~0(t) ~tant r6guli~re pour t = o, A et B des constantes, p u n entier positif qui ne sera pas nul si le point singulier n'est pas logarithmique simple ce que nous supposerons d'abord; B est alors ~ o; A peut ~tre nul. Nous retrouvons ainsi l'~quation (I) du paragraphe precedent. Nous supposons que les expressions de x et de y satisfont ~ la relation
(3) g(z, y ) = o,
oh g(x, y) est une fonction enti~re dont les z~ros a d m e t t e n t les trois syst~mes de p6riodes conjugu6es non exceptionnels (o, 2 iz), (co, ifl), (co ~, i J ) . Prenons dans le plan de la variable y une bande V limit6e par deux parall~les s l'axe des imaginaires pures et choisies de telle sorte que la bande V ne contienne aucun point de ramification de x consid6r6e comme fonction de y dans la relation (3).
Retranchons de la bande V, si il y a lieu, la portion qui pourrait se trou- ver ext6rieure s l'aire U d6finie dans le paragraphe pr6c6dent et soit V I c e qui reste, apr~s cela, de V. La bande Vt s'~tend certainement jusqu's l'infini dans les deux sens.
Acta mathematiea. 33. Imprim6 le 25 octobre 1909. ~,~
Nous pouvons done supposer que y se ddplaee sur une parall~le G h l'axe des imaginaires situ~e dans V~ de telle fa~on que la pattie imaginaire de y va en croissant, au dels de route limite.
Puisque x et y satisfont ~ l'~quation (3), nous avons vu qu'il existe pour x consid~r~e comme fonction de y h l'int4rieur de V des augments conjugu~s,
d x
et par suite que d y a une p~riode non nulle de la forme ,~hifi + r~iflr+ 2 Q~iz.
d x Donc y parcourant la droite G, dans le sens indiqu~, le point representant d y parcourt un nombre i]limit~ de fois un contour ferm(~ ddtermin6 F ; mais d'autre part, y a u g m e n t a n t ind~finiment, t tend v e r s o comme nous l'avons vu; donc (u, v) tend vers (u0, v0) et par suite
d x R, (u, v) d y R2(u, v)
t e n d vers une valeur parfaitement ddtermin~e. Il est done n4cessaire que le d x
contour F se r~duise ~ un seul point, c'est-s que d y - c o n s t . On aura alors entre x et y la relation du premier degr~:
~tl(o § ~ i ( 0 r
(4) x ~ ,% ifl + ~, ~ ifl' + 2 r i n y + c
c 4rant une constante, et ]e coefficient de y se t r o u v a n t d~termin~ par l'existence des augments conjuguSs (~fl ~ + ri ~', !L1 ifl § r~ ifl ~ + 2 Qi i z ) . Done, l'int~grale
y ~ ~R,(u, v ) d u
ne peut admettre de singularit~ polaire, m~me superpos~e ~ une singularit6 loga- rithmique que si x et y sont li4es par la relation (4) c'est-s si g(x, y) admet une multiplicit6 simple de z~ros fournie par (4)- A part ce cas excep- tionnel, l'int~grale f R ~ ( u , v ) d u ne peut avoir que des points logarithmiques simples.
Mais ce cas d'exception se trouve lui-m~me ~cart~ dans les circonstances suivantes. Supposons que les formules pr~c~dentes
x-- ;R,(u, v)du,
y = j R 2 (u, v)d uaient pour consequence nScessaire ]es formules suivantes
u = / , (x,
v y),
oh /~(x, y) et /2(x, y) sont d e u x fonetions m 6 r o m o r p h e s de x et y a u x p6riodes (o, 2 i~r), (co, ifl), (co', iflr). (C'est 1~ le cas qui se r e n c o n t r e a u x p a r a g r a p h e s 54 et 39 de la 2 ~m" p a r t i e de n o t r e m6moire). Si nous s u p p o s o n s c o m m e plus h a u t , que y p a r c o u r t la d r o i t e G dans le sens positif de l'axe des imaginaires, y aug- m e n t a n t d e tt~ i[~ + ~ i[~ r + 2 Q~i~, x a u g m e n t e de !t~(o + ~,~ ~o' e t u e t v r e p r e n - n e n t les m6mes valeurs p a r suite de la p6riodicit6 de /~(x, y) et /2 (x, y). D o n e u et v ne t e n d e n t pas vers u0, v0 et p a r suite t n e p e u t pas t e n d r e vers z6ro.
L a c o n t r a d i c t i o n a v e e ce qui pr6cbde est 6vidente, et l'impossibilit6 d ' u n e singu- larit6 polaire p o u r y se t r o u v e d 6 m o n t r 6 e dans ce eas.
