Sommaire 2.1 Introduction . . . . 27 2.2 Principe de la conversion analogique numérique . . . . 28
2.2.1 L’échantillonnage . . . . 28 2.2.2 La quantification . . . . 30
2.3 Paramètres d’erreurs des CAN . . . . 32
2.3.1 Sources de bruit . . . . 32 2.3.2 Les erreurs statiques . . . . 33 2.3.3 Les erreurs dynamiques . . . . 37
2.4 Critères de performance d’un CAN . . . . 40
2.4.1 Rapport signal sur bruit . . . . 40 2.4.2 Dynamique libre de raie parasite . . . . 42 2.4.3 Taux de distortion harmonique . . . . 43 2.4.4 Facteur de mérite . . . . 44
2.5 Conclusion . . . . 44
2.1 Introduction
Les convertisseurs analogique numérique (CAN) constituent l’interface fondamentale entre l’en-vironnement physique, où les signaux sont analogiques, et les circuits de traitement numérique des données, très largement utilisés en raison de leur immunité au bruit, de leur insensibilité au
28 Chapitre 2. La conversion analogique numérique
phénomène de dérive, de leur reconfigurabilité et de la souplesse de leur conception. La grandeur physique (température, pression, lumière, son, image) est convertie par des capteurs en un signal électrique dont les valeurs (tension, intensité) dépendent du phénomène physique mesuré. Les convertisseurs sont devenus à, ce titre, un maillon essentiel de l’électronique. Ils sont présents dans la quasi-totalité des circuits mixtes qui contiennent une partie analogique et une partie numérique.
L’opération de conversion analogique numérique, appelée aussi numérisation, se fait en deux étapes distinctes : l’échantillonnage et la quantification. Comme la numérisation s’effectue au moyen de composants électroniques non idéaux, cette opération va engendrer des déformations sur le signal à traiter. Celles-ci seront systématiques par rapport au processus de quantification et aléatoires par rapport à la non idéalité des composants. La première partie de ce chapitre est consacrée à l’étude du principe de fonctionnement du processus d’échantillonnage et de l’opéra-tion de quantifical’opéra-tion. Ensuite, les erreurs dues aux imperfecl’opéra-tions de l’électronique réalisant les circuits de conversion sont détaillées. Enfin, dans la troisième partie, nous détaillons les critères de performance du CAN. Ceux ci dépendent des erreurs statiques résultantes de l’espacement non idéal des niveaux de transitions des codes et des erreurs dynamiques induites par des sources d’erreurs supplémentaires.
2.2 Principe de la conversion analogique numérique
L’opération de conversion analogique numérique consiste à transformer un signal continu dans le temps et en amplitude en un signal discrétisé en temps et en amplitude qui se propage dans des circuits numériques. Ces signaux numériques sont une suite de mots binaires régulièrement espacés dans le temps, ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Quelque soit l’architecture du CAN, le processus de conversion passe par deux étapes : l’échantillonnage temporel et la quantification des amplitudes.
2.2.1 L’échantillonnage
L’opération d’échantillonnage est analysée à travers deux niveaux : le niveau système et le niveau circuit.
2.2.1.1 Aspect système
L’échantillonnage consiste à représenter un signal continu dans le temps s(t) par ses valeurs s(nTs), n ∈ Z, à des instants multiples de Ts, appelée période d’échantillonnage. L’échantillon-nage peut donc être interprété comme la modulation en amplitude d’une distribution u(t)
nom-2.2. Principe de la conversion analogique numérique 29
mée peigne de Dirac par le signal s(t). La représentation mathématique du peigne de Dirac est : u(t) = ∞ X −∞ δ (t − nTs) (2.1)
Pour illustrer ce phénomène, nous utilisons un signal sinusoïdal pur s (t), soit :
s(t) = A × cos (2πf0t + ϕ) (2.2)
où A est l’amplitude maximale, f0 est la fréquence du signal d’entrée et ϕ est la phase. Le signal échantillonné, se(nTs), s’écrit alors sous la forme :
se(nTs) = A × cos (2πf0nTs+ ϕ) (2.3)
D’un point de vue spectrale, l’opération d’échantillonnage affecte le spectre Se(f ) du signal échantillonné. En effet, le spectre du signal échantillonné comprend la fonction S(f ), désigné par la bande de base, ainsi que les bandes images qui correspondent à la translation de la bande de base à des multiples entiers de la fréquence d’échantillonnage [2]. Le spectre du signal échantillonné Se(f ) résulte du produit de convolution de S(f ) par U (f ), U (f ) étant le spectre de la fonction peigne de Dirac.
