Algorithme de parcours de graphes

Pour trouver la fermeture transitive d’un graphe G, on peut d´ecomposer le probl`eme en trois

´ etapes :

1. D´eterminer les composantes fortement connexes de G.

2. D´eterminer la fermeture transitive du graphe r´eduit Gr qui est sans circuit.

3. D´eduire la fermeture transitive de Gde la fermeture transitive de Gr.

Remarque 2 Si G = (X, U) est fortement connexe, sa fermeture transitive est un 1-graphe plein sans boucle, c’est-`a-dire ∀(x, y)∈X², (x, y)∈U_F et (y, x)∈U_F.

3 Etape 1´ : Recherche des composantes fortement connexes deGpar l’algorithme de Kosaraju-Sharir.

3 Etape 2´ : Recherche de la fermeture transitive du grapheG_r= (X_r, U_r) (sans circuit) d’ordre k. Il faut en premier lieu d´efinir un ordre topologique sur les sommets de G_r. Les sommets sont alors num´erot´es de 1 `a k selon cet ordre topologique. Pour tout sommet x de Xr, L^x d´esigne la liste des sommets pouvant ˆetre atteints par un chemin partant de x(liste des des-cendants). Pour chaque sommetx, la listeL^x est initialis´ee par l’ensemble de ses successeurs.

Puis, pour chaque sommet y allant de k `a 1 (ordre topologique inverse), on ´etablit sa liste des descendants de la fa¸con suivante :

L^y ←L^yS

z∈Γ⁺(y)L^z

Comme les sommets sont examin´es dans l’ordre topologique inverse, lorsque le sommety est examin´e, les listes d´efinitives L^z de tous ses successeurs directs z ont d´ej`a ´et´e constitu´ees.

La fermeture transitive Fr = (Xr, UFr) de Gr est constitu´ee des arcs suivants : ∀x ∈ Xr,

∀y ∈L^x, (x, y)∈U_Fr.

3 Etape 3´ : D´eduire la fermeture transitive de Gde la fermeture transitive de Gr.

1. Pour chaque composante fortement connexeXi de cardinalni, ´etablir la liste desni(ni− 1) arcs du sous-graphe sans boucle d´efinis surXi.

2. Siketlsont deux sommets deG_r (correspondant aux composantes fortement connexes X_k et X_l de G) tels que l’arc (k, l) appartienne `a la fermeture transitive de G_r, alors

´

etablir la liste desnk×nl arcs de la forme (i, j) avec i∈Xk et j∈Xl. 4.5.2. Puissances de la matrice d’adjacence

Calcul de chemins Unematrice d’adjacenceA est une matrice carr´ee d’ordren telle que : aij = 1 si (xi, xj)∈U

0 sinon.

On d´efinit ´egalement A² = (a²_ij) par :a²_ij =Pn

l=1ail.alj

Ainsi, a_il.a_lj = 1 ⇔ il existe un chemin de xi `a xj de longueur 2 transitant par x_l. De ce fait, le terme a²_ij repr´esente le nombre de chemins de longueur 2 avecx_i pour extr´emit´e initiale etx_j pour extr´emit´e terminale.

De la mˆeme mani`ere, on d´efinit A^k= (a^k_ij) par :a^k_ij =Pn

l=1a^k−1_il .a_lj

a^k−1_il .a_lj repr´esente le nombre de chemins de x_i `a x_j de longueur ktransitant parx_l sia_lj = 1.

Ainsi, a^k_ij repr´esente le nombre de chemins de longueurk avec xi pour extr´emit´e initiale etxj pour extr´emit´e terminale.

On notera que les boucles sont prises en compte. On peut donc rep´erer sur la diagonale les nombres de circuits de longueurk.

Existence de chemins A^[k] = (a^[k]_ij ) est une matrice bool´eenne dont chaque terme est d´efini par :

a^[k]_ij =∨ⁿ_l=1

a^[k−1]_il ∧a_lj

Ainsi, a^[k]_ij repr´esente l’existence de chemins dex_i `a x_j de longueurk.

