2.3 Algèbres de Lie simples
2.3.2 Algèbres de Lie simple et systèmes de racines
Le résultat est obtenu en prenant une combinaison linéaire des équations du système (2.39).
Remarque 7. Il ne faut pas confondre le terme de droite de (2.38) avec le crochet de Poisson entre F et G, les différentielles de ces deux fonctions n’étant pas prises au même point.
2.3.2 Algèbres de Lie simple et systèmes de racines
Définitions et propriétés
Définition 2.33. Une algèbre de Lie g est dite simple, si dim g > 1 et si g est l’unique idéal non réduit à {0} de g.
Il nous faudra en général choisir une sous-algèbre de Cartan, objet dont on rappelle la définition.
Définition 2.34. Soit g une algèbre de Lie simple. Une sous-algèbre de Cartan de g est un sous-espace h de g, qui est commutative (c’est-à-dire [h, h] = 0) et maximale (c’est-à-dire le normalisateur de h est h).
Théorème 2.35. Chaque algèbre de Lie simple admet une sous-algèbre de Cartan. De plus, deux sous-algèbres de Cartan de g sont conjuguées.
Exemple 2.36. Soit g = sln(C), la sous-algèbre de Lie h formée par les matrices diagonales de trace nulle est une sous-algèbre de Cartan de g.
Soit g une algèbre de Lie simple et h une sous-algèbre de Cartan de g. Considèrons l’ap- plication ad : h → End(g), définie, pour tout x ∈ h, par :
adx : g → g
y 7→ [x, y]. (2.40)
Les endomorphismes {adx | x ∈ h} commutent deux à deux, et sont donc simultanément
diagonalisables. L’algèbre de Lie simple g admet une décomposition en espaces propres comme suit
g= h ⊕ M
α∈h∗
gα, (2.41)
où gα est l’espace des éléments eα qui satisfont à l’équation
adx(eα) = hα, xi eα, ∀x ∈ h. (2.42)
Si gα6= 0, on dit que α est une racine de g (associée à h). L’ensemble des racines de g (associé
à h) est appelé le système de racines de g (associé à h), il est noté Φ. Si α une racine de g alors −α est aussi une racine de g. On peut réécrire l’équation (2.41) sous la forme
g= h ⊕M
α∈Φ
gα, (2.43)
Exemple 2.37. Soient g = sln(C) et h la sous-algèbre de Cartan donnée dans l’exemple 2.36. Dans ce cas, la décomposition (2.43) est donnée sous la forme suivante :
g= h ⊕M
i6=j
CEij,
où (Eij, 1 ≤ i, j ≤ n) est la base canonique de gln(C). En effet, tout élément D ∈ h s’écrit
D = d1 0 · · · 0 0 . .. ... ... .. . . .. ... 0 0 · · · 0 dn ,
où d1 + · · · + dn = 0. On vérifie aisement que [D, Eij] = (di− dj)Eij. Définissons λi ∈ h∗
par λi(D) := di. Alors l’ensemble de racines de g est Φ = {λi − λj | 1 ≤ i 6= j ≤ n} et
gλi−λj = hEiji, pour tous 1 ≤ i 6= j ≤ n.
Définition 2.38. Soient g une algèbre de Lie simple, h une sous-algèbre de Cartan de g et Φ le système de racines de g associé à h.
(1) Une partie Π de Φ est appelée une base de Φ, si (a) Π est une base de h∗;
(b) Toute racine β de Φ s’écrit comme combinaison linéaire d’éléments de Π à coeffi- cients entiers lesquels sont tous positifs ou bien tous négatifs.
La base Π est appelée un système de racines simples de Φ et les éléments de Π sont dites les racines simples de g.
(2) Le sous-ensemble de Φ formé par les éléments qui s’écrivent comme combinaison linéaire à coefficients entiers positifs (resp. négatifs) des racines simples est appelé l’ensemble des racines positives (resp. négatives) de Φ par rapport à Π et noté Φ+ (resp. Φ−).
Proposition 2.39. [?, paragraphe 18.7] Tout système de racines admet une base. Exemple 2.40. Pour g = sln(C), une base de Φ est donnée par :
Π = {αi= λi− λi+1| 1 ≤ i ≤ n − 1},
où les λi, 1 ≤ i ≤ n, sont comme dans l’exemple 2.37 et pour 1 ≤ i, j ≤ n, on a :
λi− λj = (λi− λi+1) + (λi+1− λi+2) + · · · + (λj−1− λj), si i < j,
λi− λj = −(λj− λj+1) − (λj+1− λj+2) − · · · − (λi−1− λi), si i > j.
Cela donne :
Φ+= hλi− λj | i < ji et Φ−= hλi− λj | i > ji.
Soit g une algèbre de Lie simple de rang `. Soient h une sous-algèbre de Cartan de g et soit Π = (α1, . . . , α`) une base de son système de racines Φ. On définit la longueur |α| de
α ∈ Φ, par : |α| = ` X i=1 ai, où α = ` X i=1 aiαi.
