Ambiguïté GBR

Il est prouvé dans [28,282,283] que les solutions du problème (3.8) s’écrivent : (S=S⁰G(µ, ν, λ)

M=G(µ, ν, λ)⁻¹M⁰ (3.16) où S⁰,M⁰désigne la solution du problème (3.8) déterminée dans le paragraphe 3.1.3, et où la matriceG(µ, ν, λ), définie comme suit : montré par une recherche exhaustive [283] qu’il s’agissait des seules transformations laissant inchangés les six cofacteurs (3.14) de la matriceQ. Il est facile de vérifier que l’inverse deG(µ, ν, λ) s’écrit :

L’indétermination des paramètres (µ, ν, λ) dans l’expression (3.16) de la solution corres-pond à l’ambiguïté debas-relief généralisée (GBR) [28]. Seul le signe deλest prévisible, car la troisième composante du champ m est nécessairement positive. Nous supposons dorénavant, sans perte de généralité, que λ >0.

Le problème (3.8) reste donc mal posé, puisque l’on peut appliquer n’importe quelle transformation GBR (3.16) sans changer ni la valeur de l’attache aux donnéeskSM−Ik²F, ce qui est une conséquence directe de (3.2), ni la contrainte d’intégrabilité puisque, comme cela est montré dans [28,282,283] :

rotm= 0 ⇐⇒ rot(G(µ, ν, λ)⁻¹m) = 0 (3.19) Il est montré dans [28] qu’une transformation GBR préserve également les ombres (propres et portées). On pourrait donc se demander s’il était vraiment nécessaire de supposer les images exemptes d’ombres, comme nous l’avons fait au début de ce chapitre.

Or, bien que l’estimation des paramètres (µ, ν, λ) ne soit pas affectée par la présence d’ombres dans les images, l’estimation de la solution initiale S⁰,M⁰ effectuée selon la procédure décrite dans le paragraphe 3.1.3 serait biaisée. Cela explique donc nos hypothèses de travail.

En termes de profondeur, il est montré dans [28] qu’une transformation GBR modifie z(u, v) de la façon suivante :

¯

z(u, v) =z(u, v)−µu−νv

λ (3.20)

La figure3.1illustre les effets d’une telle transformation sur l’albédo, sur les normales et sur le relief. L’expression (3.20) montre d’autre part que le paramètreλcontrôle l’échelle du relief dans la direction de l’axe z : cette dernière opération correspond en fait à une transformation dite « de bas-relief » (BR).

La résolution de l’ambiguïté GBR a fait l’objet d’un nombre très élevé de publica-tions, ce qui peut surprendre vu son apparente simplicité. Hayakawa propose dans [114]

d’identifier six pixels possédant le même albédo, ou d’utiliser au moins six éclairages dont les intensités sont supposées égales. Néanmoins, Yuille et Snow montrent dans [282] que, sans la contrainte d’intégrabilité, ceci ne contraint pas suffisamment le problème. Lorsque l’intégrabilité du champ de normales est imposée, ils montrent aussi que l’égalité des in-tensités des éclairages permet de lever l’ambiguïté GBR. Les images réelles s’écartant généralement du modèle lambertien linéaire (3.1) (cf. chapitre 1), la détection d’écarts au modèle tels que les reflets brillants [73, 74] ou les réflexions mutuelles [54] permet également de lever l’ambiguïté GBR, tout comme la détection des points singuliers dans les images², i.e. des points où le niveau de gris est localement maximal [89,196].

Toutes ces tentatives pour lever l’ambiguïté GBR reposent explicitement sur une étape de détection. Non seulement cette étape peut être délicate, mais l’existence même de points remarquables n’est pas garantie : il paraît donc plus raisonnable d’introduire un a priori global sur le relief [99] ou sur sa réflectance. Il a notamment été montré

2. Ces points sont également très appréciés dans le contexte du SFS [132], puisqu’il s’agit des rares points où le problème n’est pas ambigu. Nous y reviendrons dans le chapitre4.

(a) (d)

(b) (c) (e) (f)

(g) (h)

Figure 3.1 – Effet d’une transformation GBR. (a)-(b)-(c) Estimation de ρ,p etq par stéréophotométrie calibrée, à partir desm= 3 images de la figure1.2. (d)-(e)-(f) Résultat d’une transformation GBR, avecµ= 1/5,ν= 1/2 etλ= 1/3. (g)-(h) Reliefs correspon-dants, obtenus par intégration [239]. La solution du problème non calibré (UPS) située sur la colonne de droite est a priori tout aussi plausible que celle de la colonne de gauche.

