Améliorations des méthodes proposées

Outre la validation des versions actuelles, certaines pistes pouvant mener à l’amélio- ration de nos méthodes ou au développement de nouvelles approches pourraient aussi être explorées. Nous en dressons ici un bref aperçu.

7.3.1.2.1 Gradient conjugué groupé On se souvient que les algorithmes alternated

conjugate gradient for CSIet preconditioned CFSI nécessitent, à chaque itération, la

résolution tronquée d’un système linéaire du genre AW = B. En d’autre mots, on doit résoudre M problèmes linéaires ayant la même matrice normale :

Awi = bi (7.1)

avec i = 1, . . . , M .

Dans [Dubrulle (2001)], on présente des versions du gradient conjugué capables de traiter globalement le système AW = B. Des essais préliminaires ont montré que ces méthodes peuvent être beaucoup plus rapides que les algorithmes de gradient conjugué

classiques qui doivent de leur côté se contenter de résoudre de façon séquentielle les

M systèmes Awi = bi.

Les algorithmes groupés semblent donc on ne peut plus adaptés pour les méthodes mentionnées ci-haut. Toutefois, toujours selon des essais préliminaires, il semble que l’avantage des méthodes groupées ne se fasse ressentir qu’après un certain nombre d’itérations. Or, comme seulement quelques itérations de l’algorithme de gradient conjugué sont effectuées dans nos méthodes, il n’est pas évident que l’utilisation d’une approche groupée mènera à une amélioration significative. Néanmoins, une telle stra- tégie serait peut-être plus intéressante pour des problèmes de grandes tailles. En effet on doit s’attendre, dans ce cas, à ce qu’un plus grand nombre d’itérations du gradient conjugué soient nécessaires.

7.3.1.2.2 Méthode CFSI utilisant une formulation approximative Il est possible

d’utiliser la formulation Truncated-Gc (i.e. de remplacer la matrice Gc par son ap-

proximation tronquée) dans le système II.16. L’équation normale reliée à la mise à jour des courants s’écrit alors :

˜ Hwwi = ˜qwi (7.2a) ˜ Hw = G†oGo + λ1G˜†cG˜c+ λ1I (7.2b) ˜ qwi = G † oyi+ λ1G˜†c(Ei− Ei0) + λ2XEi (7.2c)

En ayant recours au lemme d’inversion, on arrive à exprimer la matrice ˜H−1_w à l’aide

des matrices Go, ˜Us et ˜V. La mise à jour des courants peut donc être effectuée de

façon exacte à l’aide d’opérations qui n’impliquent aucune matrice de taille n × n. On peut ainsi concevoir une méthode CFSI basée sur une formulation approximative. Des expériences ont déjà été effectuées et une telle approche s’est avérée plus rapide que la méthode CFSI originale. Il faudrait maintenant évaluer ses performances par rapport aux méthodes présentées au chapitre 5.

7.3.1.2.3 Nouvelles bases de projection des courants En conclusion de l’Annexe

III nous avons rapidement souligné qu’il serait intéressant de rechercher de nouvelles bases de projection des courants pour développer une approche du type V-basis qui ne nécessiterait pas de calcul de décomposition en valeurs singulières.

En observant les différents vecteurs constituant la base V, on remarque une simili- tude assez forte entre ceux-ci et les éléments de la base de Fourier 2-D. Il serait donc sans doute intéressant d’utiliser cette dernière comme base de projection. La figure 7.1 présente l’énergie du champ électrique produit dans D par chacun des éléments

de V (i.e. kGcvik2, i = 1, . . . , n) et chacun des éléments de la base de Fourier (i.e.

kGcfik2, i = 1, . . . , n, où fi est le ie élément de la base de Fourier) pour un cas

Éner gie dans D 0 200 400 600 800 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Base V Base de Fourier 0 200 400 600 800 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Base V Base de Fourier

Numéro de l’élément de la base

Fig. 7.1 Énergie du champ électrique produit dans D par chacun des éléments de la bases V et de celle de Fourier.

confirmer qu’on pourrait utiliser cette dernière de façon relativement efficace. Toute- fois, cette décroissance étant légèrement plus lente que celle de la courbe reliée à la base V, on doit supposer que moins d’inconnues pourraient être retranchées du pro- blème.