Note III.
1. Consid6rons le syst~me d ' 6 q u a t i o n s :
les 6 q u a t i o n s (i) a d m e t t e n t u n c e r t a i n d o m a i n e
x = / ( u , v) Y -- 7'(u, v),
oh /(u, v) e t ~p(u, v) s o n t d e u x f o n c t i o u s qui p o u r u = o, v = o s o n t rdguli6res e t s ' a n n u l e n t et qui, dans le voisinage de ce p o i n t u = v = o n ' o n t pas de ]acteur commun. On p e u t s u p p o s e r que /(o, v) et el(o, v) ne s o n t nuls i d e n t i q u e m e n t ni l ' u n ni l ' a u t r e : dans le cas c o n t r a i r e , on e f f e c t u e r a i t sur u e t v une s u b s t i t u t i o n lin6aire g6n6rale, ce qui ne e h a n g e r a i t rien a u x conclusions qui suivent.
E n f i n /(u, v) et ~0(u, v) sont d e u x f o n c t i o n s i n d d p e n d a n t e s , c ' e s t - ~ - d i r e d o n t le d 6 t e r m i n a n t f o n c t i o n n e l n ' e s t pas nul i d e n t i q u e m e n t , mais peut 8'annuler pour
~ V ~ O .
D a n s ees conditions, m o n t r o n s que p o u r c h a q u e s y s t ~ m e de valeurs arbi- traires d' x et y, mais choisies d a n s u n d o m a i n e assez p e t i t ddfini p a r les in6- galit4s
lyl<
un s y s t b m e de solutions a u m o i n s en u e t v, dans ] u l < r Ivl<,
p o u v a n t fitre aussi p e t i t q u ' o n ]e v e u t , si ~ a 6t6 ehoisi assez p e t i t .
E n effet, c o m m e la f o n c t i o n x - - / ( u , v) des trois variables x, u, v ne s ' a n - nule p a s i d e n t i q u e m e n t p o u r x = o, u ~ o, l ' 6 q u a t i o n
x - - l l u , v) = o
est, darts u n d o m a i n e assez p e t i t d u p o i n t u ~ v = x ~ o , 5 q u i v a l e n t e ~ l ' ~ q u a t i o n P ( v ) = o,
off P(v) est u n p o l y n S m e entier en v, d ' u n c e r t a i n degr5 n, d a n s lequel le coef- ficient de v n e s t l'unit6, tous les a u t r e s coefficients 6 t a n t des f o n c t i o n s r5guli6res de u et x p o u r u ~ x ~ o et s ' a n n u l a n t p o u r ce s y s t S m e de valeurs.
D e la m S m e fa~on, l ' 4 q u a t i o n
y - - ~ f ( u , v) = o p e u t 6tre r e m p l a e 4 e p a r l ' ~ q u a t i o n ~quivalente
off Q(v) est a n a l o g u e s P(v).
E n t r e les 6 q u a t i o n s (2)
Q (v) = o,
{
P ( v ) -~ o Q (v) = o on p e u t ~liminer v et on o b t i e n t un r ~ s u l t a n tR(u, x, y ) ~ o.
R(u, x, y) est r~guli~re et s ' a n n u l e p o u r u ~ x ~ y = o. Mais R ( u , o, o) n ' e s t p a s nul quel que soit u, c a r sans cela les ~ q u a t i o n s
o = / ( u , v) o = ~p(u, v)
a u r a i e n t en v u n e solution c o m m u n e quel q u e soit u, ce qui est impossible puis- q u ' o n s u p p o s e q u e ](u, v) et fp(u, v) n ' o n t p a s de f a e t e u r c o m m u n .
I1 en r~sulte q u e la r e l a t i o n
R(u, x, y ) ~ o
est, d a n s u n p e t i t d o m a i n e du p o i n t u ~ x ~ y - - o , ~ q u i v a l e n t e ~ l ' 4 q u a t i o n
(3) S ( u ) = o ,
oh S(u) est un p o l y n 6 m e e n t i e r en u d o n t les coefficients sont, p o u r x : y - - o ,
des f o n c t i o n s r~guli~res e t qui s ' a n n u l e n t , sauf le coefficient d u t e r m e d u plus h a u t degr6 qui est ~gal k I.