Néanmoins, l’albédo de la solution de droite est beaucoup moins uniforme que celui de la solution de gauche. Nous observons également que les variations de la profondeur et de son gradient sont plus élevées après transformation GBR. Il semble donc que la minimisation de ces variations puisse nous aider à lever l’indétermination.

récemment que, pour certains modèles de réflectance non lambertiens, le problème UPS pouvait être mieux posé [98]. Un moyen de se passer à la fois de la connaissance des éclairages et d’un modèle explicite de réflectance consiste à « apprendre » les éclairages

et la réflectance sur les images d’un objet de référence [121,122], comme cela sera détaillé dans le paragraphe 6.1. Dans le cas lambertien, Alldrin et al. proposent de minimiser l’entropie de la distribution d’albédo [9], puisqu’une transformation GBR a tendance à

« étaler » l’histogramme de l’albédo (cf. figures 3.1-a et3.1-d). Ils motivent leur travail par la volonté de favoriser des matériaux présentant une certaine « homogénéité », i.e.

constitués d’un faible nombre de composantes homogènes. Cette méthode de résolution du problème UPS revient en fait à résoudre séquentiellement le couple de problèmes

suivant : _ transformation GBR (on rappelle que ρ = kmk). Le premier sous-problème de (3.21) n’est autre que (3.7), le deuxième vise à lever l’ambiguïté GBR. Finalement, une fois le problème (3.21) résolu, la solution du problème UPS s’écrit, en utilisant (3.16) :

(Sb =S⁰G(µ,_b ν,_b λ)^b

cm=G(µ,b ν,_b λ)^{b −1}m⁰ (3.22) 3.1.5 Régularisation par variation totale

La variation totale (total variation, notée TV) d’une fonction est une mesure très utilisée dans le contexte de la régularisation. Pour une fonction f : Ω ⊂ R^p → R différentiable presque partout, elle s’écrit :

TV(f) =^Z

Ωk∇f(x)kdx (3.23)

et s’étend plus généralement aux fonctions à variation bornée [15].

Nous fixons dorénavant p = 2, puisque nous traitons des images 2D. La variation totale a été introduite dans la communauté du traitement d’images par Rudin, Osher et Fatemi [226] : étant donnée une image en niveaux de gris bruitée I₀ = I +η, où η est la réalisation d’un processus gaussien de moyenne nulle et de variance σ² connue, le modèle ROF (Rudin, Osher, Fatemi) assimile l’image débruitée à la solution du problème

suivant : _





minI TV(I)

s.c. kI−I0k²_L²_(Ω)6σ²

Chambolle et Lions ont montré dans [46] que ce problème était équivalent à la minimi-sation de la fonctionnelle :

F(I) =kI−I₀k²L²(Ω)+γ_σTV(I) (3.24)

pour une certaine valeur du paramètre de régularisation γ_σ. Des algorithmes efficaces de résolution du problème (3.24) ont été proposés ces dernières années, parmi lesquels les plus fréquemment rencontrés en traitement d’images sont les algorithmes de type primal-dual [45], la descente de gradient améliorée [27] ou les approches par lagrangien augmenté [34, 104]. Ces dernières seront utilisées pour la résolution numérique du pro-blème UPS dans la partieIV. Dans le cadre d’une étude plus théorique sur le caractère bien posé du problème UPS, nous allons voir ci-après que la résolution peut être effectuée à l’aide de méthodes élémentaires.

Nous nous intéressons dans ce chapitre à la régularisation de la profondeur z et de l’albédo ρ, mais également à celle du champ vectoriel m : Ω⊂ R² → R³. Il nous faut donc définir la variation totale vectorielle. Lorsque f est une fonction à valeurs dans R^nd, avec n_d>1, plusieurs définitions peuvent être utilisées³, mais la définition la plus répandue est probablement celle de la variation totaleisotrope :

TV(f) =^ZZ

ΩkJf(u, v)kFdudv (3.25) oùkJf(u, v)kF est la norme de Frobenius de la matrice jacobienneJf def = [f1. . . f_nd]^⊤ au point (u, v). Cette définition, qui est invariante par rotation des composantes, couple leurs dérivées partielles, ce qui est intéressant par exemple pour le débruitage d’images.

