Chapitre 4 : Définition et propriétés des scénarios avec la logique linéaire
V.2 Marquages initiaux et marquages finaux partiellement connus
V.2.4 Algorithme de filtrage des scénarios minimaux
La définition du scénario minimal n’étant pas constructive, pour la construction des scénarios minimaux l’idée est donc de construire les différents scénarios possibles et d’éliminer ensuite les scénarios non minimaux. L’algorithme de filtrage des scénarios minimaux se base sur la définition donnée du scénario minimal (définition IV.16) en comparant chaque scénario avec les autres scénarios construits correspondant à la même coupe minimale.
Algorithme :
Soit Ci une coupe minimale associée à un état redouté.
Soit SCi ={sc1, sc2, …scm} l’ensemble des scénarios associé à la
coupe Ci
Pour j allant de 1 à m
Sc= SCi[j] (avec sci = (li, <sci) Pour k allant de j+1 à m
Si lk est inclus dans li
Si M0k est inclus dans M0i
Si Contj−(Conti∩Contj)⊗(M0i−M0j)⊗Mb, (li−lj)• Conti−(Conti∩Contj)⊗Mb
est prouvable
si le graphe de précédence associé a la restriction du scénario j au élément de k est identique à celui de k. - Supprimer le scénario scj. sinon Sinon sinon sinon K++ J++
VI Complétude
La définition de la complétude des scénarios est liée à la minimalité. Tout comme pour la minimalité on distingue deux cas: le cas où les marquages initial et final sont complètement connus et le cas où le marquage initial et final ne sont que partiellement connus. Dans le premier cas, la définition est assez triviale, par contre quand le contexte (marquages) n’est que partiellement connu (dans le cas de la recherche de scénarios redoutés), la définition est donnée pour un marquage initial minimal et un marquage final minimal. Le deuxième cas sera traité dans le chapitre 5 une fois l’approche de recherche de scénarios redoutés présentée.
Un ensemble de scénarios est complet entre deux marquages s’il contient tous les scénarios suffisants permettant de passer du marquage initial au marquage final. On peut distinguer deux formes d’ensemble de scénarios complets ; un ensemble de scénarios complet et un ensemble de scénarios complet et minimal. Dans le deuxième cas, l’ensemble doit contenir tous les scénarios minimaux et uniquement les scénarios minimaux.
Complétude (marquages initial et final connus)
Dans un premier temps nous donnons la définition d’un ensemble de scénarios complet dans le cas trivial où les marquages initial et final sont complètement connus.
Définition II.18 (ensemble complet de scénarios): soit le réseau de Petri P = (P, T, Pre, Post), les
marquages initial et final M0 et Mf .
Soit SC= {sc1, sc2,…, scn} un ensemble de scénarios suffisants entre les marquages Mf et M0.
L’ensemble SC est complet entre les marquages M0 et Mf si et seulement s’il n’existe pas de
scenario sci minimal entre les marquages Mf et M0 tel que sci∉ SC.
La définition implique que tous les scénarios minimaux appartiennent à l’ensemble SC.
Exemple :
Dans l’exemple de la figure IV.25 entre les marquages M0=P1 et Mf =P4, l’ensemble de scénarios
SC= {sc1, sc2, sc3, sc4} est complet entre ces deux marquages (M0=P1 et Mf =P4) avec : sc1: P1, a,c├P4 sc2: P1, b,d├P4 sc3: P1, a,e├P4 sc4: P1, a,f,a,c├P4 a P1 b P2 P3 d c f e P4
Figure IV.25. Exemple d’illustration d’un ensemble de scénarios complet.
Définition IV.19 (ensemble complet et minimal de scénarios): soit le réseau de Petri P = (P, T, Pre,
Post), les marquages initial et final M0 et Mf .
Soit SC= {sc1, sc2,…, scn} un ensemble de scénarios suffisants entre les marquages Mf et M0.
Tout scénario de SC est minimal entre les marquages Mf et M0.
Il n’existe pas de scénario sci minimal entre les marquages Mf et M0, tel que sci∉SC
L’ensemble de scénarios est complet et minimal s’il contient tous les scénarios minimaux et uniquement les scénarios minimaux.
Dans l’exemple de la figure IV.25, l’ensemble de scénarios SC={ sc1, sc2, sc3} est complet et
minimal entre ces deux marquages (M0=P1 et Mf =P4), par contre l’ensemble SC’ ={sc1, sc2, sc3, sc4}
est complet mais non minimal. En effet, le scénario sc4 n’est pas minimal.
VII
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté la notion de minimalité des scénarios critiques (qui mènent vers un état redouté) générés à partir d’un modèle réseau de Petri. En effet, un scénario peut mener vers un état redouté sans qu’il soit minimal (il contient les événements qui ne sont pas strictement nécessaires pour atteindre l'état redouté final). La nouvelle représentation du réseau de Petri avec des formules de logique linéaire nous permet de définir formellement la notion de scénario minimal dans le cas d’un réseau de Petri ordinaire et dans le cas des réseaux de Petri temporels.
Pour obtenir le scénario minimal, nous devons considérer trois aspects : (i) les relations d'ordre entre les événements doivent être présentes dans le modèle réseau de Petri et générées par les contraintes temporelles qui lui sont associées (causalité présente dans le système), (ii) la liste d'événements du scénario doit être minimale (sans événements de boucle du système) (iii) le marquage final correspondant à l'état redouté doit être minimal.
Nous avons donc proposé une définition d’un marquage final minimal associé à l’état redouté. Ce marquage minimal se base sur la notion de coupe minimale et conduit à la définition due scénario minimal.
A partir de la définition de la minimalité nous avons proposé une définition pour la complétude dans le cas trivial où les marquages initial et final sont complètement connus mais aussi dans le cas où ils ne sont que partiellement connus.
Comme nous allons le voir dans le chapitre suivant qui sera consacré à l’approche de génération de scénarios redoutés, la minimalité est prise en compte grâce à l’algorithme que nous avons établi. L’approche permet ainsi de générer uniquement les scénarios redoutés minimaux qui contribuent à une bonne compréhension des conséquences qualitatives des choix de conception. De plus, l’évaluation quantitative de la sûreté de fonctionnement doit, elle aussi, reposer sur des scénarios minimaux si l’on veut être efficace. Une définition de la complétude dans le cas des marquages minimaux, sera présentée.