Si l'on d o n n e s x e t y dana l ' S q u a t i o n (3) u n s y s t 6 m e de v a l e u r s a r b i t r a i r e s x . y~ choisies d a n s un d o m a i n e t r ~ s - p e t i t
c e t t e 6 q u a t i o n f o u r n i r a a u moins u n e v a l e u r u :=u~ t r ~ s - p e t i t e aussi. L e r6sul- t a n t des ~quations (~.) ~ t a n t nul p o u r x ~ x,, y ~ y~, u : - u ~ , ces 6quations a d m e t - t r e n t en v u n e racine c o m m u n e tr~s p e t i t e v : v . si x, y, tt s e n t remplac6s p a r xl, Yl, ul-
L a propri6t~ ~nonc~e se t r o u v e d o n e ~tablie.
2. Consid~rons en second lieu le s y s t ~ m e s u i v a n t
(4) { x = Z(u, v)](u, v)
y - Z ( u , v)~(u, v),
oh
X(u, v), /(u, v), ~(u, v)
s e n t trois f o n c t i o n s r4guli~res p o u r u - - v - - o ; de plus )~(u, v) s ' a n n u l e p o u r u : : v ~ o e t l'on suppose que ).(u, v ) e s tirrdductible
a u voisinage de u ~ v ~ o, c'est-h-dire n ' c s t pas le p r o d u i t de d e u x fonctions r6gu- li~res et s ' a n n u l a n t p o u ru ~ - v : - o ;
en o u t r e on p e u t s u p p o s e r que ).(o, v) n ' e s t pas nul i d e n t i q u e m e n t , sans eela on e f f e c t u e r a i t sur u et v une s u b s t i t u t i o n lin~aire g~nSrale. E n f i n ~(o, o) est suppos6 diff6rent de zdro, de s o r t e que au voisinage de u ~= v ~ o, y ne p e u t s ' a n n u l e r que si)~(u, v)
s'annule.D a n s ce qui suit nous 4crirons ~, /, ~ a u lieu de ~(u, v), ](u, v), ~(u, v ) p o u r abr~ger l'6eriture.
L e q u o t i e n t ]- est u n e f o n c t i o n r6guli~re d a n s un d o m a i n e
(5) l u l < * , , I v l < * ,
choisi assez p e t i t p u i s q u e ~(o, o) # o. P o s o n s :
(6)
1--~p,;tp~ s e r a r6guli~re p o u r u : v = o ; soi~ a, ]a v a l e u r de q2~(o, o); 1~ difference
~ a , s ' a n n u l e p o u r
u ~ v ~ o ;
s u p p o s o n s qu'e]le soit divisible p a r le f a c t e u r Z(u, v) e t posons(7)
~)1 ~ a , + Z)~,;], sera u n e f o n c t i o n d e u e t v r6guli~re p o u r u ~ v ~ o.
P o s o n s :
(8) l, = ~ ,
r
et a= 6 t a n t la v a l e u r de ~=(o, o), s u p p o s o n s q u e q 4 - - a : est e n c o r e divisible p a r
;r v), et soit
(9)
/~ 6 r a n t r6guli~re p o u r u - - v - o.
(io)
(P2 a~ § )./~, P o s o n s Encore:
/2 = ~2 a
ep
en a p p e l a n t aa la v a l e u r de (ps(o, o), si la diff6rence ~0a--aa est aussi divisible p a r 4, nous p o s e r o n s
(xx) ~P, = aa + k/a;
en p o u r s u i v a n t ainsi, s u p p o s o n s q u ' o n a r r i v e h u n e f o n c t i o n r telle q u e la diff6rencc ~ , - - a , n e soit pus divisible p a r ).. Si c e t t e c i r c o n s t a n c e s'6tait pr6- sent6e p o u r la p r e m i b r e diffdrence q ' l - - a , on a u r a i t dans ce qui suit s ~ i.
On a e n t r e les fonctions qJ~, ~ z , . . . ~, les identit6s s u i v a n t e s
r a, +
~.(f'q:~
( I 2 ) ~). = a,. ~- )'r
. . .
D ' o h l'on t i r e la s u i v a n t e :
(i3) ~P~- a~ + a2()~cf) + aa().~f) ~ + " " + a , - , ( ) . e f ) ~-2 + r
x et y 6 r a n t li6es g u et g v p a r les relations (4), l'identit6 p r d c 6 d e n t e multipli6e p a r )of, p e n t ~tre 6crite sous la f o r m e :
(I4) x = a l y + a=y 2 + . . . + a ~ _ l y ~-t + y ~ P , .
Si s = i, il n ' y a pas d'identitSs (r_o), mais on a i m m S d i a t e m e n t d ' a p r ~ s (5)
qui r e n t r e d a n s la r e l a t i o n (i4) p o u r s = i.
