Algorithme AMR sur maillage cart´esien

a l’actif d’A. Mekkas.

7.3.1 Pourquoi un algorithme AMR ?

Lorsque le pas en espace du maillage est trop petit par rapport aux ´echelles de grandeur des bulles, il peut apparaˆıtre des ph´enom`enes de fragmentation ou de coalescence artificielle. Les figures 2-3 montrent l’apparition de ce ph´enom`ene de fragmentation artificielle pour les cas-tests 2D et 3D de Kothe & Rider [88]. Ce cas-test consiste `a d´eformer une interface Σ(t) initialement circulaire (cas 2D) ou sph´erique (cas 3D) en imposant un champ de vitesse u(t, x) ´egal `a∇ × Ψ(t, x) o`u Ψ(t, x) est une donn´ee p´eriodique en temps. La d´eformation de Σ(t) est donc lin´eaire et r´eversible. On doit alors retrouver la condition initiale au temps t = t5(t5est ´egal `aT /2 o`u T est la p´eriode de Ψ(t, x)). Le cas-test 2D (cf. Figure 2) est obtenu sur un maillage cart´esien de 100× 100 ; le cas-test 3D (cf. Figure 3) est obtenu sur un maillage cart´esien de 101× 101 × 101. On notera que les figures 2-3 montrent n´eanmoins la grande robustesse du sch´ema anti-dissipatif de Despr´es & Lagouti`ere : en effet, la structure au temps t = t5 est proche d’une structure connexe bien qu’aux temps t = t2et t = t3, la perte de connexit´e soit importante.

Pour supprimer la fragmentation artificielle (ou la coalescence artificielle dont un exemple est donn´e plus loin au§7.3.4sur la Figure 7), on peut augmenter le nombre de mailles c’est `a dire diminuer le pas en espace du maillage sur l’ensemble du domaine Ω. Dans ce cas, le coˆut en temps de calcul, en place m´emoire et en stockage du calcul augmente. Sachant qu’il n’est peut-ˆetre pas utile de mailler finement l’ensemble du domaine Ω, on peut aussi tenter de ne mailler finement qu’une partie du domaine Ω via l’utilisation d’un crit`ere ad hoc (donn´e par exemple par la physique), le reste du domaine Ω ´etant maill´e plus ou moins grossi`erement. Un algorithme de type AMR – pour lequel le maillage ´evolue dynamiquement – entre dans ce cadre l`a. Nous nous proposons donc de coupler ce type d’algorithme `a la r´esolution num´erique du mod`ele ABV (7.1) pour lequel l’interface Σ(t) des bulles est transport´ee via le sch´ema anti-dissipatif de Despr´es & Lagouti`ere. Apr`es avoir rapidement introduit au§7.3.2les deux classes possibles d’algorithme de type AMR sur maillage cart´esien, nous montrerons au §7.3.3 les r´esultats obtenus dans le cas du transport lin´eaire. Puis, nous montrerons au §7.3.4 les r´esultats obtenus en 2D dans le cas du mod`ele ABV (7.1).

7.3.2 Algorithme AMR sur maillage cart´esien

Le rˆole d’un algorithme AMR est de cr´eer et de g´erer une structure hi´erarchis´ee de groupes de mailles emboˆıt´es les uns dans les autres. Cette structure est hi´erarchis´ee au sens o`u l’ensemble de ces groupes de mailles est class´e selon des niveaux de raffinement en espace. Plus pr´ecis´emment, en fonction d’un crit`ere de raffinement ad hoc, une partie d’un groupe de mailles de niveau de raffinement donn´e sera ´eventuellement raffin´ee pour ainsi donner naissance `a un nouveau groupe de mailles de niveau de raffinement plus ´elev´e. Ce crit`ere de raffinement peut ˆetre physique (c’est `a dire bas´e sur des raisonnements qualitatifs) ou math´ematique (au sens o`u des estimations d’erreur a posteriori sont disponibles pour le sch´ema num´erique consid´er´e). Il existe deux grandes classes d’algorithme AMR sur maillage cart´esien :

5On rappelle que le mod`ele ABV (7.1) poss`ede une structure math´ematique proche de celle de l’approximation potentielle (6.43)(6.44) du syst`eme DLMN.

