2.2. Identification des paramètres du modèle
2.2.2. Algorithme d’identification
L’algorithme d’identification se base sur la méthode du modèle7. En effet, cette ap- proche consiste à utiliser l’entrée expérimentale (le courant mesuré) pour simuler le système. La sortie simulée (la tension aux bornes de la lampe) est ensuite comparée avec la forme d’onde expérimentale. Les paramètres sont ajustés afin de minimiser l’écart entre les deux formes d’onde.
2.2.2.1. Outil d’identification
Le détail du fonctionnement de cet algorithme peut être trouvé en [2.7]. Nous allons décrire ici, de manière succincte, la méthode du modèle employée.
7 Un modèle, au sens de la simulation, a pour but d’établir une relation entre des variables
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a. Méthode du modèlePour notre cas concret, initialement le système est simulé, en utilisant les équations d’état et les paramètres initiaux, présentés précédemment. La sortie du système, qui est dans notre cas, la tension simulée de la lampe, est comparée à la tension réelle (mesurée). Si l’erreur entre les deux courbes est supérieure à une limite fixée, nous devons changer les paramètres, et simuler le système à nouveau, jusqu’à trouver une différence acceptable. Ce processus est effectué de manière itérative, jusqu’à retrou- ver le bon jeu des paramètres ou jusqu’à une certaine limite dans le nombre d’itérations. Simulation du modèle Erreur acceptable ou nombre maximum d’itérations ? Générer nouveau jeu de paramètres NON Estimation de l’erreur
Tous les paramètres estimés ?
Jeu initial de paramètres
Cdiel , Cgaz , K1 , K2 , K3 , Vth , ΔV Résultats OUI Choix manuel des paramètres NON OUI
Figure 2.9 Algorithme itératif utilisé pour l’identification de paramètres du modèle de la lampe DBD
b. Calcul de l’erreur
Pour avoir une précision sur le processus d’identification, une estimation de l’erreur semble nécessaire. Cette erreur est la différence quadratique entre la simulation et la mesure, comme le montre l’équation (2. 9).
f
p
M
M
S
erreur
2 2 (2. 9)Cette erreur est la somme sur tous les points de l’échantillonnage, de la différence entre la simulation S et la mesure M, et elle peut être définie comme une fonction f qui dépend du jeu des paramètres
p
. Cette vision transforme le problème d’identification, en un problème de minimisation d’une fonction. La variation des paramètres peut se faire de plusieurs façons ; l’outil d’identification employé dans cette thèse utilise lesModélisation et conception d’une alimentation DBD
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deux approches euristiques les plus courantes : la méthode du gradient et la méthode de Levenberg-Marquardt. Ces méthodes ne garantissent pas la convergence au mini- mum global, raison pour laquelle il est important de bien estimer la valeur initiale des paramètres. Cependant, si la fonction n’est pas dérivable, on peut être contraint d’utiliser des méthodes qui n’utilisent pas les gradients, comme celle de Hooke Jeeves.
c. Variation des paramètres avec la méthode du gradient
La méthode du gradient permet de changer la valeur de chaque paramètre, entre deux pas du cycle itératif, en utilisant la valeur du gradient de l’erreur, comme le montre l’équation (2. 10) ou, sous une autre forme, l’expression (2. 11).
1 1 1 k i k i k i k i k i k i p p p f p f a p p (2. 10) k i k
i i p a f p p 1 (2. 11)o i est l’index d’un paramètre,
o k est le pas qui vient d’être simulé et k+1 et le pas suivant ;
o la variable a peut être changée, pendant le processus de minimisation, afin d’influencer plus ou moins le poids du gradient dans la variation des paramètres. Le gradient de l’erreur est calculé par rapport à chaque paramètre, entre la simulation à l’itération
k
, et celle de l’itération k-1. Pour un modèle constitué de fonctions déri- vables, il est possible de calculer analytiquement ce gradient.d. Variation des paramètres avec la méthode de Levenberg-Marquardt
Une autre méthode pour changer les paramètres est celle de Newton (2. 11), qui, au lieu de faire l’incrément (ou décrément) du paramètre en utilisant la valeur du gradient, utilise la valeur inverse du Hessien (le Hessien H est la dérivée seconde de l’erreur par rapport à chacun des paramètres) comme le montre l’équation (2. 12) .