Une autre définition courante de la variation totale vectorielle est la suivante : TV(f) =

qui est anisotrope, c’est-à-dire non invariante par rotation, puisque les régularisations desn_d composantes sont découplées.

Contrairement au problème de l’intégration, où nous avons choisi une régularisation similaire à la définition isotrope (3.25) (cf. paragraphe 2.4.2), l’invariance par rotation n’est pas une propriété intéressante pour le problème UPS. En effet, l’ordre des trois composantesm₁,m₂ etm₃ est important vis-à-vis de la contrainte d’intégrabilité (3.6), et chaque paramètre d’une transformation GBR affecte une seule composante de m.

Nous préférons utiliser la définition anisotrope (3.26), qui est plus facile à manipuler.

Dans la suite de ce chapitre, la variation totale du champm= [m₁, m₂, m₃]^⊤ sera donc définie par :

TV(m) = TV(m₁) + TV(m₂) + TV(m₃) (3.27) Nous verrons que la minimisation de la variation totale de la profondeur z ou du champ m ramène l’ambiguïté GBR à une ambiguïté BR, et que la minimisation de la variation totale de l’albédo ρ permet de lever cette ambiguïté résiduelle. Nous propo-serons dans la partie IV une résolution variationnelle « classique » du problème UPS, permettant de déterminer la profondeur tout en garantissant sa régularité. Dans le pré-sent chapitre, nous nous intéressons surtout à prouver le caractère bien posé du problème

3. Nous renvoyons le lecteur à [38] et [100] pour une discussion plus approfondie.

UPS régularisé : nous n’utilisons donc pas la variation totale comme un outil de « lis-sage » des éventuels biais de l’estimation, mais comme un moyen de rendre le problème bien posé.

Il nous reste à déterminer, parmi les solutions (3.16) du problème (3.8), qui dé-pendent des trois paramètres (µ, ν, λ) de l’ambiguïté GBR, celle qui minimise le critère de régularité choisi. On peut donc s’attendre à ce que ce problème d’optimisation à trois variables réelles soit relativement facile à analyser et à résoudre numériquement.

3.2 Désambiguïsation par régularisation

3.2.1 Motivations

Au vu des résultats de la figure3.1, une transformation GBR semble augmenter les variations d’un certain nombre de champs caractéristiques de la surface à reconstruire, ce qui suggère d’introduire un critère de régularisation pour résoudre le problème UPS.

Dans ce paragraphe, nous illustrons plus clairement l’influence d’une transformation GBR sur les variations de l’albédo ρ, de la profondeur z et de son gradient ∇z = [p, q]^⊤=−[n1/n₃, n₂/n₃]^⊤.

Ce travail s’inspire de la méthode de Alldrin et al., qui montrent dans [9] que les paramètres GBR peuvent être estimés en minimisant l’entropie de la distribution d’al-bédo. Or, l’entropie de l’albédo n’étant pas convexe vis-à-vis des paramètres (µ, ν, λ), sa minimisation nécessite de prendre garde à la possible existence de minima locaux : Alldrin et al. utilisent une approche de type « glouton » (brute force), en échantillon-nant l’ensemble des valeurs possibles de µ, ν et λ, ce qui se traduit par un algorithme extrêmement lent. Même si des méthodes numériques assez efficaces ont été récemment introduites [241], la minimisation de l’entropie reste un problème difficile. De plus, l’en-tropie est indépendante de toute notion de cohérence spatiale, comme cela est illustré sur la figure 3.2.

Lorsqu’on cherche à favoriser des zones « homogènes », on peut postuler que des points spatialement proches ont des albédos similaires, ce que ne favorise nullement l’entropie. En revanche, la variation totale permet de minimiser les variations locales de l’albédo, qui doivent être faibles dans les zones homogènes. De plus, la minimisation de la variation totale étant nettement plus facile que celle de l’entropie, on n’a pas à utiliser un algorithme glouton et on peut donc s’attendre à de meilleures performances CPU.

Une transformation GBR modifiant non seulement l’albédo de la surface, mais égale-ment son relief, les variations deρne sont pas les seules affectées : celles de la profondeur z et de son gradient∇z= [p, q]^⊤le sont également. Nous montrons sur la figure 3.3 l’in-fluence d’une transformation GBR sur ces variations.

Il semble donc que, pour lever l’ambiguïté GBR, on puisse minimiser non seulement les variations de ρ, mais également celles dez et de ∇z. Or, puisque :

m= ρ pourquoi ne pas directement minimiser les variations du champ m?