Se(f ) = S (f ) ∗ U (f ) = ∞ X n=−∞ S f − n Ts (2.4)
Une des caractéristiques fondamentales des signaux échantillonnés est leur périodicité spectrale en raison de la convolution de S(f ) par U (f ). Restituer le signal d’origine revient donc à suppri-mer cette périodicité en enlevant les bandes images. Ceci peut être réalisé par un filtre passe bas idéal. Le signal de sortie du filtre y(t) correspond au produit de convolution de la suite se(nTs) par la fonction h(t) qui représente la réponse impulsionnelle de ce filtre idéal, soit :
h(t) = sin πt Ts πt Ts (2.5)
Pour que le signal y(t) soit identique au signal d’origine, il faut que son spectre soit identique à S(f ). Ceci n’est possible que si le spectre d’origine ne contient pas de fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d’échantillonnage. Dans le cas contraire, la bande image se replie sur la bande de base, d’où le théorème d’échantillonnage de Shannon, qui est satisfait lorsque : fs≥ 2f0.
30 Chapitre 2. La conversion analogique numérique
Fig. 2.1 – Modèle idéal d’un échantillonneur bloqueur.
2.2.1.2 Aspect circuit
Dans un convertisseur analogique numérique, l’opération d’échantillonnage est directement suivie par la quantification, qui n’est pas instantanée. Il faut donc maintenir la valeur des échantillons pour assurer la quantification. La manière la plus simple est d’associer un interrupteur à une capacité comme illustré par la figure 2.1 [3]. La capacité joue le rôle d’élément mémoire alors que l’interrupteur réactualise la valeur mémorisée ou l’isole de l’entrée. Dans le cas où l’interrupteur est fermé, l’entrée est transmise sur la sortie : c’est la phase d’échantillonnage. Dans le cas inverse, la sortie reste constante et égale à la dernière valeur du signal transmis : c’est la phase de maintien ou de blocage.
2.2.2 La quantification
2.2.2.1 Principe
La quantification, qui représente la conversion analogique numérique, consiste en l’approxima-tion de chaque valeur du signal échantillonné se(nTs) par un multiple entier d’une quantité élémentaire q appelée pas de quantification ou LSB (Least Significant Bit). Toutes les valeurs de sortie du quantificateur sont multiples de cette quantité élémentaire. Pour un q constant, quelque soit l’amplitude du signal d’entrée, la quantification est dite uniforme [4].
L’opération de quantification revient alors à appliquer au signal d’entrée une caractéristique de transfert en marche d’escalier, comme le montre la figure 2.2.
Le centrage de cette caractéristique de transfert définie le type du quantificateur :
– le quantificateur par arrondi, représenté dans la figure 2.2, arrondi à nq toutes les valeurs de l’intervalle [(n − 12)q, (n +12)q[ ;
– le quantificateur par troncature, qui consiste à approcher par nq toutes valeurs de l’intervalle [nq, (n + 1)q[. La caractéristique est donc déplacée de q2 vers la droite sur l’axe des abscisses. Un des paramètres clés d’un convertisseur analogique numérique est sa résolution N . Le quantum
2.2. Principe de la conversion analogique numérique 31
Fig. 2.2 – Caractéristique de transfert idéale d’une loi de quantification uniforme par arrondi.
