A partir do modelo de Farrell (1957), Charnes, Cooper e Rhodes (1978) propuseram um modelo de orientação a entrada chamado de modelo CCR. Optou por esse nome ao referenciar os três autores (Charnes, Cooper e Rhodes). O modelo CCR assume retornos constantes de escala, onde qualquer variação nas entradas produz variação proporcional nas saídas. No modelo CCR determina-se a eficiência total das DMUs, que é calculada a partir da maximização da divisão entre a soma ponderada das variáveis de outputs pela soma ponderada das variáveis de inputs.
Em seguida, Banker et al. (1984) desenvolveram um segundo modelo denominado de BCC também em referência aos nomes dos autores (Banker, Charnes e Cooper). Este modelo assume retornos variáveis de escala, isto é, permite que DMUs que operam com valores baixos de entradas tenham retornos crescentes de escala, enquanto que as DMUs que estão operando com altos valores podem ter retornos decrescentes de escala. O modelo BCC mede a eficiência técnica pura e eficiência de escala.
Como o modelo CCR mede a eficiência total e o modelo BCC mede a eficiência técnica, é possível calcular a eficiência de escala. Divide-se a eficiência total pela eficiência técnica. Existem três variações de escala para esse tipo de eficiência: retornos constantes de escala, quando o aumento de inputs não interfere na produtividade, retornos crescentes de escala, quando aumentado os inputs a produtividade também aumenta e retornos decrescentes de escala quando o aumento nos inputs conduz a uma diminuição da produtividade.
Os modelos CCR e BCC apresentam-se de forma primal (também chamado de multiplicadores) e dual (envelopamento). Uma DMU ineficiente pode se tornar eficiente pela projeção sobre a fronteira de eficiência. A orientação do modelo determina a direção da projeção para DMU eficiente (MARTIC; NOVAKOVIĆ; BAGGIA, 2009), ou seja, a forma como a DMU atinge a fronteira de eficiência é determinada pela orientação do modelo.
Existem duas formas de orientação: orientado ao input e orientado ao output. Quando o modelo é orientado ao input, as DMUs diminuem seus recursos para atingir a fronteira de eficiência, de forma que os resultados não sejam alterados. Na orientação ao output, as DMUs buscam atingir a fronteira maximizando seus outputs, mas com os inputs constantes.
As equações 5, 6, 7 e 8 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo, restrição de linearização e as demais restrições para o modelo CCR primal na orientação para o input: 𝑀𝑎𝑥 = ∑𝑚 𝑢𝑖 . 𝑦𝑖0 𝑖=1 (5) Sujeito a: ∑𝑛𝑗=1𝑣𝑗 . 𝑥𝑗0= 1 (6) ∑𝑚 𝑢𝑖 𝑖=1 . 𝑦𝑖𝑘 − ∑𝑛𝑗=1 𝑣𝑗. 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1,2, … 𝑧 (7) 𝑢𝑖 𝑒 𝑣𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1 … , 𝑛 (8)
As equações 9, 10, 11 e 12 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo, restrição de linearização e as demais restrições para o modelo CCR primal na orientação para o output: 𝑀𝑖𝑛 = ∑𝑛𝑗=1𝑣𝑗 . 𝑥𝑗0 (9) Sujeito a: ∑𝑚𝑖=1𝑢𝑖 . 𝑦𝑖0 = 1 (10) ∑𝑚 𝑢𝑖 𝑖=1 . 𝑦𝑗𝑘 − ∑𝑛𝑗=1 𝑣𝑗. 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1,2, … 𝑧 (11) 𝑢𝑖 𝑒 𝑣𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1 … , 𝑛 (12)
Onde:
𝑢𝑖: Utilidade do output i; 𝑣𝑗: Utilidade do input j;
𝑥𝑗𝑘: Quantidade do insumo j da DMU k;
𝑦𝑖𝑘: Quantidade do produto i da DMU k;
𝑥𝑗0: Quantidade do insumo j da DMU em análise; 𝑦𝑗0: Quantidade do produto i da DMU em análise; z = número de unidades em avaliação;
m = número de outputs; n = número de inputs;
As equações 13, 14, 15 e 16 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo, restrição de linearização e as demais restrições para o modelo BCC primal na orientação para o input: 𝑀𝑎𝑥 = ∑𝑚 𝑢𝑖 . 𝑦𝑖0 𝑖=1 + 𝑢 (13) Sujeito a: ∑𝑛𝑗=1𝑣𝑗 . 𝑥𝑗0= 1 (14) ∑𝑚 𝑢𝑖 𝑖=1 . 𝑦𝑗𝑘 + 𝑢 − ∑𝑛𝑗=1 𝑣𝑗. 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1,2, … 𝑧 (15) 𝑢𝑖 𝑒 𝑣𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1 … , 𝑛 (16)
As equações 17, 18, 19 e 20 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo, restrição de linearização e as demais restrições para o modelo BCC primal na orientação para o output: 𝑀𝑖𝑛 = ∑𝑛𝑗=1𝑣𝑗 . 𝑥𝑗0 + 𝑣 (17) Sujeito a: ∑𝑚 𝑢𝑖 . 𝑦𝑖0 𝑖=1 = 1 (18) ∑𝑚𝑖=1𝑢𝑖 . 𝑦𝑖𝑘 − 𝑣 − ∑𝑛𝑗=1 𝑣𝑗. 𝑥𝑗𝑘 ≤ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1,2, … 𝑧 (19)
𝑢𝑖 𝑒 𝑣𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝑗 = 1 … , 𝑛 (20) Onde:
𝑢𝑖: Utilidade do output i; 𝑣𝑗: Utilidade do input j;
𝑥𝑗𝑘: Quantidade do input j da DMU k; 𝑦𝑖𝑘: Quantidade do output i da DMU k;
𝑥𝑗0: Quantidade do input j da DMU em análise; 𝑦𝑗0: Quantidade do output i da DMU em análise; z = número de unidades em avaliação;
m = número de outputs; n = número de inputs;
u e v = coeficientes de retornos à escala.
