contrôlant le modèle analytique seront optimisés et validés grâce aux résultats expérimentaux puis le modèle sera utilisé pour étudier l’effet de la longueur de la chambre sur la structure modale dans le foyer.
2.2 Analyse acoustique du banc CESAM
Le modèle analytique utilisé pour calculer les modes acoustiques s’appuie sur une géométrie simplifiée du banc et ne tient compte ni de l’écoulement moyen ni de l’influence des lignes d’alimentation. On s’appuie ici sur les travaux de Tran (2009), que l’on généralise au cas d’une impédance complexe quelconque en entrée du tube de prémélange.
La figure 2.1 montre le schéma utilisé dans le cadre du modèle acoustique à deux cavités. Les indices P et C désignent respectivement le tube de prémélange et la chambre de combustion. Pour prendre en compte l’impédance de la sortie de la chambre, une correction de bout est ajoutée. Bien que la chambre soit de section carrée, cette correction est prise ici égale à δ = 0.85 r où r est le rayon hydraulique du conduit (Munjal, 1987).
Toutes les variables sont écrites sous forme d’une partie moyenne et d’une
com-posante fluctuante x = x0+x′
. Les perturbations sont considérées harmoniques x′
= ˆx e−iωt, où ω = 2π f + i ωi représente la fréquence angulaire composée
d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Lorsque le taux de croissance
est négatif ωi < 0, les perturbations acoustiques s’atténuent et vice versa. La
température dans le tube de prémélange est estimée à TP = 300 K et dans
la chambre de combustion à TC = 1 200 K. Le choix de cette valeur
particu-lière est justifié dans la section 2.3. La célérité du son dans les deux cavités
est notée respectivement cP et cC. Contrairement aux lignes d’alimentations,
l’effet de l’écoulement moyen sur l’acoustique est ici négligeable car la vitesse de l’écoulement reste faible. D’après les mesures PIV, la vitesse en sortie du tube de prémélange reste inférieure à la valeur limite de 30 m/s, correspondant un nombre de Mach de M = 0.085. Dans ce cas, le facteur d’atténuation dû à
l’écoulement moyen ne peut excéder 1 −$1 − M21/2
= 0.36%.
On s’intéresse aux phénomènes thermoacoustiques dans la plage de fréquences [0 − 1 000] Hz. On vérifie que pour cette gamme de fréquences, seules les ondes acoustiques planes se propagent au sein du système en calculant les fréquences de coupure du tube de prémélange et de la chambre de combustion. Le tube de
prémélange est de forme cylindrique de rayon rP, sa fréquence de coupure est
fcoupP = 1.84 cP
2πrP (2.1)
La chambre de combustion est rectangulaire, dans ce cas la fréquence de coupure est donnée par :
fcoupC = cC
2h (2.2)
où h est le côté le plus long de la section de la chambre (ici ces deux longueurs sont identiques puisque la section est carrée).
Pour une température du prémélangeur TP = 300 K, on trouve une fréquence
de coupure fcoupP = 6 774 Hz. Une température dans la chambre TC = 300 K
donne une fréquence de coupure fcoupC = 1 826 Hz. Lorsque la température dans
la chambre TC croît la fréquence fcoupC augmente. Par exemple à TC = 1 200 K,
fcoupC = 3 542 Hz. Dans tous les cas, pour des fréquences comprises entre 0 et
1 000 Hz, seules les ondes planes se propagent au sein du système.
Le champ acoustique dans les deux cavités est décomposé en ondes
progres-sives et régresprogres-sives (Fig. 2.1). En introduisant les notations ZP = ρPcP,
ZC = ρCcC pour les impédances caractéristiques dans le tube de prémélange
et la chambre de combustion, et k = ω/c pour le nombre d’onde, le champ acoustique est donné par le jeu d’équations :
ˆ pP(x) = A+PeikPx+ A−P e−ikPx (2.3) ZPuˆP(x) = A+P eikPx − A−Pe−ikPx (2.4) ˆ pC(x) = A+CeikCx+ A−Ce−ikCx (2.5) ZPuˆC(x) = A+CeikCx− A−Ce−ikCx (2.6)
Les conditions limites sont définies par le coefficient de réflexion acoustique au fond du tube de prémélange, ainsi que les conditions de saut entre le tube et la chambre données par la continuité des fluctuations de pression et du débit acoustique volumique (Munjal, 1987). La dernière condition à la sortie de la chambre de combustion est l’absence de fluctuations de pression :
Sec. 2.2 -Analyse acoustique du banc CESAM 51 R(0) = R = R0eiΦ = A+P/A−P (2.7) ˆ pP(LP) = ˆpC(LP) (2.8) SPuˆP(LP) = SCuˆC(LP) (2.9) ˆ pC(LP + LC + δ) = 0 (2.10)
La manipulation du système d’équations précédent permet d’obtenir la relation de dispersion associée aux modes acoustiques du système :
(1 + Ξ)hR ei(kPLP+kCLC)+ e−i(kPLP+kCLC)i
+ (1 − Ξ)hR ei(kPLP−kCLC)+ e−i(kPLP−kCLC)i= 0 (2.11) où le nombre sans dimension Ξ correspond à un paramètre de couplage entre le tube de prémélange et la chambre de combustion :
Ξ = SPρCcC SCρPcP ⋍ SP SC r TP TC (2.12)
lorsque la perte de pression entre les deux éléments reste modérée comme c’est le cas sur ce brûleur.
La relation de dispersion permet de déterminer les fréquences propres du sys-tème. Suivant les valeurs de Ξ et R, la résolution de l’équation de dispersion se fait dans le plan réel avec des solutions sous la forme ω = 2π f, où f est la fréquence des modes acoustiques, ou dans le plan complexe avec des solutions
ω = 2π f + iωi, où ωi représente un taux d’atténuation ou de croissance selon
la valeur de son signe.
Lorsque la condition limite au fond du tube de prémélange en x = 0, correspond à une paroi rigide, le coefficient de réflexion acoustique est un nombre réel et vaut R = 1. La relation de dispersion s’écrit alors Tran (2009) :
cos(kPLP) cos(kCLC) − Ξ sin(kPLP) sin(kCLC) = 0 (2.13)
La température dans la chambre de combustion est très élevée comparée à celle
du tube de prémélange. Compte tenu du rapport des sections SP et SC, le
para-mètre Ξ reste petit devant 1. Par exemple pour TP = 300 K et TC = 1 200 K
alors Ξ = 0.038. En négligeant l’influence de Ξ dans un premier temps, l’équa-tion (2.13) devient :
En annulant l’un ou l’autre des deux termes de l’équation Eq. (2.14), les solu-tions obtenues correspondent alors aux modes quart d’onde du tube de prémé-lange d’une part et de la chambre d’autre part :
fPn= (2nP + 1) cP/4 LP
fCn= (2nC+ 1) cC/4 LC (2.15)
où les paramètres nP et nC sont des entiers. Lorsque l’influence du paramètre
Ξ est négligée et le fond du tube de prémélange est parfaitement réfléchissant, le tube de prémélange et la chambre de combustion sont alors acoustiquement découplés. Ce cas limite sert dans la suite de référence pour étudier la structure des modes couplés qui apparaissent en fonctionnement.