k i k i
i ip
H
f
p
p
1 1 (2. 12)Malheureusement cette méthode ne converge que si elle est au voisinage d’une solu- tion, ce qui fait qu’elle est peu utilisée telle quelle. La méthode de Levenberg-Maquard pondère l’influence du Hessien par un poids b qui permet de passer d’une méthode à l’autre. En effet on a, avec I la matrice identité, on obtient l’équation (2. 13) [2.4]:
k i k
i i
i ip
H
b
f
p
p
1 1 (2. 13)Modélisation et conception d’une alimentation DBD
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Avec :
I
la matrice identité ;b un coefficient qui permet de pondérer les deux méthodes, donnant plus de poids à la méthode de Newton ou à celle du gradient.
2.2.2.2.
Procédure itérative
Dans notre cas particulier, l’algorithme de la Figure 2.9 assure l’identification des pa- ramètres.
Les valeurs initiales des paramètres sont présentées dans la première ligne du Ta- bleau 5.
Cet algorithme d’identification, est appliqué initialement à une expérience où la lampe est alimentée par une source de tension sinusoïdale à 100kHz ; ensuite, les résultats obtenus servent à réinitialiser le processus, pour une expérience où la lampe est ali- mentée par une source de tension impulsionnelle à 145kHz et rapport cyclique de
60%. Les résultats sont réinjectés dans l’algorithme jusqu’à ce que les paramètres
convergent à la même valeur pour les deux expériences.
Tableau 5 Résultats du processus d’identification
Vth (V) ΔV (V) (Ω·sK1-1 ) (sK-12 ) (VK-1·s3 -1) (pF) C1 (pF) C2 Valeurs initiales 1500 20 130 2,7 x 106 1835 39,81 13,07 Première identification 1270 2,9 1,79 x 103 2,7 x 106 295 35,07 11,39 Après variation de Vth 1800 2,9 2,5 x 103 1,5 x 106 6,95 40,03 13,87 Résultat définitif 1800 2,9 2 x 104 1 x 106 100 40,03 13,87
Le Tableau 5 regroupe l’ensemble des résultats obtenus avant et après identification. La deuxième ligne de ce tableau montre les paramètres identifiés lors de la première itération et la quatrième ligne les résultats définitifs après plusieurs itérations. La Figure 2.10 montre l’écart entre les courbes issues des simulations (bleu et rouge) et la courbe expérimentale (noir). Le graphique en bleu représente le tracé avec les para- mètres issus du processus identification et en rouge les paramètres initiaux (issus du calcul).
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Figure 2.10 Résultats issus de la première phase d’identification (courbe Id.1), compa- raison avec les valeurs initiales des paramètres (courbe en pointillé) et la courbe expé- rimentale
Remarque :
Bien que l’erreur entre la courbe de tension expérimentale et la simulation ait été mini- misée, les points d’inflexion (que nous attribuons au phénomène de claquage) ne cor- respondent pas. C’est pourquoi une incrémentation manuelle de la valeur de
V
tha étéeffectuée, ensuite elle a été figée (Vth) avant de relancer l’algorithme d’identification.
Les résultats obtenus sont affichés dans la troisième ligne du tableau d’identification. Il est important de remarquer que les valeurs trouvées pour les capacités sont en accord avec la capacité équivalente de la lampe, quand il n’y a pas de claquage dans le gaz. La comparaison des courbes simulé et expérimentale montre une bonne concordance. L’augmentation de
K
1agit sur le résultat notamment le temps d’ionisation (10ns, valeur proposée dans la littérature [2.7]).Finalement, seules les constantes
K
2etK
3sont déclarées modifiables (les autres pa- ramètres sont figés dans l’outil d’identification) et le programme d’identification est re- lancé. Nous obtenons alors les résultats définitifs d’identification, présentés à la der- nière ligne du tableau d’identification.Les différences entre les simulations et les courbes expérimentales, pour des alimenta- tions en tension sinusoïdale et en tension pulsée, sont présentées à la Figure 2.11.
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Figure 2.11 Résultats définitifs de la phase d’identification