Généralisations : les 16 opérateurs binaires
Généralisation : les 16 opérateurs binaires
Quand on fait la table de vérité d’une opération binaire, on obtient un résultat qu’on peut lire comme un nombre binaire à 4 chiffres : P et Q = 0 0 0 1.
Valeur de vérité
p q p et q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Il y a donc autant de résultats possibles que de codages possibles sur 4 chiffres binaires = 24 = 16
On peut donc faire le tableau des résultats pour les 16 cas possibles, qu’on numérote de 0 à 15 et qui corresponde au chiffre binaire de la colonne lue de bas en haut. Ainsi la colonne n°7 correspond au chiffre binaire 0111.
p q et ou ó
p q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Le cas 2 correspond au « et » : p op2 q <=> p et q Le cas 8 correspond au « ou » : p op8 q <=> p ou q Le cas 10 correspond au « <=> » : p op10 q <=> (p <=> q)
Cela nous montre qu’il y a 13 autres opérateurs que les 3 premiers que nous avons présentés.
Certains ont un usage courant, d’autres sont plus anecdotiques.
Autres opérateurs courant : xor, nand, nor, => L’un ou l’autre mais pas les deux.
Opérateur n°6.
Langage naturel
p ou q veut dire l’un ou l’autre mais pas les deux comme quand on propose « dessert ou café » mais pas les 2.
Approche ensembliste
Si P ou Q sont des ensembles (les animaux marins et les mammifères), l’un ou l’autre mais pas les deux veut dire l’union des deux ensembles sans leur intersection : les animaux marins non mammifères et les mammifères non marins, comme par exemple les les lions et les thons mais pas les dauphins. A noter que dans ce cas, on écrit plutôt P et Q en majuscules car ce sont des ensembles.
Ø Définition avec des éléments P ∪ Q = { x / x ∈ P ou x ∈ Q
)
Le nand : p nand q : négation du et
C’est la négation du et. Pas de signification claire.
Utilité
Le nand est opérateur qui peut être pratique pour certains circuits électroniques.
Le nor : p nor q : négation du or
C’est la négation du ou. Pas de signification claire.
Utilité
Le nor est opérateur qui peut être pratique pour certains circuits électroniques.
variables expression
L’implication : p => q
Il pleut donc le sol est mouillé.
p = il pleut
q = le sol est mouillé p => q
On peut aussi dire : si il pleut alors le sol est mouillé.
Condition suffisante et condition nécessaire Pour qu’il y ait implication, il faut :
• que l’antécédent soit une condition suffisante du conséquent
• que le conséquent soit une condition nécessaire de l’antécédent.
C’est ce critère qui permet de savoir qui est l’antécédent et qui est le conséquent : pour que p il suffit que q.
Ø Exemple
Il pleut donc le sol est mouillé.
La pluie est une condition suffisante d’un sol mouillée. Il suffit qu’il pleuve pour que le sol soit mouillé.
Le sol mouillé est une condition nécessaire de la pluie. Il faut (nécessité) que le sol soit mouillé pour dire qu’il pleuve. C’est nécessaire mais pas suffisant : si on a que cette information (le sol mouillé), il ne pleut pas forcément. A noter que le sol veut dire sol à l’air libre.
2 Propriétés fondamentales de l’implication
Signification de la propriété 1 : P => Q <=> non (P et nonQ) P => Q <=> on ne peut pas avoir P sans Q : non (p et non q).
P => Q <=> non (P et nonQ) Ø Par exemple :
Il pleut donc le sol est mouillé. p = il pleut. q = le sol est mouillé.
p => q <=> non (p et non q)
Ce qu’on peut traduire par : on ne peut pas avoir de la pluie sans que le sol soit mouillé.
Signification de la propriété 2 : la contraposée : P=>Q <=> nonQ => nonP Ø Par exemple :
Il pleut donc le sol est mouillé. p = il pleut. q = le sol est mouillé.
p => q <=> non q => non p
Le sol n’est pas mouillé donc il ne pleut pas.
Propriété secondaire : P => P P => P est toujours vrai.
On peut le démontrer avec une table de vérité ou en utilisant la propriété 1.