Considdrons les d e u x 6 q u a t i o n s
(rS) I a : ~p~(u, v ) - - a ~
! y = )~(u, v)(fiu, v)
les seconds m e m b r e s sont des f o n c t i o n s rdguli~res p o u r u ~ o, v =-o, sans f a c t e u r c o m m u n dans ]e voisinage de ce point. Car ).(u, v) est le scul f a c t e u r , irr~tuc- tible p a r h y p o t h ~ s e , du s e c o n d m e m b r e de la d e u x i 6 m e ~quation et i] n ' a p p a r - t i e n t pas, p a r h y p o t h 6 s e , h ~ ( u , v ) - - a ~ . D'ail]eurs les d e u x seconds m e m b r e s du s y s t ~ m e (i5) s o n t des f o n c t i o n s i n d 6 p e n d a n t e s de u et v; car si ~,~(u, v ) 6 t a i t f o n c t i o n de y, d ' a p r 6 s (i4) x serait aussi f o n c t i o n de y, et dans les 6quations (4) les seconds m e m b r e s s e r a i e n t li6s p a r une relation, cas q u e nous 6 c a r t o n s ici.
I1 r6sulte de lh, d ' a p r 6 s le p r e m i e r p a r a g r a p h e de c e t t e note, q u e si nous p r e n o n s p o u r a e t y d e u x v a l e u r s a r b i t r a i r e s a~ et y~ d ' u n d o m a i n e assez petit:
d o n n 6 ~ l ' a v a n c e . (I6)
o n a u r ~ 9
I-,l<~, ly, l<~
]es 6 q u a t i o n s (I5) a d m e t t r o n t en u e t v un s y s t 6 m e de solutions (u~, v~) dans un d o m a i n e t r 6 s - p e t i t
I~l<,i, ]vl<,~
P a r suite, si x~ est la v a l e u r d e x f o u r n i e p a r la r e ] a t i o n : x, : a ~ y L + a2y~ + ..- + a,-ly~ -I + (a~ +a,)y~
x, = t ( u , , v , ) l ( u ,
v,)
Yl ~ ) , ( u , v,)ef(u,, vl).
E n r6sum6, si dans la r e l a t i o n (i6) on p r e n d y~ et ~, a r b i t r a i r e s mais assez petits, les 6 q u a t i o n s (4) p o u r x ~ x l , y ~ Yl a d m e t t e n t un s y s t 6 m e de solutions en u et v a p p a r t e n a n t au d o m a i n e
I~1<~, Ivl<~:
off ~ a 6t6 pris a r b i t r a i r e m e n t petit.
N o u s a v o n s supposG p o u r p a r v e n i r ~ ce r e s u l t a t , que, apr~s un c e r t a i n n o m - bre d ' o p 6 r a t i o n s , on p a r v e n a i t s u n e f o n c t i o n ~,~ telle que ~ - - a ~ ne soit pas divisible p a r ~(u, v). M o n t r o n s m a i n t e n a n t qu'il en est t o u j o u r s ainsi.
Si d a n s les 6 q u a t i o n s (4) on r e m p l a c e u et v p a r d e u x f o n c t i o n s arbitraires d ' u n p a r a m 6 t r e t, r6guli6res p o u r t = o et s ' a n n u l a n t p o u r c e t t e valeur, p o u r des valeurs assez p e t i t e s de t les seconds m e m b r e s s e r o n t des fonctions r6guli6res de t, e t x et y se p r 6 s e n t e n t ainsi c o m m e fonctions r6guli~res d ' u n seul p a r a - m6tre. On p e u t alors consid6rer x c o m m e fonction de y, et le d6velopper, c o m m e
1
on sait, s u i v a n t les puissances enti~res et positives de (y)p p ~ t a n t un e n t i e r positif. Or les p r e m i e r s t e r m e s d u d d v e l o p p e m e n t sont m a n i f e s t e m e n t donn~s p a r la f o r m u l e (i4) j u s q u ' a u t e r m e en y.~-i i n c l u s i v e m e n t . Si on ne p a r v i e n t pas h u n e f o n c t i o n ~s, telle q u e r as ne soit pas divisible p a r ).(u, v), on p o u r - r a i t a v o i r t o u s l e s t e r m e s d u d ~ v e l o p p e m e n t de x s u i v a n t les puissances de y;
cela r e v i e n t h dire que x serait t o u j o u r s In m ~ m e f o n c t i o n de y quelles que soient les d e u x fonctions de t qui r e m p l a c e n t u et v. Mais alors il y a u r a i t dvidem- m e n t u n e relation e n t r e x e t y consid~r~es c o m m e f o n c t i o n s de u et v, h y p o t h ~ s e que nous a v o n s 4cart~e.