q dépend de la résolution et de la dynamique d’entrée (V = Vmax−Vmin) par la relation suivante :
q = V
2N (2.6)
2.2.2.2 Erreur de quantification
Si le quantificateur était idéal avec une résolution N −→ ∞, la caractéristique de transfert serait une droite sur laquelle une équivalence sera faite entre chaque valeur analogique et le code de sortie. Mais, en réalité, N est de valeur finie. Toute une plage de valeur sera convertie en un seul nombre par l’utilisation d’une caractéristique en marche d’escalier. Ceci explique que la quantification, par les approximations utilisées, est un processus irréversible qui provoque une erreur systématique ne dépendant que du pas de quantification utilisé. Ainsi, pour un signal analogique à l’entrée du CAN exprimé par l’équation 2.2, la sortie du quantificateur idéal s’écrit sous la forme :
s (n) = A × cos (2πf0nTs+ ϕ) + eq(n) (2.7)
L’erreur de quantification dépend non seulement de la fonction de transfert du CAN idéal, mais aussi du signal d’entrée considéré. Le bruit de quantification généré présente une densité
32 Chapitre 2. La conversion analogique numérique
spectrale uniforme dans la bandeh−fs
2 ,fs
2 i
, fs= T1
s dont la valeur efficace est donnée 1 par : Bq= √q
12 (2.8)
L’équation 2.8 est vérifiée pour des signaux d’entrées analogiques linéaire ( signaux triangulaires par exemple) et pour des signaux sinusoïdaux [2]. Finalement, les équations 2.6 et 2.8 montrent que plus la résolution du CAN est importante, plus la plage analogique définie par le quantum q est réduite, diminuant de fait le bruit de quantification : une meilleure résolution engendre un faible bruit de quantification.
2.3 Paramètres d’erreurs des CAN
L’opération de quantification induit une erreur systématique, mais un CAN est aussi caractérisé par ses paramètres d’erreurs qui sont liés à l’imperfection de l’électronique utilisée et qui font l’objet de cette partie. Avant de lister ces erreurs, les sources physiques des bruits dans les semiconducteurs sont brièvement rappelées afin d’avoir une vue globale sur les bruits existants dans tout circuit électronique.
2.3.1 Sources de bruit
Le bruit dans les circuits et les composants électroniques est dû à des mouvements spontanés et désordonnés qui affectent les charges électriques élémentaires mobiles. Ces mouvements de charge créent des fluctuations de courant et de tension qui imposent une dégradation des propriétés du dispositif considéré [5]. Parmi les sources de bruit, on peut citer trois grandes catégories : les bruits de diffusion, les bruits en excès et les bruits propres aux jonctions [6]. Ces trois familles vont être succinctement énoncées par la suite.
– Bruit de diffusion : le bruit de diffusion dans un composant est lié aux propriétés intrinsèques du substrat. Il est causé par les interactions entre les électrons circulant dans le circuit et le réseau cristallin du semi-conducteur. Le bruit thermique fait partie de cette famille de bruit. Ce bruit est dû aux mouvements aléatoires des porteurs de charges dans un conducteur. Il affecte en particulier les résistances mais également le courant de drain et de grille pour les transistors MOS.
– Bruit en excès : le nom de ce type de bruit vient du fait qu’il s’ajoute au bruit se retrou-vant naturellement dans les semi-conducteurs, et qui est prévisible physiquement. Le bruit
1Le spectre du bruit de quantification s’étend normalement bien au-delà de la fréquence d’échantillonnage. Mais, puisque l’opération de quantification intervient conjointement avec l’échantillonnage, le repliement spectrale intervient pour borner la bande de ce bruit.
2.3. Paramètres d’erreurs des CAN 33
de Flicker est un de ces bruits. Il s’agit d’un bruit rose ou bruit en f1 en référence à la va-riation de sa densité spectrale de puissance en 1f. Les origines de ce bruit sont difficilement exploitables, mais, il a été reconnu que la raison de la présence de ce bruit est une variation de la conductivité du matériau. Il affecte les résistances, les transistors MOS et le courant de collecteur/émetteur des transistors bipolaires.