Soit :

Ab =A∨A^[2]∨A^[3]∨. . .∨A^[n−1]

Ab repr´esente la fermeture transitive de Γ

∀x∈X, Γ(x) = Γ(x)∪Γ²(x)∪. . .∪Γⁿ⁻¹(x)

Dans ce paragraphe, nous d´efinissons la fermeture transitive d’une autre mani`ere qu’au paragraphe 4.5.

∀x_i∈X, `a Γ(xi), on associe la ligne ide la matriceAbtelle que : ba_ij = 1 si∃ µ[x_i, x_j]

0 sinon.

On notera que la construction de la composante fortement connexe associ´ee `a un sommetxdonn´e peut ˆetre r´ealis´ee par le calcul de Γ(x)∩Γ⁻¹(x) (cet ensemble correspond aux sommets qui se situent sur un circuit contenantx).

Proc´edure Fermeture transitive(Γ,Γ) Γ←Γ(x);

D←Γ; ensemble des nouveaux sommets atteints Si (x∈D)Alors

D←D− {x};

Fin Si

Tant que (D6= Ø) faire S ← ∪_y∈DΓ(y) ; D←S−(S∩Γ) ; Γ←Γ∪D; Fait

Fin

Proc´edure Fermeture transitive(Γ⁻¹,Γ⁻¹) { idem que pour Γ}

Fin

Proc´edure Composante fortement connexe() F C(x)← {x};

Si (Γ(x)6= Ø et Γ⁻¹6= Ø) Alors F ermeture transitive(Γ,Γ) ; F ermeture transitive(Γ⁻¹,Γ⁻¹) ; F C(x)← {x} ∪(Γ∩Γ⁻¹) ;

Fin Si Fin

On associe `aAbun grapheτ(G) = (X, τ(U)) de la fermeture transitive.

Deux graphesG= (X, U) et G⁰ = (X, U⁰) sont ditτ-´equivalent s’ils poss`edent la mˆeme fermeture transitive, c’est-`a-direτ(G) =τ(G⁰) (⇔τ(U) =τ(U⁰)).

Un grapheG= (X, U) est dit τ-minimal

si ∀u∈U, G⁰= (X, U − {u}) n’est pasτ-´equivalent `a G.

i.e. si ∀u∈U, τ(U −u)⊂τ(U) (l’inclusion est stricte) i.e. τ(G⁰) est un graphe partiel de τ(G).

4.5.3. Algorithmes par multiplications matricielles

Pour trouver la fermeture transitive d’un grapheGd’ordren, il suffit d’´elever la matrice d’adja-cence deG `a la puissancen−1.

Algorithme trivial en O(n⁴) L’algorithme trivial correspond au produit de matrices en O(n³) avecn−2 produits

addition de matrices en O(n²) avec n−2 additions

Algorithme de Warshall en O(n³)

A→A⁽¹⁾→A⁽²⁾→. . .→A^(k)→. . .→A⁽ⁿ⁾

Soitk∈ {1,2, . . . , n}donn´e, on posea^(k)_ij = 1 s’il existe au moins un chemin dexi `axj transitant uniquement par des sommets de num´eros appartenant `a {1,2, . . . , k} :

ou bien

{1,2, . . . , k−1} i.e.a^(k−1)_ij . ou bien

il existe un chemin de x_i `a x<sub>k</sub> transitant seulement par des sommets de num´eros appartenant `a {1,2, . . . , k−1} i.e.a^(k−1)_ik .

et, il existe un chemin de x_k `a xj transitant seulement par des sommets de num´eros appar-tenant `a {1,2, . . . , k−1} i.e.a^(k−1)_kj .