Por meio dos coeficientes u e v, é possível identificar o tipo de retorno à escala pelo o qual a DMU está operando.
Coeficiente u > 0, retorno crescente,
Coeficiente u = 0, retorno constante;
Coeficiente u < 0, retorno decrescente.
Coeficiente v > 0, retorno decrescente;
Coeficiente v = 0, retorno constante;
Coeficiente v < 0, retorno crescente.
Os modelos CCR e BCC também são dispostos na forma de envelopamento ou dual. Em concordância com Almeida (2010), a forma dual envolve um número menor de restrições do que na forma primal e sua principal contribuição é indicar as metas para que as DMUs ineficientes possam se tornar eficientes. Para isso, Almeida (2010) declara que o procedimento realizado para o cálculo das metas é:
Calcular as eficiências das DMUs;
Determinar os valores das variáveis lambda (𝜆) para cada DMU em análise;
Multiplicar cada lambda da etapa anterior com os inputs e outputs das DMUs correspondentes a ele, e
As equações 21, 22, 23 e 24 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo e as demais restrições para o modelo CCR dual na orientação para o input:
𝑀𝑖𝑛 𝜃 (21) Sujeito a:
∑𝑧𝑘=1𝑦𝑖𝑘 . 𝜆𝑘 ≥ 𝑦𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (22) ∑𝑧𝑘=1𝑥𝑗𝑘 . 𝜆𝑘− 𝜃 . 𝑥𝑗0 ≤ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚 (23) 𝜆𝑘 𝑒 𝜃 ≥ 0, 𝑘 = 1, … , 𝑗 (24) As equações 25, 26, 27 e 28 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo e as demais restrições para o modelo CCR dual na orientação para o output:
𝑀𝑎𝑥 𝜂 (25) Sujeito a: ∑𝑧 𝑥𝑗𝑘 𝑘=1 . 𝜆𝑘 ≤ 𝑥𝑗𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (26) ∑𝑧𝑘=1𝑦𝑖𝑘 . 𝜆𝑘− 𝜂 . 𝑦𝑖0 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (27) 𝜆𝑘 𝑒 𝜂 ≥ 0, 𝑘 = 1, … , 𝑗 (28) Onde: 𝜃: Eficiência; 𝜂: Inverso da eficiência;
𝜆𝑘= Participação da DMU k na meta da DMU em análise; 𝑥𝑗𝑘: Quantidade do input j da DMU k;
𝑦𝑖𝑘: Quantidade do output i da DMU k;
𝑥𝑗0: Quantidade do input j da DMU em análise; 𝑦𝑗0: Quantidade do output i da DMU em análise; z = número de unidades em avaliação;
m = número de outputs; n = número de inputs;
As equações 29, 30, 31, 32 e 33 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo e as demais restrições para o modelo BCC dual na orientação para o input:
𝑀𝑖𝑛 𝜃 (29) Sujeito a: ∑𝑧𝑘=1𝑦𝑖𝑘 . 𝜆𝑘 ≥ 𝑦𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (30) ∑𝑧𝑘=1𝑥𝑗𝑘 . 𝜆𝑘− 𝜃 . 𝑥𝑗0 ≤ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚 (31) ∑𝑧𝑘=1𝜆𝑘 = 1 (32) 𝜆𝑘 𝑒 𝜃 ≥ 0, 𝑘 = 1, … , 𝑗 (33)
As equações 34, 35, 36, 37 e 38 apresentam respectivamente as fórmulas de função objetivo e as demais restrições para o modelo BCC dual na orientação para o output:
𝑀𝑎𝑥 𝜂 (34) Sujeito a: ∑𝑧𝑘=1𝑥𝑗𝑘 . 𝜆𝑘 ≤ 𝑥𝑗𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (35) ∑𝑧𝑘=1𝑦𝑖𝑘 . 𝜆𝑘− 𝜂 . 𝑦𝑖0 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 (36) ∑𝑧𝑘=1𝜆𝑘 = 1 (37) 𝜆𝑘 𝑒 𝜂 ≥ 0, 𝑘 = 1, … , 𝑗 (38) Onde: 𝜃: Eficiência; 𝜂: Inverso da eficiência;
𝜆𝑘= Participação da DMU k na meta da DMU em análise; 𝑥𝑗𝑘: Quantidade do input j da DMU k;
𝑦𝑖𝑘: Quantidade do output i da DMU k;
𝑥𝑗0: Quantidade do input j da DMU em análise; 𝑦𝑗0: Quantidade do output i da DMU em análise;
z = número de unidades em avaliação; m = número de outputs;
n = número de inputs;
O que difere os modelos CCR e BCC é a restrição de linearização. No modelo CCR o resultado da eficiência das duas orientações trata-se do mesmo valor. Já no modelo BCC,
o resultado das eficiências pode ter valores diferentes. As modelagens primal e dual possuem a mesma solução. Conforme já mencionado, no dual é possível calcular metas e identificar as DMUs benchmark.
Para Almeida (2010), a identificação das unidades benchmark é feita calculando os lambdas (𝜆) do modelo para uma determinada DMU em análise. Se o lambda for igual a zero, a unidade que corresponde a esta variável não será um benchmark para a DMU em análise. Caso o lambda for diferente de zero, a unidade que corresponde a esta variável será benchmark para a DMU em análise.