Pour tout α une racine, on note eα un vecteur propre non nul associé à α. On définit ainsi sur g une graduation, c’est-à-dire que l’on a une décomposition sous la forme
g=M
k∈Z
gk, (2.44)
telle que [gk, gl] ⊂ gk+l, pour tous k, l ∈ Z. Il suffit pour cela de prendre g0 := h et pour
k 6= 0, de définir gk comme l’espace engendré par {eα| α ∈ Φ, |α| = k}. En particulier,
g− := X k≤−1 gk et g+:= X k≥0 gk (2.45)
sont deux sous-algèbres de Lie de g et g = g+⊕ g−.
Les sous-algèbres de Lie gn:=Pk≤−1gk, g0 := h et gp:=Pk≥1gkvérifient les hypothéses
de l’exemple 2.22, c’est-à-dire que, g0 est commutative, normalise gp et gn, et
g= gn⊕ g0⊕ gp.
Base de Chevalley
Soit g une algèbre de Lie simple. Considérons la représentation adjointe de g, qui est définie par :
ad : g → gl(g) x 7→ adx.
(2.46) On appelle forme de Killing de g la forme bilinéaire symétrique suivante :
h· |· i : g× g → C
(x, y) 7→ Trace(adx◦ ady).
(2.47)
Exemple 2.41. Dans le cas où g = sln(C), la forme de Killing (2.47) est proportionnelle à
(X, Y ) → Trace(XY ), ∀X, Y ∈ sln(C).
Proposition 2.42. Soit g une algèbre de Lie simple. La forme de Killing de g est bilinéaire, symétrique, Ad-invariante et non-dégénérée.
Corollaire 2.43. Si α, β ∈ Φ et α + β 6= 0, alors gα est orthogonal à gβ (c’est-à-dire
hgα| gβi = 0).
Démonstration. Prenons x ∈ gα et y ∈ gβ. Pour tout z ∈ h, on a
α(z) hx | yi = h[z, x] | yi = − hx | [z, y]i = −β(z) hx | yi .
On en déduit que (α + β)(z) hx | yi = 0, pour tout z ∈ h. Ce qui implique hx | yi = 0.
Remarque 8. La restriction de la forme de Killing à h est non-dégénérée. Ce qui implique que pour chaque α ∈ h∗, il existe un unique Hα∈ h, tel que
hα , ·i = hHα| ·i . L’élément hα de h, défini par
hα:= 2
Hα
hHα| Hαi (2.48)
est appelé la coracine de α. En particulier, les coracines des racines simples sont appelées les coracines simples.
Théorème 2.44. (Théorème de Chevalley)
Soit g une algèbre de Lie simple de rang `, soit h une sous-algèbre de Cartan de g, dont le système de racines est noté Φ et soit Π = (α1, . . . , α`) une base de Φ. Alors, pour tout α ∈ Φ, il
existe un vecteur propre non nul eα associé à α, tels que pour tous α, β ∈ Φ et h, h0∈ h, on a : [h, h0] = 0, [h, eα] = hα, hi eα, [eα, eβ] = hα si α + β = 0, 0 si α + β /∈ Φ ∪ {0}, Nαβeα+β si α + β ∈ Φ, où Nαβ = ±(p + 1), avec p = max{n | β − nα ∈ Φ}.
Une telle base (h1, . . . , h`) ∪ (eα)α∈Φ de g est appelée une base de Chevalley de g.
Matrice de Cartan
Soit g une algèbre de Lie simple de rang `, soit h une sous-algèbre de Cartan de g et soit Φ le système de racines de g associé à h. Fixons une base (α1, . . . , α`) de Φ. La matrice
C = (cij)1≤i,j≤` dont les coefficients sont donnés par :
cij := 2
hαi| αji
hαj| αji
=αi, hαj
est appelée la matrice de Cartan de g. On a cii= 2 et cij ≤ 0, pour i 6= j.
La matrice de Cartan d’une algèbre de Lie ne dépend pas du choix de la sous-algèbre de Cartan de g. De plus, deux algèbres de Lie sont isomorphes si et seulement si elles ont la même matrice de Cartan.
La classification des matrices de Cartan donne quatre familles infinies de matrices de Cartan et cinq familles individuelles, qui correspondent à quatre familles infinies d’algèbres de Lie simples appelées A`, B`, C`et D`(ici ` est le rang de l’algèbre de Lie) et à cinq algèbres
de Lie simples exceptionnelles appelées E6, E7, E8, F4 et G2. De plus, chaque algèbre de Lie
(simple) est isomorphe à une algèbre de matrices, c’est-à-dire à une sous-algèbre de Lie de glN(C). Une telle sous-algèbre de Lie est donnée, dans le cas des algèbres de Lie simples classiques, sous forme du tableau 2.1.
g Algèbre de matrices A` sl`+1(C)
B` so2`+1(C)
C` sp2`(C)
D` so2`(C)
Table 2.1 – Les algèbres de Lie simples vues comme des sous-algèbres de glN(C)