– Bruit de jonction : il s’agit ici de la jonction des semiconducteurs. Le bruit de jonction le plus connu est la bruit de grenaille. Son origine est liée à la traversée d’une barrière de potentiel par des porteurs de charge. Il s’agit d’un bruit blanc qui affecte principalement les diodes et les transistors bipolaires.
Ces sources physiques de bruit au niveau des semiconducteurs induisent des erreurs statiques et dynamiques dans les CAN.
2.3.2 Les erreurs statiques
La description statique du quantificateur idéal présenté dans la première partie utilise une ca-ractéristique indépendante du signal d’entrée. Dans le cas réel, cette caca-ractéristique va s’écarter de sa position d’origine. La manière avec laquelle cet écart existe définit la nature de l’erreur que nous exposons dans les paragraphes suivants, [7].
Fig. 2.3 – Erreur d’offset.
2.3.2.1 Erreur d’offset
L’erreur d’offset, comme le montre la figure 2.3, est un décalage en tension introduit par le convertisseur sur l’ensemble du signal. Connu aussi sous le nom d’erreur sur le zéro analogique,
34 Chapitre 2. La conversion analogique numérique
cette erreur est exprimée en LSB ou en pourcentage de la pleine échelle. Il s’agit d’une constante O ∈ Z additive au signal de sortie du CAN et dans le cas idéal, cette erreur vaut zéro. Comparée à l’équation 2.7, la sortie du CAN en présence d’une erreur d’offset, aura la forme suivante :
s(n) = O + A cos (2πf0nTs+ ϕ) + eq(n) (2.9)
où eq(n) désigne le signal d’erreur de quantification.
2.3.2.2 Erreur de gain
L’erreur de gain consiste en un changement de la pente de la caractéristique de transfert idéale conformément à la figure 2.4. Cette erreur peut altérer la pleine échelle du convertisseur et par la suite la valeur du quantum. Il s’agit d’une constante G ∈ Z multiplicative du signal de sortie et dans le cas idéal, cette erreur vaut 1. Elle est exprimée en LSB ou en pourcentage de la pleine échelle. Comparée à l’équation 2.7, la sortie du CAN en présence d’une erreur de gain, aura la forme suivante :
s(n) = G × A cos (2πf0nTs+ ϕ) + eq(n) (2.10)
Fig. 2.4 – Erreur de gain.
2.3.2.3 Erreur de non-linéarité
Les erreurs de non-linéarités reflètent des variations locales, ne pouvant pas s’exprimer de façon linéaire, des seuils analogiques de transition de la caractéristique de transfert. Deux paramètres
2.3. Paramètres d’erreurs des CAN 35
de non linéarité sont définis : la N LD (non-linéarité différentielle) et la N LI (non-linéarité in-tégrale). Ces paramètres ne sont déterminés une fois les erreurs d’offset et de gain corrigées.
– NLD : Pour un code i, la N LD(i) correspond à l’écart entre la largeur réelle de la marche associée à ce code, qi et la largeur théorique, q de la caractéristique de transfert. Cette valeur est normalisée par q et est exprimée en LSB [8].
N LD(i) = qi− q
q (2.11)
Dans la littérature, le terme N LD d’un convertisseur défini le maximum de toutes les N LD(i) calculées sur tous les codes de sortie du CAN, figure 2.5.
N LD = max (N LD(i)) (2.12)
Dans le cas idéal, cette valeur vaut zéro. Si cette valeur excède −1 LSB, le convertisseur présente des codes manquants.
Fig. 2.5 – Erreur de non-linéarité différentielle.
– NLI : La NLI du code i , exprime la somme cumulée des N LD jusqu’au rang i :
N LI(i) =X j≤i
N LD(j) (2.13)
L’erreur de linéarité intégrale du code i représente l’écart entre le centre réel du palier i et son centre idéal théorique. Réciproquement, la courbe de transfert réelle peut être déduite de la droite de transfert idéale en y ajoutant la N LI code par code.