⇒a^(k)_ij =a^(k−1)_ij ∨

a^(k−1)_ik ∧a^(k−1)_kj

. avec initialement, a⁽¹⁾_ij =aij ∨(ai1∧a1j)

Pour kde 1`a nfaire Pour ide 1 `a nfaire

Pour j de 1`a nfaire a_ij ←a_ij∨(a_ik∧a_kj) ; Fin Pour

Fin Pour Fin Pour

La compl´exit´e temporelle est enO(n³).

On notera qu’`a chaque it´erationk, on fait un produit de la colonne kdeA ”transform´ee” par la lignek deA ”transform´ee” ; c’est une matrice anti-scalairequi se calcule en O(n²).

i.e.

A⁽¹⁾=A∨ A¹∧A₁ A⁽²⁾=A⁽¹⁾∨

A⁽¹⁾² ∧A⁽¹⁾₂ . . .

A^(k)=A^(k−1)∨

A^(k−1)k ∧A^(k−1)_k

Chapitre 5. Probl` emes de meilleurs chemins

Les probl`emes de cheminement dans les graphes (en particulier la recherche d’un plus court chemin) comptent parmi les plus classiques de la th´eorie des graphes et les plus importants dans leurs applications. Le probl`eme duplus court chemin(pcch) peut ˆetre pos´e de la fa¸con suivante :

´

etant donn´e un grapheG= (X, U), on associe `a chaque arc u= (i, j) un nombre r´eel, not´e l(u) ou l<sub>ij</sub>, appel´e longueur de l’arc. Le probl`eme du pcch entre deux sommetsi₀ etj₀ du graphe consiste `a d´eterminer, parmi tous les chemins allant de i0 `a j0 celui, not´eµ^∗ dont la longueur totale :

l(µ^∗) = X

u∈µ^∗

l(u)

soit minimale.

Condition n´ecessaire Le probl`eme du pcch a une solution si et seulement si il n’existe pas dans le graphe de circuit de longueur strictement n´egative pouvant ˆetre atteint `a partir dei₀.

Si cette condition n´ecessaire est v´erifi´ee, il existe toujours un chemin de longueur minimale qui soit ´el´ementaire. En effet, lorsque tous les circuits du graphe pouvant ˆetre atteint `a partir de i0 ont une longueur strictement positive, tout pcch est n´ecessairement ´elementaire.

Lorsque l’on cherche un pcch entre deux sommets, on doit d´eterminer d’autres ppch entre i₀ et d’autres sommets du graphe. Aussi, les algorithmes existant se divisent en deux cat´egories : ceux dans lesquels on recherche un pcch d’un sommet sp´ecifi´e i0 `a tous les autres sommets du graphe ; ceux qui proc`edent directement de la recherche de tous les pcch entre i et j pour tous les couples (i, j) du graphe.

Il existe un grand nombre d’algorithmes permettant de d´eterminer un pcch d’un sommet parti-culier i₀ `a tous les autres sommets du graphe. Les plus efficaces d’entre eux r´ealisent un marquage des sommets c’est-`a-dire qu’`a chaque sommetiest associ´e une marqueλ(i) repr´esentant `a la fin de l’algorithme la longueur du pcch allant dei0 `a i.

5.1. Plus courts chemins d’origine fix´ee dans un graphe avec longueurs non n´egatives : algorithme de Dijkstra

Soit G= (X, U) un graphe dont les arcs sont munis de longueurs r´eelles positives ou nulles. On cherche les pcch de i0 `a tous les autres sommets du graphe.

L’algorithme de Moore-Dijkstra proc`ede en n−1 it´erations. A l’initialisation, λ(i<sub>0</sub>) ← 0 et λ(i) ← ∞ pour tout i 6= i<sub>0</sub>. A une it´eration quelconque de l’algorithme, l’ensemble des sommets est partag´e en deux sous-ensemblesS etX\S. Le sous-ensemble S contient l’ensemble des sommets d´efinitivement marqu´es c’est-`a-dire les sommetsipour lesquels la marque λ(i) repr´esente effective-ment la longueur d’un pcch allant dei₀ `a i(`a l’initialisation S ← {i₀}). X\S contient les sommets iayant une marque provisoire v´erifiant :

λ(i) =min_k∈S∩Γ⁻_(i){λ(k) +l_ki}

L’algorithme est bas´e sur le lemme suivant.