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figure3.2 – Trois configurations d’albédo et leurs histogrammes respectifs : l’entropie de (a) est élevée, cf. l’histogramme (d) ; (b) et (c) ont la même entropie (faible), cf. les histogrammes (e) et (f), mais les distributions spatiales de l’albédo sont très différentes dans les deux cas. La variation totale tend à favoriser des situations telles que (b).

3.2.2 Influence d’une transformation GBR sur la régularité deρ,z et m Sur les figures 3.4 et 3.5, nous illustrons l’influence des paramètres µ et ν sur les variations totales de l’albédo ρ, de la profondeur z et du champmestimés à partir des images du buste de Beethoven. Pour effectuer ces mesures, nous avons choisi comme vérité terrain la solution du problème calibré, à laquelle nous avons appliqué différentes transformations GBR, en fixantλà 1 : les valeurs théoriques des paramètresµetν sont donc (µ, ν) = (0,0). Ces courbes montrent que la minimisation de la variation totale de ρ, de z ou de mpermet effectivement de lever l’ambiguïté en µetν.

Le cas de λ est très différent. L’effet de ce paramètre sur les variations totales, lorsqueµ etν sont fixés à leurs valeurs théoriques, est illustré sur la figure 3.6 : TV(z) est minimale pour λ= +∞ (cf. paragraphe 3.2.6pour l’explication de ce phénomène), et TV(m) est minimale pour λ= 0 (cf. paragraphe 3.2.5), deux cas qui correspondent à un relief dégénéré (cf. équation (3.20)). Seule la minimisation de la variation totale de l’albédo TV(ρ) semble capable de lever l’indétermination sur la valeur de λ(ambiguïté BR). En pratique, les résultats peuvent néanmoins être décevants : l’expérience reportée sur la figure3.6-a est biaisée par le caractère uniforme de l’albédo (le buste est en plâtre).

En utilisant le jeu de donnéesDoll de [9], pour lequel l’albédo n’est pas rigoureusement uniforme, on obtient les résultats de la figure3.7: l’indétermination est bien levée, mais la valeur de λqui minimise TV(ρ) est très éloignée de sa valeur réelle λ= 1.

0 50 100 150 200 250

Figure 3.3 – Influence d’une transformation GBR sur les variations de l’albédo ρ, de la profondeur z et de son gradient∇z. Nous représentons ici les valeurs de (a) ρ, (b) z, (c) p et (d) q, le long de la ligne u = 100, pour les valeurs dev telles que (100, v)∈Ω, issues des estimations de la figure 3.1. Il apparaît clairement que les courbes en trait plein bleu (après transformation GBR) présentent des variations bien plus marquées que les courbes en pointillés rouges (avant transformation GBR).

Il semble donc que la variation totale de l’albédo ne permette pas de lever l’ambiguïté BR de manière fiable, même si elle garantit l’unicité de la solution. Le moyen le plus simple pour lever l’ambiguïté autrement consiste à adapter une autre méthode de résolu-tion de l’ambiguïté GBR en la simplifiant : au lieu d’estimer les trois paramètres (µ, ν, λ) de l’ambiguïté GBR, nous n’utilisons cette autre méthode que pour estimer λ. En pra-tique, nous utilisons soit la méthode de Alldrin et al., qui repose sur la minimisation de l’entropie [9], soit une autre méthode que nous décrirons dans le paragraphe 3.2.5, qui suppose que les intensités des éclairages sont égales [114,214,282].

−2 −1 0 1 2

Figure 3.4 – Influence du paramètre µ sur les variations totales (a) de l’albédo ρ, (b) de la profondeur z et (c) du champ mcalculés en appliquant une transformation GBR à la reconstruction du buste de Beethoven par stéréophotométrie calibrée (figure 3.1).

Les trois variations totales sont minimales pour des valeurs très proches de la valeur théoriqueµ= 0.

Figure 3.5 – Influence du paramètre ν sur les variations totales (a) de l’albédo ρ, (b) de la profondeur z et (c) du champ m, sur le même jeu de données que la figure 3.4.

Comme pourµ, les trois variations totales sont minimales pour des valeurs très proches de la valeur théoriqueν = 0.