7.3.1.2.4 Méthode Born itérative distordue de type V-basis Dans le chapitre 2 on

a dit que l’un des principaux points faibles de la méthode Born itérative distordue était de nécessiter la résolution du problème direct à chaque itération, i.e. de trouver le champ diffusé au niveau des capteurs pour un contraste connu. Une façon de solution- ner le problème direct est de résoudre successivement les équations (2.11b) et (2.11a)

((2.11b) permet de calculer wi et (2.11a), d’en déduire yi). Il peut être relativement

efficace d’utiliser un algorithme de gradient conjugué pour résoudre (2.11b), i.e. pour résoudre l’équation linéaire :

(I − XGc)wi = XEi0 (7.3)

Pour accélérer le processus, on pourrait envisager d’utiliser la formulation V-basis . La résolution du problème direct se ferait alors par la résolution successive des équations (III.22b) et (III.22a). Ainsi, au lieu de (7.3) on aurait plutôt à résoudre :

(I − ˜V†X ˜Us)˜ki = ˜V†XEi0 (7.4)

Ce système compte beaucoup moins d’inconnues que le précédent et il est basé sur des matrices beaucoup plus petites. En utilisant une telle stratégie dans un algorithme de type BID, on pourrait espérer réduire de façon considérable le temps nécessaire à la résolution du problème direct et, du même coup, le temps nécessaire à l’inver- sion. Il faudrait cependant évaluer l’influence de cette approche approximative sur les

garanties de convergence de la méthode ainsi que sur la qualité des solutions.

7.3.1.2.5 Régularisation non quadratique La régularisation non quadratique (`2`1

par exemple) a fait ses preuves dans de nombreux domaines d’application de l’image- rie [Allain (2002); Carfantan (1996)]. L’idée est d’utiliser une fonction de régularisa- tion φ(x) (réf. : équation I.6d) qui pénalise les grandes différences entre pixels voisins de façon moins importante que la régularisation quadratique. Cela permet des recons- tructions ayant des discontinuités plus franches (moins lissées) que ce qui est obtenu avec la régularisation quadratique.

De plus, des algorithmes relativement efficaces [Geman et Reynolds (1992); Geman et Yang (1995)] ont été développés pour minimiser des critères utilisant ce genre de régu- larisation. Cela est particulièrement vrai pour les critères dont le terme d’adéquation aux données est quadratique. Ces algorithmes pourraient donc être tout à fait adap- tés pour remplacer le gradient conjugué ou le gradient conjugué préconditionné des méthodes alternated conjugate gradient for CSI et preconditioned CFSI.

7.3.1.2.6 Méthodes de choix non supervisées des facteurs de poids Dans chacune

des méthodes que nous avons proposées, 2 ou 3 facteurs de poids doivent être ajustés heuristiquement. Comme nous l’avons mentionné à quelques reprises, ceci représente sans doute un des points les plus gênants de ce genre d’approche. Nous nous per- mettons de souligner de nouveau tout l’intérêt qu’il pourrait y avoir à développer une méthode de choix non supervisée de ces facteurs. Nous devons par contre avouer notre ignorance sur les façons de procéder pour ce faire.

7.3.1.2.7 Mise en œuvre Au chapitre 5 nous avons mis en évidence le fait que les

choix relatifs à l’implémentation peuvent avoir un effet non négligeable sur les perfor- mances des algorithmes. Bien que le logiciel Matlab s’avère très efficace pour effec- tuer des produits matriciels, qui sont légions dans nos algorithmes, il serait intéressant d’évaluer la possibilité d’implanter nos méthodes avec d’autres langages de program- mation. Les questions relatives à la gestion de la mémoire ainsi qu’à l’exploitation d’architectures parallèles pourraient aussi être étudiées.