Bizarrerie : du faux, on peut tout déduire
A partir d’une proposition fausse, on peut tout déduire, du faux et du vrai.
Autrement dit : « la lune est un gruyère implique que les poules ont des dents » est vrai ! C’est étrange, mais on le comprend aisément si on sait que :
non (A et B) ó nonA ou nonB (lois de Morgan : cf suite du cours) Donc P=>Q ó non (P et nonQ) ó nonP ou Q
Donc, si nonP est vrai alors nonP ou Q est vrai et donc P=>Q est vrai.
Donc si P est faut, P => Q est vrai
Exercices sur l’implication Implication et proposition
1. L’énonce « s’il pleut alors il ne pleut pas » est-il une proposition ? Si oui, quelle est sa valeur de vérité ?
2. Doit-on dire : « Le temps est sec donc il ne pleut pas » ou « Il ne pleut pas donc le temps est sec » ? Traduisez en propositions symbolique les énoncés et justifier votre réponse. Donnez aussi la contraposé.
3. Traduisez en propositions et implications les phrases suivantes. Dans chaque cas, donnez aussi la contraposé
• Le cours a lieu si le professeur est arrivé.
• Je cours beaucoup donc je suis fatigué
• Si l’accusé est coupable il n’a pas d’alibi.
• Pour que les étudiants réussissent, il faut qu’ils étudient.
4. Dans les deux derniers cas, faites le tableau de vérité et interpréter tous les cas.
Traduire en langage symbolique les expressions suivantes Si on a une implication, donner la contraposée.
Donner la formulation en français de la traduction symbolique.
Donner la formulation en français de la contraposée, s’il y a lieu.
1. Le monde n’a ni commencement ni fin.
2. Un quadrilatère est un carré seulement si c’est un losange.
3. Pour que cette enveloppe soit ouverte il faut que Jean ait été informé à moins que Pierre ait oublié de la coller.
4. On ne devient pas un musicien accompli sans apprendre à lire les notes et à jouer d’un instrument.
5. Si le règlement est très strict mais est le même pour tout le monde alors les étudiants ont tort de le contester.
3. Sachant que P, Q, R, S sont des propositions, écrire à la négation de la proposition suivante sous la forme d’une disjonction de propositions atomiques ou de conjonctions.
• (P et Q) ⇒ (R ⇒ S)
4. Démontrer avec une table de vérité l’équivalence entre implication et disjonction.
5. Faire la table de vérité des expressions suivantes
• !p => (p ou q)
• p ou !q => !p ou r
6. Ecrire la négation de la proposition suivante
• 1. P⇒Q
(Exercice 8 de exo7.emath.fr).
7. La proposition suivante est-elle vraie ?
• P ∧ Q ⇒ (¬P) ∨ Q
(Exercice 19 de exo7.emath.fr) Exercices de FND
Pour chaque expression :
• Donnez la FND-TD à partir de la table de vérité
• Trouvez une FND par la méthode 1.
• Transformez la FND en FNT-TD 1. a =>b
2. !( (p=>q)=>r ) 3. (q ou r) => (r=> !q) 4. a xor b
Tous les autres opérateurs Présentation
p q -T et -=> Ag -<= Ad xor ou nor ó -Ag <= -Ad => nand T
p q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Symbole numéro Explications
p T q Op 15 opérateur de Tautologie. Rend l’expression vraie pour tous les cas.
p -T q Op 0 négation de l’opérateur de Tautologie. –(p T q). Rend l’opération fausse pour tous les cas.
p <= q Op 11 Implication inverse : q=>p
p -<= q Op 4 Négation de l’implication inverse : -(q=>p) p -=> q Op 2 Négation de l’implication : -(p=>q)
p Ag q Op 3 Opérateur absorbant à gauche. Son résultat est l’opérande de gauche.
p Ap q <=> p
p -Ag q Op 12 Négation de l’opérateur absorbant : -(p Ag q)
p Ad q Op 5 Opérateur absorbant à droite. Son résultat est l’opérande de gauche.
p Ad q <=> q
p -Ad q Op 12 Négation de l’opérateur absorbant : -(p Ad q)
Usages
Ces opérateurs ont peu d’utilité !