Algorithme EM et analyse harmonique

Toujours dans la même optique, les travaux de [FS05] proposent une solution au problème d’inpainting d’images qui allie deux domaines : celui des statistiques et celui de l’analyse harmonique.

Leur solution est basée sur l’algorithme EM où le critère du maximum de vraisemblance est posé selon le formalisme des représentations parcimonieuses. L’approche est très similaire au K-SVD dans la mesure où l’algorithme alterne une phase de décomposition parcimonieuse puis une phase de mise à jour de l’ensemble des données estimées, en fonction des nouvelles données calculées. En revanche, il n’y a pas de mise à jour de dictionnaire car ils travaillent à dictionnaire fixé.

FIG. 2.15 – Exemples de résultats d’inpainting proposé par [FS05]

2.5 Conclusion

Nous avons mis en avant dans ce chapitre les différentes approches de la littérature en matière de synthèse de texture. La richesse des techniques déployées illustre à quel point il est difficile de restituer toute la complexité d’une image naturelle. Il n’est pas aisé de distinguer une méthode meilleure qu’une autre. Certaines ont une approche statistique et voient une texture comme un agencement probabiliste des pixels. L’enjeu de cette synthèse est de déterminer la probabilité de

présence d’un pixel pour reproduire la texture. D’autres approches ont une vision plus particulaire

de la texture : celles-ci cherchent à former un tout par un agencement pixel à pixel. Enfin, d’autres méthodes abordent la synthèse de texture sous un aspect ondulatoire. Le signal image peut se modéliser comme une combinaison judicieuse de formes d’ondes, qu’il reste, bien sûr, à définir. Les travaux de cette thèse se sont orientés vers cette dernière approche qui vise à percevoir une texture comme la réunion de signaux élémentaires. Nous aborderons dans le chapitre suivant la description des représentations parcimonieuses qui permettent notamment de faire une analyse harmonique d’un signal texturé.

Chapitre 3

Représentations parcimonieuses : état

de l’art

La prodigalité conduit à l’arrogance, et la parcimonie à l’avarice. L’arrogance est pire que l’avarice. Confucius

Dans le chapitre 1, nous avons souligné l’enjeu de la décorrélation du signal dans le domaine transformé. Nous allons voir dans ce chapitre que les représentations dites parcimonieuses s’inscrivent tout naturellement dans cette problématique. Le succès de telles représentations repose sur deux points fondamentaux. Le premier est leur habilité à extraire d’un groupe d’informations ou d’un ensemble de signaux, les structures significatives de ce signal. Le deuxième point est de réussir à générer une version compactée du signal d’origine. La technique consiste à puiser dans un vaste ensemble de signaux élémentaires, appelés atomes (terminologie introduite par Mallat et Zhang [MZ93]), les éléments qui linéairement combinés entre eux, formeront la représentation parcimonieuse du signal. Les atomes sont choisis au sein d’un ensembleredondant de fonctions que l’on nomme habituellement dictionnaire.

Les représentations parcimonieuses se sont révélées être une technique particulièrement performante en pratique. La recherche d’approximations parcimonieuses du signal s’est révélée fort utile dans les domaines de la compression, du débruitage, de la séparation de sources ou encore dans le domaine de l’analyse en composantes indépendantes.

3.1 Introduction à la parcimonie

Comme nous l’avons précédemment évoqué, la recherche de la parcimonie est utile à de nombreux domaines à des fins d’analyse, de modélisation ou encore d’identification. En effet, il est souvent pratique dans le domaine du traitement du signal de représenter l’information dans un autre espace plus propice à l’analyse ou aux manipulations diverses. Classiquement, les signaux sont décomposés dans une base de l’espace sur laquelle la décomposition est unique.

De manière plus générale, on définit un vecteur comme étant parcimonieux si la majorité de ses coefficients sont nuls. Ou plus exactement, qu’un ensemble de signaux de dimensionndeRⁿ

estk-parcimonieux dans une base orthogonale de dimensionn >> k, si on peut représenter avec une bonne approximation, un quelconque de ces signaux, à l’aide d’environkcomposantes de cette base. La figure 3.1 est une illustration schématique pour présenter quelques définitions : celle d’un signal compressé, et comparativement, celle d’un signal parcimonieux. Notons bien que pour un

52 Représentations parcimonieuses : état de l’art

signal compressé ou un signal parcimonieux, on peut obtenir des vecteurs de même dimension k, mais ils n’auront pas la même représentativité du signal.

On cherchera à construire la représentation parcimonieuse d’un signal à partir de fonctions définies dans un espace redondant, la décomposition la plus parcimonieuse. Cela permet d’obtenir une décomposition originale d’un signal sur un dictionnaire, faisant intervenir le moins d’éléments possibles.

Les représentations parcimonieuses offrent ainsi un degré de liberté supérieur aux transformations usuelles grâce à cette flexibilité inhérente à l’usage du dictionnaire et plus précisément à la grandevariété des atomes qui le composent.

Notons bien que les représentations parcimonieuses n’offrent qu’une représentation

approximative du signal, à la différence des transformations usuelles réversibles. L’enjeu reste

néanmoins l’obtention de la solution la plus parcimonieuse, parmi celles ayant la même erreur de reconstruction, quel que soit le contexte de travail. En effet, la convergence vers la dite solution optimale peut s’avérer complexe dans le cas de signaux bruités. Cette problématique a fait l’objet d’études approfondies [Fuc04, DET06, Tro03], notamment dans le cadre de la détection de signal.

FIG. 3.1 – Modélisation de la parcimonie

3.2 Problème à résoudre