7.3. R ´ESOLUTION NUM ´ERIQUE SUR MAILLAGE CART ´ESIEN AVEC AMR 91

t = 0 t = t1 t = t2

t = t3 t = t4 t = t5

Figure 2

Cas-test de Kothe & Rider 2D sans AMR. Apparition de la fragmentation artificielle

t = 0 t = t1 t = t2

t = t3 t = t4 t = t5

Figure 3

Cas-test de Kothe & Rider 3D sans AMR. Apparition de la fragmentation artificielle

– l’algorithme AMR dont la structure de donn´ees est g´er´ee via un arbre. Pour ce type d’algorithme AMR – dit de type tree-based –, chaque maille raffin´ee est issue d’une maille “m`ere” qui a donn´e “naissance” `a, par exemple, quatre (ou huit) mailles en 2D (ou 3D). Dans ce cas, on parle de quad-tree (ou d’oct-tree). Cet algorithme est historiquement le premier algorithme de type AMR. La Figure 4 d´ecrit une structure de donn´ees de type tree-based constitu´ee de quatre niveaux de raffi-nement. On pourra par exemple consulter [78,86] pour un exemple d’application de cet algorithme dans le cas du syst`eme de Navier-Stokes incompressible ;

– l’algorithme AMR dont la structure de donn´ees est g´er´ee via des groupes de mailles s’apparentant localement, pour un niveau de raffinement donn´e, `a des maillages cart´esiens rectangulaires dit patch. Cet algorithme est dit de type patch-based. La Figure 4 d´ecrit ´egalement une structure de donn´ees de type patch-based constitu´ee de 2 niveaux de raffinement, chacun de ces niveaux ´etant ici constitu´es de 2 patchs. Contrairement `a l’algorithme AMR de type tree-based, cet algorithme ne raffine pas maille par maille mais raffine un groupe de mailles pour donner naissance `a un ensemble de patchs. L’algorithme de cr´eation des patchs a ´et´e propos´e par Berger & Rigoutsos [8]. On pourra consulter [76] pour une application de cet algorithme AMR dans le cas du syst`eme de Navier-Stokes incompressible.

L’algorithme AMR de type tree-based nous semblant plus d´elicat `a g´erer au niveau informatique qu’un algorithme de type patch-based, nous nous sommes orient´es vers ce dernier. En effet, le maillage cart´esien raffin´e est structur´e dans chacun des patchs de l’algorithme AMR de type patch-based alors que ce n’est pas le cas pour l’algorithme de type tree-based dont le maillage raffin´e est non-structur´e (cf. Figure 4). En cons´equence, si un algorithme AMR de type tree-based optimise sans doute beaucoup mieux le nombre de mailles raffin´ees qu’un algorithme AMR de type patch-based pour un crit`ere de raffinement donn´e, il est sans doute techniquement plus simple de parall´eliser un algorithme AMR de type patch-based puisque le regroupement des mailles raffin´ees en patchs incite `a traiter sur un processeur donn´e un ou plusieurs de ces patchs6; par contre, le regroupement des mailles dans un algorithme de type tree-based en groupe de mailles `a traiter sur un processeur donn´e reste `a faire au niveau informatique7.

Les tests num´eriques pr´esent´es plus loin n’ont ´et´e r´ealis´es qu’avec un seul niveau de raffinement. D’autre part, le crit`ere de raffinement choisi utilise la norme du gradient de Y (t, x) pour localiser les zones `a raffiner : la zone raffin´ee se situe donc au niveau de l’interface Σ(t) des bulles. Dans la suite, on appellera maillage ´equivalent le maillage sans AMR pour lequel le pas en espace correspond au pas du maillage le plus fin de la structure AMR.

AMR bas´e sur des arbres AMR bas´e sur des “patchs”

(tree-based) (patch-based)

Figure 4

Structures AMR possibles

6Le probl`eme de la r´epartition de la charge de calcul pour un algorithme de type patch-based est cependant pos´e.

7Le probl`eme de la r´epartition de la charge de calcul pour un algorithme de type tree-based est g´er´e en utilisant des outils issus de la th´eorie des graphes.

7.3. R ´ESOLUTION NUM ´ERIQUE SUR MAILLAGE CART ´ESIEN AVEC AMR 93