Lemme: Sii est un sommet deX\S de marque provisoireλ(i) minimale : λ(i) =min_j∈X\Sλ(j)

alorsλ(i) est la longueur d’un pcch chemin allant dei₀ `a i.

Ainsi `a chaque it´eration, on s´electionne le sommet i de plus petite marque provisoire, on l’in-clut dans l’ensemble S des sommets d´efinitivement marqu´es et on remet `a jour les marques de ces successeurs non d´efinitivement marqu´es de la fa¸con suivante :

∀j∈Γ⁺(i)\S, λ(j) =min{λ(j);λ(i) +l_ij}

Lorsque tous les sommets du graphe sont dans l’ensemble S, les marques repr´esentent les lon-gueurs des pcch allant dei `a tous les autres sommets du graphe.

Comme `a chaque it´eration, on attribue une marque d´efinitive `a un nouveau sommet, on d´etermine n−1 pcch entrei₀ et les autres sommets du graphe en au plusn−1 it´erations.

λ(i₀)←0 ;

λ(i)←+∞ ∀i∈X\{i₀}; p(i)←i∀i∈X;

S← {i₀}; i←i0;

Tant que (S 6=X) faire

Pour tout j∈Γ⁺(i)\S faire Si (λ(j)> λ(i) +l_ij) Alors

λ(j)←λ(i) +lij; p(j)←i;

Fin Si Fin Pour

S´electionner i∈X\S tel queλ(i) =min_j∈X\Sλ(j) S←S∪ {i};

Fait

Preuve par r´ecurrence de l’exactitude de l’algorithme : Au rang 1 :λ(i0) = 0 =λ^∗(i0)

Au rang 2 : Soiti∈Γ⁺(i₀) tel que λ(i) =min_j∈X\S{λ(j)}

λ(i) =l_i0i =λ^∗(i) car tout autre chemin allant dei₀ `aicomportera au moins deux arcs et sera donc de valeur minimale :v=min_j∈Γ⁺_(i0)\{i}{λ(j) +q}. Et, commeq≥0, v≥λ(i).

On suppose que la propri´et´e est vraie au rang k−1.

Au rang k: Soit itel queλ(i) =min_j∈X\S{λ(j)}

Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe un chemin de µ(i0, i) ={i₀, . . . , s, r, . . . , t, i} de longueur v(µ(i0, i)) tel que v(µ(i0, i))< λ(i). Soit s le premier sommet appartenant `a S rencontr´e en remontant le chemin µ de i vers i₀. Comme la propri´et´e est suppos´ee vraie au rangk−1, on a λ(s) =λ^∗(s) et :

λ^∗(s) +l_sr ≤v(µ(i₀, s)) +l_sr≤v(µ(i₀, s)) +l_sr+. . .+l_ti=v(µ(i₀, i))

car ∀(i, j)∈U, l_ij ≥0. Par hypoth`ese, on a : v(µ(i<sub>0</sub>, i))< λ(i). Or, λ(r) ≤λ<sup>∗</sup>(s) +l<sub>sr</sub> < λ(i), c’est donc le sommet non marqu´e r qui aurait dˆu ˆetre s´electionn´e `a l’it´eration k et non le sommeti. On aboutit donc `a une contradiction.

Complexit´e : A chaque it´eration, on s´electionne le sommet j de plus petite marque en O(n) op´erations dans le pire cas, et on remet `a jour les marques des successeurs de j en O(d⁺(j)) op´erations. En tout, il y a n it´erations pour marquer tous les sommets du graphe. La complexit´e totale est donc en O(n²) +O(m)≈O(n²).