36 Chapitre 2. La conversion analogique numérique
Les paramètres de non-linéarité sont calculés par une technique utilisant l’analyse statistique se basant sur le calcul des histogrammes. La figure 2.6 donne l’allure de l’erreur de non-linéarité différentielle d’un CAN de résolution 8 bits. L’analyse par histogramme permet de déterminer les codes manquants correspondant à une fréquence d’apparition nulle, donc à une valeur de N LD égale à −1 LSB. La méthode d’analyse par histogramme permet d’extraire la valeur de la N LI dont l’allure est montrée dans la figure 2.7.
−2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 Code i NLD(i)
Fig. 2.6 – Évolution de la non-linéarité différentielle.
−2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Code i NLI(i)
2.3. Paramètres d’erreurs des CAN 37
2.3.3 Les erreurs dynamiques
2.3.3.1 Types d’erreurs temporelles
Contrairement aux erreurs statiques résultant de l’espacement non idéal des niveaux de transition des codes, les erreurs dynamiques sont résultantes de sources supplémentaires d’erreurs (du CAN et/ou de son environnement) induites par la variation du signal analogique.
(a) Échantillonnage idéal (b) Échantillonnage avec gigue à l’ouverture
(c) Échantillonnage avec incertitude d’ouverture (d) Échantillonnage avec retard d’ouverture
Fig. 2.8 – Erreurs d’ouverture.
Les trois principaux types d’erreurs dynamiques sont liés à l’échantillonnage et sont la gigue à l’ouverture (aperture jitter ), l’incertitude à l’ouverture (aperture uncertainty) et le retard à l’ouverture (aperture delay ou aperture time) [9].
38 Chapitre 2. La conversion analogique numérique
– Gigue à l’ouverture :
C’est l’une des plus importantes sources d’erreurs sur les convertisseurs car une erreur sur l’instant de capture entraîne une erreur sur la tension échantillonnée. La gigue à l’ouverture est due à des variations aléatoires de l’instant d’échantillonnage causées par les sources de bruit (bruit thermique, bruit d’alimentation, bruit d’horloge, etc).
– Incertitude à l’ouverture :
Il ne faut pas confondre la gigue à l’ouverture qui est due à une variation temporelle de la position du front de l’horloge avec l’incertitude à l’ouverture qui est due à une variation du potentiel de seuil pour lequel l’échantillonnage a lieu. Contrairement à la gigue à l’ouverture, l’incertitude à l’ouverture diminue avec l’augmentation de la pente des fronts d’horloge : si la pente est infinie, l’incertitude à l’ouverture devient nulle. Mais pour obtenir un front d’horloge raide, il faut concevoir un circuit dans lequel la consommation augmente.
– Retard à l’ouverture :
Le retard à l’ouverture d’un convertisseur caractérise le temps entre l’instant où il reçoit l’ordre d’échantillonner et le moment où il le fait. Ce retard est essentiellement dû au temps de transition dans les composants, au temps de propagation dans les lignes métalliques et au temps de commutation de l’horloge.
Contrairement aux erreurs précédentes qui créent une erreur de nature aléatoire, le retard à l’ouverture est fixe. Il est de loin le plus important mais le fait qu’il soit fixe le rend beaucoup moins problématique, car il peut être pris en compte ou compensé.
La figure 2.8 montre les différents impacts de ces erreurs sur le signal échantillonné.
2.3.3.2 Influence de l’erreur du jitter
L’erreur de jitter est la traduction dans le domaine temporel du bruit de phase qui est un phénomène due à l’accumulation de plusieurs sources de bruit dans le semi-conducteur.