L’étude de la variation totale TV(∇z) du gradient de profondeur est laissée en pers-pective. Pourtant, la minimisation de TV(∇z), couplée à celle de TV(ρ), permettrait de contrôler implicitement les variations du champ m. En effet, comme nous l’avons déjà montré dans [217], les variations totales de ρ, de ∇z et de m vérifient l’inégalité suivante :

en notant ρ_max la valeur maximale de l’albédo. Remarquons au passage que, dans

l’in-0 0.5 1 1.5 2

Figure 3.6 – Influence du paramètre λ sur la variation totale (a) de l’albédoρ, (b) de la profondeur z et (c) du champm, sur le même jeu de données que la figure3.4. Seule la variation totale de l’albédo admet un minimum dans ]0; +∞[, alors que TV(z) est inversement proportionnel à λet que TV(m) est proportionnel à λ.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Figure 3.7 – Variation totale de l’albédo en fonction de λ, sur le jeu de données Doll.

La valeur de λqui minimise TV(ρ) est très éloignée de sa valeur réelleλ= 1.

égalité (3.29), ^RR_Ωρ(k∇pk+k∇qk) constitue une pondération de la variation totale de

∇zpar l’albédo. Cette pondération permet de « relâcher » la contrainte sur la variation totale lorsque l’albédo de la surface est faible, i.e. là où le matériau est sombre. Sachant que si ρ= 0, le problème UPS est mal posé, cette pondération semble intéressante pour limiter le biais de la reconstruction 3D.

Mais si l’utilisation de TV(∇z) constitue une piste intéressante, elle comporte toute-fois une difficulté numérique qui lui est spécifique. En effet, la minimisation de TV(∇z) revient à une hypothèse de régularité des dérivées d’ordre 2 de la profondeur z. La condition d’optimalité correspondante serait donc d’ordre 4.

Nous allons maintenant montrer comment résoudre le problème UPS au moyen de la régularisation TV. Nous cherchons pour cela, parmi toutes les solutions en (S,M) du problème (3.8), celle qui minimise un critère de type TV.

3.2.3 Modèle proposé

Intéressons-nous d’abord à la régularisation TV(m). Une première approche, inspirée par les modèles de débruitage d’images, consisterait à modifier le problème (3.7) de la façon suivante : _





minS,m kSm−ik²_L²_(Ω)+γTV(m)

s.c. rotm= 0 (3.30)

oùγ >0. Un tel problème serait par exemple utile pour lisser les artéfacts dus aux écarts au modèle lambertien linéaire, mais il ne permettrait pas de lever l’ambiguïté BR. Nous préférons pour l’instant coller au plus près du modèle lambertien linéaire (puisque les écarts au modèle sont négligés) et donc continuer à minimiser le seul terme d’attache aux données. De plus, l’opérateur rotmétant non linéaire, la contrainte rotm= 0 est difficile à imposer. Nous reviendrons dans la partieIV sur cette approche, et montrerons qu’en choisissant comme inconnues le triplet (S, ρ, z) plutôt que le couple (S,m), une solution variationnelle du problème UPS peut être déterminée, la contrainte d’intégrabilité étant alorsimplicitement imposée.

Pour cette étude plus « théorique » sur le caractère bien posé du problème UPS, nous supposons que les données sont conformes au modèle, à un bruit blanc gaussien près.

Nous pouvons donc faire tendre γ vers 0 dans (3.30), ce qui revient à chercher, parmi toutes les solutions qui minimisent l’attache aux données kSm−ik²_L²_(Ω), celle dont la variation totale est minimale. Cela se réécrit de la façon suivante :



où l’ensemble admissible des couples (S,m) satisfaisant la contrainte est donné, dans le cas discret, par (3.16).

Pour résoudre un problème de la forme (3.31), nous exploitons la connaissance de toutes les solutions de l’équation (3.8), dont nous savons qu’elles sont liées par la trans-formation GBR. Nous proposons une solution très simple, fondée sur la solution explicite de Yuille et Snow [282, 283] et l’estimation des paramètres GBR par minimisation de la variation totale. En effet, nous avons montré dans [217] que le problème (3.31) était strictement équivalent à :

(S,^b cm) =S⁰G(µ,b ν,_b ^bλ),G(µ,b ν,_b ^bλ)⁻¹m⁰ (3.32) où (S⁰,m⁰) est la solution explicite fournie par la méthode de Yuille et Snow (cf. para-graphe 3.1.3) et :

(µ,_b ν,_b ^bλ) = argmin

(µ,ν)∈R² λ∈R⁺\{0}

TV(G(µ, ν, λ)⁻¹m⁰) (3.33)

qui est une variante du deuxième sous-problème de (3.21).