Remarquons que lorsque le graphe est peu dense, le termeO(n²) l’emporte surO(m) et l’op´eration la plus coˆuteuse consiste `a recherche le sommet de plus petite marque. Pour diminuer la complexit´e de cette recherche, on peut utiliser une structure de donn´ees appel´ee tas.

5.2. Mise en oeuvre de l’algorithme de Dijkstra pour les graphes peu denses : algorithme de Johnson

5.2.1. Pr´esentation de la structure de donn´ees de tas (heap)

Un maximier est unarbre valu´e partiellement ordonn´e, c’est-`a-dire que la valuation d’un sommet est inf´erieure ou ´egale `a celle de ses fils, aussi ´equilibr´e que possible(les seules feuilles manquantes doivent se trouver `a droite des feuilles situ´ees au plus bas niveau de l’arbre).

Le sommet de plus petite valuation est le sommet racine. On peut donc le trouver en O(1) op´eration. Si on le supprime, on d´etruit la structure d’arbre. Pour recomposer un maximier, il suffit de prendre la feuille la plus `a droite du niveau le plus bas et on la place temporairement `a la racine.

Puis, il faut pousser cet ´el´ement aussi bas que possible en l’´echangeant avec celui de ses fils ayant la plus petite valuation inf´erieure. On s’arrˆete lorsque l’´el´ement est, soit, devenu une feuille, soit, a ses fils de plus grande valuation. La suppression de la racine a une complexit´e en 0(log₂n) car aucun chemin de l’arbre ne contient plus de log₂narˆetes.

Pour ins´erer un nouvel ´el´ement tout en pr´eservant la structure du maximier, on r´ealise la proc´edure ”inverse”. On commence par placer l’´el´ement en question aussi loin que possible `a gauche au plus bas niveau de l’arbre. Puis, on le pousse aussi haut que possible dans l’arbre de la fa¸con suivante : si son p`ere `a une valuation sup´erieure `a la sienne, il faut les ´echanger, et on r´eit`ere les comparaisons jusqu’`a ce que l’´el´ement ins´er´e se trouve `a la racine, ou bien, ait une priorit´e inf´erieure

`

a celle de son p`ere. L’insertion d’un nouvel ´el´ement a ´egalement une compl´exit´e enO(log₂n).

Le tasest une structure de donn´ees pouvant ˆetre utilis´ee pour repr´esenter en machine un maxi-mier. Soit un maximier contenant n sommets. Dans le tas, on utilise les n premi`eres cellules d’un tableau unidimensionnel T de la fa¸con suivante : les sommets du maximier remplissent les cellules T[1], T[2], . . . , T[n] niveau par niveau `a partir du haut, et `a l’int´erieur d’un mˆeme niveau de la gauche vers la droite. Ainsi, le fils gauche, s’il existe, du sommet T[i] se trouve enT[2<sup>i</sup>] et le fils droit, s’il existe, enT[2<sup>i</sup>+ 1] ; le p`ere deT[i] se trouve en T[₂ⁱ].

5.2.2. Algorithme de Johnson

Les sommetsideGet leur marqueλ(i) sont stock´ees dans un maximier ce qui permet de trouver le sommet de marque initiale enO(1) op´eration.

Dans l’algorithme de Johnson, on fait appel aux fonctions suivantes : – insere(i, T) : ins`ere le sommet idans le tasT

– min(T) : retourne et supprime le sommet racine (de plus petite valuation) de T et recompose la structure

– diminue(valeur, i, T) : modifie la valuation du sommet i dans T (elle passe `a valeur) et re-compose la structure

Le tas est constitu´e des sommets ayant des marques temporaires finies.