Par sa définition même, le jitter affecte le processus d’échantillonnage. Considérons un système d’échantillonnage cadencé à t = nTs+ ε, ε étant une variable aléatoire qui modélise le jitter et qui suit une distribution Gaussienne N 0, σ2. L’entrée de ce système est un signal analogique s(t) = A cos(2πf0t). La sortie du système d’échantillonnage dans le cas idéal est :
s (n) = A cos (2πf0nTs+ ϕ) (2.14)
Mais en présence de jitter, la sortie devient :
se(n) = A cos (2πf0(nTs+ ε) + ϕ) (2.15) L’erreur introduite par le jitter est donc obtenue en faisant la différence entre les deux dernières équations. En supposant que 2πf0ε << 1 et avec un développement limité du premier ordre des
2.3. Paramètres d’erreurs des CAN 39
fonctions cosinus et sinus, on en déduit que l’erreur induite par le bruit de jitter est :
erreurj =se(n) − s (n) = (A cos (2πf0nTs+ ϕ) × cos (2πf0ε))
− (A sin (2πf0nTs+ ϕ) × sin (2πf0ε)) − A cos (2πf0nTs+ ϕ)
(2.16)
qui peut s’écrire sous la forme :
erreurj ≈ (−A2πf0ε) sin (2πf0nTs+ ϕ) = ε ∂s (t) ∂t
t=nTs
(2.17)
Naturellement, cette erreur dépend du jitter ε mais aussi de ∂s(t)∂t pour des signaux sinusoïdaux à l’entrée du CAN. Par conséquent, l’effet du jitter est d’autant plus important que la fréquence d’entrée f0 augmente. C’est le cas d’un système large bande par exemple. La puissance du bruit dû au jitter est de la forme :
Pj = 2π2f02A2σ2 (2.18)
Ainsi, en présence de l’erreur du jitter, le rapport signal sur bruit (SN R, détaillé dans la section suivante) résultant est :
SN R = 10log10 A2
2
2π2f02A2σ2 = −20log10(2πf0σ) (2.19) La figure 2.9 montre que ce paramètre diminue en augmentant la fréquence du signal d’entrée pour différentes valeurs de jitter. La dégradation du SN R par rapport à l’augmentation de la
104 105 106 107 108 20 40 60 80 100 120 Fréquence d’entrée (Hz) SNR 1ps 5ps 10ps 25ps
Fig. 2.9 – Évolution du SNR en fonction de la fréquence du signal d’entrée et du jitter.
valeur du jitter est due à l’élévation du niveaux du bruit moyen comme le montre les spectres de la figure 2.10. Ces résultats de simulation sont réalisés pour un modèle de CAN de résolution 8 bits et de fréquence d’échantillonnage égale à 500 MS/s.
40 Chapitre 2. La conversion analogique numérique 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Fréquence normalisée Apmlitude (dB) Niveau de bruit moyen=−85.9 dB
(a) σ = 3 ps 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Fréquence normalisée Amplitude (dB)
Niveau de bruit moyen=−73.1
(b) σ = 30 ps
Fig. 2.10 – Évolution du niveau de bruit moyen de la sortie d’un CAN.
2.4 Critères de performance d’un CAN
Du fait qu’il existe toute une gamme de CAN pour différentes applications, un ensemble de cri-tères est défini pour évaluer les performances des convertisseurs. Cependant, les cricri-tères de choix d’un CAN pour une application de mesure, ne sont pas forcément les mêmes pour une applica-tion de télécommunicaapplica-tions. Ceci rend difficile le choix d’un convertisseur, d’autant plus que les fabricants de CAN utilisent des méthodes différentes de spécification des paramètres pour une meilleure distribution de leurs produits. Indépendamment de sa structure, les caractéristiques fonctionnelles du convertisseur sont spécifiées par un ensemble de paramètres. Ces paramètres changent en fonction des conditions de test, du bruit des générateurs, de variation de l’ensemble des paramètres technologiques du circuit lors de sa fabrication et de l’évolution de ces para-mètres avec le vieillissement du circuit. La combinaison des parapara-mètres d’erreur caractérisant le CAN peut altérer le fonctionnement globale du convertisseur [10]. Par ailleurs, nous définissons les paramètres de performance en tant qu’ensemble de variables permettant d’évaluer les CAN. Dans la suite de cette section, les différents paramètres caractérisant les CAN sont définis.
2.4.1 Rapport signal sur bruit