Détaillons maintenant la résolution du problème (3.33). D’après la définition (3.26) de la variation totale et l’expression (3.18) d’une transformation GBR, sa fonction objectif s’écrit :

E(µ, ν, λ) = TV(G(µ, ν, λ)⁻¹m⁰)

= TV([1,0, µ]m⁰) + TV([0,1, ν]m⁰) + TV([0,0, λ]m⁰)

= TV(m⁰₁+µm⁰₃) + TV(m⁰₂+νm⁰₃) + TV(λm⁰₃) (3.34) Les estimations des trois paramètres (µ, ν, λ) peuvent donc être découplées. Ce décou-plage, qui est une conséquence du choix de la définition anisotrope (3.26) de la TV vectorielle, ne se serait pas produit avec la définition isotrope (3.25).

3.2.4 Estimation de µ et ν

On montre facilement, en différenciant la fonctionE(µ, ν,·), sa convexité vis-à-vis de µ et ν, et donc l’unicité de la solution en (µ, ν). D’un point de vue pratique, vu cette convexité, nous utilisons une méthode de descente de type « quasi-Newton », initialisée par la solution du problème quadratique suivant :

 qu’il est facile de calculer explicitement :



Intéressons-nous maintenant à l’estimation de λ, qui influe sur l’échelle en z de la reconstruction 3D (ambiguïté BR).

3.2.5 Estimation de λ

Commençons par calculer le troisième terme de l’expression (3.34) de la fonction objectif E(µ, ν, λ) :

TV(λm⁰₃) = ^ZZ

Ωk∇(λm⁰₃(u, v))kdudv (3.37)

= λTV(m⁰₃) (3.38)

La dépendance linéaire de E(µ, ν, λ) en λ explique a posteriori l’allure de la courbe de la figure 3.6-c. Si l’on cherche à minimiser E(µ, ν, λ) et que l’on veut éviter la solution λ= 0⁺, qui correspond à un relief dégénéré (cf. (3.20)), alors il est nécessaire de remplacer

la contrainte λ > 0 par λ > ǫ, avec ǫ > 0. Sous cette contrainte, la valeur de λ qui minimiseE(µ, ν, λ) est bien sûr :

λb =ǫ (3.39)

Le choix de la valeur de ǫ est donc important en pratique, puisque ce choix détermine l’échelle, i.e. lève l’ambiguïté BR. Un tel choix peut paraître très arbitraire. Néanmoins, comme la minimisation en (µ, ν) est indépendante du choix deǫ, l’ambiguïté BR peut être levée a posteriori, quitte à fixer arbitrairement ǫ dans un premier temps. À la manière d’un hyper-paramètre, ǫ peut donc être choisi manuellement pour obtenir une surface

« acceptable ».

Nous proposons donc de résoudre les deux problèmes suivants en séquence :

 en fixant empiriquement la valeur de ǫ. Cette formulation du problème permet de com-prendre pourquoi l’estimation deλcorrespond à la résolution de l’ambiguïté BR puisque, de la définition (3.18) de G(µ, ν, λ)⁻¹, on tire facilement :

G(µ,_b ν, λ)_b ⁻¹m⁰ =G(0,0, λ)⁻¹(G(µ,_b ν,_b 1)⁻¹m⁰) (3.41) et queG(0,0, λ) est une matrice de transformation BR [28]. L’expression (3.41) corres-pond donc à une transformation BR du vecteur :

m¹ =G(µ,_{b b}ν,1)⁻¹m⁰ (3.42) Il s’ensuit que l’influence de λest très facile à interpréter : λ→ +∞ tend à « apla-tir » le relief tout en accétuant les variations d’albédo (principe du « trompe-l’œil ») ; inversement, λ→0⁺ accentue les pentes tout en réduisant les variations d’albédo. Plus formellement, λinflue sur la profondeurz de la façon suivante, d’après (3.20) :

m¹ =G(µ,_{b b}ν,1)⁻¹m⁰ (3.42) Il s’ensuit que l’influence de λest très facile à interpréter : λ→ +∞ tend à « apla-tir » le relief tout en accétuant les variations d’albédo (principe du « trompe-l’œil ») ; inversement, λ→0⁺ accentue les pentes tout en réduisant les variations d’albédo. Plus formellement, λinflue sur la profondeurz de la façon suivante, d’après (3.20) :

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