T ←Ø ;

λ(i₀)←0 ; λ(i)←+∞ ∀i∈X\{i₀}; p(i)←i∀i∈X;

insere(i, T) ;

Tant que (S 6=X) faire i←min(T) ;

S←S∪ {i};

Pour tout j∈Γ⁺(i)\S faire v=λ(i) +l_ij;

Si (λ(j)> v) Alors Si (λ(j) = +∞) Alors

λ(j)←v; p(j)←i; insere(j, T) ; Sinon

λ(j)←v; p(j)←i;

diminue(v, j, T) ; Fin Si

Fin Si Fin Pour Fait

A chaque it´eration, on s´electionne le sommet i de plus petite marque et on recompose le tas : la complexit´e est en O(1) +O(log2n). Puis, on remet `a jour les marques de tous les successeurs du sommetis´electionn´e enO(d⁺(i)×log₂n). Comme il y a nit´erations, on a une complexit´e totale de O(nlog2n) +O(mlog2n)≈O(mlog2n).

5.3. Plus court chemin d’origine fix´ee dans un graphe sans circuit avec longueurs quelconques : algorithme de Bellman

SoitG= (X, U) un graphe sans circuit dont les arcs sont munis de longueurs r´eelles quelconques.

On cherche les pcch allant dei₀ `a tous les autres sommets du graphe.

Condition d’optimalit´e Un ensemble de valeurs λ^∗(i) pour i = 1, . . . , n, avec λ^∗(i₀) = 0, repr´esente les longueurs des pcch allant de i₀ aux autres sommets du graphe si et seulement si :

∀(i, j)∈U : λ^∗(j)≤λ^∗(i) +lij

Lorsque le graphe ne pr´esente pas de circuit, il faut d´eterminer une num´erotation des sommets allant de 1 `a n qui constitue un ordre topologique (le sommet de d´epart i₀ ayant le num´ero 1) et marquer les sommets dans cet ordre.

λ(1)←0 ; p(1)←1 ;

Pour j de 2 `a n faire λ(j) =mini∈Γ⁻(j)λ(i) +lij

p(j) =argmin_i∈Γ⁻_(j)λ(i) +l_ij Fin Pour

5.4. D´etermination de plus courts chemins d’origine fix´ee dans un graphe avec longueurs quelconques

SoitG= (X, U) un graphe dont les arcs sont munis de longueurs r´eelles quelconques. On cherche les pcch de i₀ `a tous les autres sommets du graphe.

Remarque pr´eliminaire Soit un graphe G pr´esentant sur certains arcs une valuation n´egative et, envisageons de rendre les valuations toutes positives ou nulles en ajoutant `a chaque valeur la valeur absolue maximale des valeurs n´egatives.

Ceci change la nature du probl`eme puisque, comme on le voit dans l’exemple ci-dessus, le plus court chemin allant de 1 `a 4 dans le graphe initial (de valeur 3) n’est plus optimal dans le graphe transform´e.

5.4.1. Algorithme de Ford (1956)

Dans l’algorithme de Ford, les marques λ(i) des sommets sont modifi´ees it´erativement de fa¸con

`

a converger vers la condition d’optimalit´e pr´esent´ee en section 5.3.

L’algorithme consiste alors, `a partir d’un ensemble de valeurs provisoires, `a parcourir s´ equen-tiellement la liste des arcs du graphe de fa¸con `a v´erifier que la condition d’optimalit´e est satisfaite.

Si cette condition est satisfaite pour tous les arcs (i, j), le probl`eme est r´esolu ; sinon, il existe un arc (i, j) tel que :λ(j)> λ(i) +lij et , dans ce cas, on remet `a jour la marque dej de la fa¸con suivante : λ(j)←λ(i) +lij (ce qui signifie que l’on am´eliore la marque provisoire dejen empruntant le chemin de longueurλ(i) entrei₀ etisuivi de l’arc (i, j)).

