérance du gain du fournisseur. Pour la classe B et pour T = 20, il y a une différence de 5.2 points de pourcentage entre la moyenne quand N = 2 (la moyenne est de 27.2%) et N = 10 (la moyenne est de 22%). En particulier, pour la classe B et N = 2, la moyenne des gains obtenue avec le scénario CT est plus élevée qu’avec le scénario CS.

T = 10 T = 20

ST CS CT ST CS CT

N Classe Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max 2 A 0.0 0.0 2.5 42.3 3.0 42.3 0.0 0.0 9.5 63.2 9.6 63.2 2 B 0.0 0.0 7.0 74.6 9.0 74.6 0.0 0.0 16.9 59.3 17.4 59.3 2 C 0.0 0.0 2.9 31.1 3.0 31.1 0.0 0.0 3.8 29.2 3.8 29.2 2 D 0.0 0.0 8.4 56 8.4 56 0.0 0.9 11.7 52.3 11.7 52.3 10 A 0.0 0.0 1.1 10.2 1.2 10.2 0.0 0.0 4.8 37.4 4.8 37.4 10 B 0.0 0.0 2.3 22.5 3.1 22.5 0.0 0.0 11.3 69.1 12.3 69.1 10 C 0.0 0.0 2.0 18.8 2.0 18.8 0.0 0.1 3.1 17.5 3.1 17.5 10 D 0.0 0.0 5.3 33.7 5.3 33.7 0.0 0.0 10.8 34.7 10.8 34.7

TABLE4.6 – Moyenne de l’espérance du gain du fournisseur (%) quand f^Dest privé.

T = 10 T = 20

ST CS CT ST CS CT

N Classe Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max Moy Max 2 A 0.0 0.0 2.5 22.3 2.6 22.3 0.0 0.0 4.1 30.1 4.2 30.1 2 B 0.0 0.0 6.7 42.9 7.4 42.9 0.0 0.0 10.7 50.4 10.8 50.4 10 A 0.0 0.0 0.6 8.3 0.6 8.3 0.0 0.0 1.0 11.1 1.0 11.1 10 B 0.0 0.0 2.0 14.2 2.2 14.2 0.0 0.0 3.7 15.5 3.7 15.5

TABLE4.7 – Moyenne de l’espérance du gain du fournisseur (%) quand h^Dest privé.

Quand le coût de stockage du distributeur h^Dest privé, la moyenne de l’espérance du gain du fournisseur en moyenne n’est pas aussi élevée que lorsque les autres paramètres de coût sont privés. Pour T = 20 et N = 2, la meilleure moyenne est égale à 10.8% quand hD est privé alors qu’il est de 27.7% quand p^Dest privé et de 17.4% lorsque f^Dest privé. De plus, le nombre de profils semble avoir un impact important sur la moyenne de l’espérance du gain du fournisseur contrairement à l’observation faite lorsque le coût p^Détait privé. Pour T = 20, la meilleure moyenne est égale à 3.7% quand N = 10 et elle est égale à 10.8% quand N = 2. En effet, plus le nombre de profils augmente, plus le coût de stockage du distributeur est élevé. Cependant, lorsque h^Dest élevé, le fournisseur ne diminue pas son coût de manière significa-tive. Ainsi, si le nombre de profils avec un coût de stockage élevé augmente, la moyenne de l’espérance du gain du fournisseur ne sera pas aussi significative qu’avec peu de profils. De

plus, comme pour le cas où pDet fDsont inconnus, lorsque hDest faible et hFest élevé (classe B), la moyenne des gains obtenue est meilleure avec le scénario CT.