λ(i₀)←0 ;

Cet algorithme est une variante ”optimis´ee” de l’algorithme de Ford. Pour parcourir la liste des arcs du graphe, on regarde pour chaque sommet i l’ensemble de ses pr´ed´ecesseurs. Et, `a une it´eration k donn´ee, on ne va pas s’int´eresser `a tous les sommets du graphe mais seulement `a ceux dont la marque a ´et´e modifi´ee au cours de l’it´eration pr´ec´edente. L’algorithme calcule donc `a chaque it´erationkun ensemble de marques, not´eesλ^k_j pour toutj ∈X. On noteM =

n

j∈X|λ^k_j < λ^k−1_j o

, l’ensemble des sommets dont les marques ont ´et´e modifi´ees `a l’it´eration k, et seuls les sommets appartenant `a Γ⁺(M) peuvent voir leurs marques modifi´ees au cours de l’it´eration k+ 1. En fait les marques λ^k_j ont une interpr´etation tr`es pr´ecise : c’est la valeur du meilleur chemin de i<sub>0</sub> `a j ne contenant pas plus de k arcs. Ainsi, en l’absence de circuit absorbant dans le graphe, l’algorithme termine n´ecessairement `a l’issue de l’it´erationncar tout chemin ´el´ementaire a une longueur maximale

´

egale `a n−1. Si une ou plusieurs marques sont modifi´ees `a l’it´erationn, cela signifie que le graphe pr´esente un circuit de valeur n´egative (car il existe un pcch de longueur> n−1 qui emprunte donc n´ecessairement un circuit de valeur <0 !). L’algorithme de Ford-Bellman peut donc s’´ecrire comme suit :

alors∃ un circuit de valeur n´egative Fin Si

Complexit´e A chaque it´eration, on remet `a jour, dans le pire cas, les marques de tous les sommets en regardant l’ensemble des arˆetes : O(m) op´erations. Le nombre maximal d’it´erations ´etant n, la complexit´e totale est enO(nm).

5.5. Plus courts chemins entre toutes les paires de sommets : algorithme de Floyd

Soit la matriceA={a_ij} de taille n×n avec :

aij =







0 sii=j lij si (i, j)∈U +∞ sinon

L’algorithme de Floyd permet de calculer les pcch entre tous les couples de sommets de la fa¸con suivante. A la premi`ere it´eration, on cherche le pcch entre chaque couple (i, j) passant ´eventuellement par le sommet 1 ; `a l’it´eration l (avec l >1), on cherche le pcch entre chaque couple (i, j) passant par des sommets d’indice inf´erieur ou ´egal `a l. Une description formelle de l’algorithme est donn´ee ci-dessous.

Pour lde 1`a nfaire Pour ide 1 `a nfaire

Pour j de 1`a nfaire a_ij =min{a_ij, a_il+a_lj}; Fin Pour

Fin Pour Fin Pour

La complexit´e totale est enO(n³).

Chapitre 6. Arbres couvrants

6.1. Arbre et arborescence

Nombre cyclomatique Soit G un graphe de n sommets, m arˆetes et p composantes connexes.

Le nombre cyclomatique est not´e ν(G) :

ν(G) =m−n+p

arbre Les 6 d´efinitions suivantes sont ´equivalentes : Soit H= (X, U) un graphe densommets (n≥2).

(1) H connexe et sans cycle (2) H sans cycle etn−1 arˆetes (3) H connexe etn−1 arˆetes

(4) H sans cycle et en ajoutant une arˆete, on cr´ee un et un seul cycle (5) H connexe et si on supprime une arˆete, il n’est plus connexe (6) ∃une chaˆıne et une seule entre toute paire de sommets Preuve:

1⇒2 H sans cycle⇒ν(H) = 0 etH connexe⇒p= 1⇒m−n+ 1 = 0⇒m=n−1.

2⇒3 H sans cycle⇒ν(H) = 0, etm=n−1 ⇒(n−1)−n+p= 0⇒p= 1⇒H connexe.

3⇒4 H connexe ⇒p= 1, etm=n−1⇒ν(H) = (n−1)−n+ 1 = 0⇒ H est sans cycle. Si on ajoute une arˆete, on obtientH⁰ t.q.m⁰=m+ 1 =n, n⁰ =netp⁰= 1⇒ν(H⁰) =n−n+ 1 = 1⇒1 cycle.

4⇒5SiHn’est pas connexe,∃{x, y}non reli´es par une chaˆıne⇒en ajoutant l’arˆete [x, y] on ne cr´ee pas de cycle et (4) n’est pas v´erifi´e⇒Hest connexe. Si on ˆote une arˆete, on obtientH” t.q.m” =n−2 etn” =n⇒ν(H”) =m”−n” +p” = 0 (car sans cycle)⇒n−2−n+p” = 0⇒p” = 2⇒H” est non connexe.

5⇒6 H connexe ⇒ ∃ au moins une chaˆıne entre 2 sommets ; la suppression d’une arˆete rend H non connexe⇒ cette chaˆıne est unique.

6⇒1 ∃une chaˆıne entre 2 sommets ⇒ H est connexe ; elle est unique ⇒ pas de cycle.

graphes orient´es

racine: une racine est un sommetrtel qu’il existe un chemin der`a tout autre sommet du graphe degr´e int´erieur(resp.ext´erieur) : le degr´e int´erieur (resp. ext´erieur) d’un sommetxrepr´esente le nombre d’arcs d’extr´emit´e terminale (resp. initiale)x, not´es d⁻(x) etd⁺(x).

arborescence Les 4 d´efinitions suivantes sont ´equivalentes : Soit H= (X, U) un graphe densommets (n≥2).

(1) H arbre avec une raciner

(2) ∃r ∈X, reli´e `a tout x∈X par un chemin unique (3) H connexe et∃r∈X t.q. d⁻(x) = 1 pour toutx6=r

(4) H sans cycle et∃un sommet r∈X t.q. d⁻(r) = 0 et d⁻(x) = 1 pour toutx6=r.

On notera qu’une arborescence = ”arbre enracin´e” (rooted tree) = ”arbre” en informatique.

Ex : arbre g´en´ealogique, tournois, arbre des esp`eces animales, . . .

6.2. Arbre couvrant de poids minimal d’un graphe simple

6.2.1. Formulation du probl`eme

Soit G= (X, U) un graphe connexe simple den=|X|sommets et m=|E |arˆetes.

G estvalu´esi `a tout (xi, xj)∈U est associ´ee une valeur. On note vij ∈R⁺ le poids de l’arˆete.

arbre couvrant Un arbre couvrant T = (X, U_T) est un graphe partiel de G qui a la propri´et´e d’un arbre (i.e. sans cycles). On a donc|UT |=n−1.

poids de T

v(T) = X

(xi,xj)∈UT

v_ij

But : Etant donn´e

T={T |T arbre couvrant de G}

trouver

T^∗∈Ttel quev(T^∗) =mint∈Tv(T) T^∗ est appel´earbre couvrant de poids minimal (a.c.p.m.) de G.

On note que|U_T |=n₁ ⇒ on peut toujours retrouver l’hypoth`ese v_ij ∈R⁺∀(x_i, x_j)∈U.

Th´eor`eme 2 Un arbre couvrant de poids minimal (a.c.p.m.) de G contient au moins une arˆete de poids minimal de tout cocycle deG

Preuve:

Soit T^∗ un a.c.p.m. ;

Raisonnons par l’absurde : on suppose qu’il existe A ⊂ X (strictement) tel que T^∗ ne contienne aucune des arˆetes de poids minimal de ω(A).

Raisonnons par l’absurde : on suppose qu’il existe A ⊂ X (strictement) tel que T^∗ ne contienne aucune des arˆetes de poids minimal de ω(A).

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