3.7.1 Poids des structures
Avant d’éliminer le bord de notre domaine fibré, on va comprendre ici l’intérêt de nos domaines fibrés. Un domaine fibré ajusté à un ensemble de structures de contact va nous permettre de “coder” les différences entre ces structures.
Lemme 3.45. [CGH09] Toute structure de contact ajustée à (D, τ, ζ) est déterminée
à isotopie près parmi les structures ajustées par la fonction aξ : ∂hD →]0, ∞[
qui est continue sur chaque secteur et qui associe à chaque point p l’angle de rotation total de ξ le long de la feuille de τ partant de p.
On peut faire mieux et coder plutôt les informations sur les secteurs de notre domaine fibré. Les branchements entre secteurs vont nous donner des relations entre ces informations.
Lemme 3.46. [CGH09] Les classes d’isotopie de structures de contact ξ ajustées
au domaine fibré (D, τ, ζ) sont en bijection avec les fonctions ωξ : π0(Reg(M/τ ) → Z
dites fonctions poids vérifiant la condition ωξ(R) ≥ − 1
et les relations d’adjacence pour des feuillets R1 et R2 qui se joignent pour donner R3
ωξ(R1) + ωξ(R2) = ωξ(R3).
3.7.2 Lemme d’élagage
On va maintenant voir comment supprimer le bord des domaines fibrés dans le vas des variétés fermées.
Lemme 3.47. (Lemme d’élagage)[CGH09] Soit (D, τ, ζ) un domaine fibré et X un
ensemble de structures de contact ajustées à (D, τ, ζ). On suppose qu’il existe un réel C et un point p ∈ ∂hD tels que aξ(p) < C pour tout ξ ∈ X . On note ¯X1, ... , ¯Xk les adhérences des strates régulières X1 ... Xk de X = D/τ qui contienne π(p). On peut alors trouver des structures de contact ζ1 ... ζl sur le complémentaire du domaine fibré (D0, τ0) = D \ Int k [ j=1 π−1( ¯Xj) , τ |D0
telles que toute structure ξ ∈ X soit isotope à une structure ajustée à l’un des
(D0, τ0, ζi).
Démonstration. La borne sur aξ donne une borne sur tous les poids ωξ(Xi). Ils ne peuvent donc prendre qu’un nombre fini de valeurs. On peut donc partitionner X de façon à ce que sur chaque partie Xi toutes les structures donnent le même poids. Si on prend ζi ∈ Xi on utilise ensuite le lemme précédent pour obtenir une isotopie entre toute structure ξ ∈ Xi et une structure ξ0 égale à ζi sur π−1SX¯j
.
Cette opération d’élagage diminue strictement le nombre de secteurs du domaine fibré. On peut ainsi supprimer les parties du domaines fibrés à bord. En répétant cette opération suffisamment de fois (mais en nombre fini) on obtient l’ensemble vide. On obtient donc ce résultat.
Corollaire 3.48. Si X est un ensemble de structures de contact ajustées à (D, τ, ζ)
alors il existe des domaines fibrés (D1, τ1, ζ1) ... (Dl, τl, ζl) obtenus par élagage à
partir de (D, τ, ζ) tels que Xi = Mi/τi soit une surface branchée sans bord et que toute structure ξ ∈ X soit isotope à une structure ξ0 ajustée à l’un des (Di, τi, ζi).
3.7.3 Domaine fibré sur ˜V
L’objectif est maintenant de comprendre comment se place les domaines fibrés par rapport à la construction de notre triangulation ˜∆. On reprend les notations
des sections précédentes, ˜V est une variété à bord torique, ( ˇξn)n≥N des structures de contact tendues particulière sur ˜V et ˜∆ une triangulation de contact maniable pour les ˇξn.
La première étape est de localiser les quadrilatères fibrés dans les 2-simplexes. On a déjà remarqué que les 2-simplexes de ˜∆ ne possèdent que deux quadrilatères fibrés (sur les trois possibles). Ces quadrilatères sont les emplacements des prismes admissibles sur ∂ ˜V . Sur la figure 3.11, on peut voir la position des quadrilatères
fibrés pour notre exemple.
Figure 3.11 – Emplacements admissibles pour les prismes sur le bord
Plus généralement, on a le résultat suivant.
Lemme 3.49. Pour tout n ≥ N , les quadrilatères fibrés de ∆∂ sur le bord de ( ˜V , ˇξn)
sont inclus dans un nombre fini d’anneaux disjoints de la forme ν × I où ν est un méridien de ∂ ˜V et I un intervalle.
Démonstration. Il suffit de voir que en suivant les méridiens qui passent par les
sommets des 2-simplexes on ne traverse que des pièces extraordinaires du décou-page des 2-simplexes. Par définition, ces pièces extraordinaires ne peuvent pas faire partie des quadrilatères fibrés. Par conséquence les quadrilatères sont inclus dans le complémentaire des ces méridiens interdits, donc dans des anneaux qui suivent les méridiens.
Maintenant on peut appliquer les constructions du corollaire 3.44 pour obtenir un domaine fibré (à bord) (D, τ ) sur ˜V tel que toutes nos structures ˇξn soient ajustées à (D, τ, ζ).
Lemme 3.50. Sur le bord de ˜V , il existe des méridiens de ˜V qui n’intersectent pas D.
Démonstration. Cela vient uniquement du placement des quadrilatères fibrés et des
pièces extraordinaires. C’est ici qu’intervient la majorité des contraintes que l’on a choisi pour notre triangulation ∆∂. Tout d’abord le feuilletage choisi empêche l’apparition de pièces ordinaires qui viendraient se placer le long des longitudes. Et l’alignement des sommets le long de méridiens permet de placer des paquets extraordinaires qui contraignent les quadrilatères fibrés autour des méridiens.
Figure 3.12 – Une voie ferrée générale sur le bord
Il reste un problème, le domaine fibré D ainsi obtenu possède un bord. Plus exactement, il possède une partie de son bord qui est inclus dans le bord de ˜V , et
une partie dans son intérieur. Pour la suite, on veut supprimer les composantes du bord qui sont pas incluses dans ∂ ˜V . Pour cela, on applique le lemme d’élagage sur
(D, τ ) pour supprimer les secteurs du bord de la surface branchée qui ne remplissent pas les conditions du théorème. Ceci prouve le théorème 0.7.
Les mêmes méthodes permettent de démontrer le théorème 0.8 dans le cas géné-ral.
3.7.4 Retour sur V
On rappelle que ˜V peut être vu comme le résultat de l’extrusion d’un voisinage
tubulaire d’un nœud L sur une variété fermée V . De plus les conditions sur les variétés de contact étudiées jusqu’ici correspondent au fait que L est legendrien pour toutes les structures ξn où ˇξn est la restriction de ξn à ˜V .
Maintenant on voudrait compléter les domaines fibrés obtenus sur ˜V pour obtenir
des domaines fibrés sans bord sur V .
Lemme 3.51. Il existe des domaines fibrés (D10, τ10, ζ10), ... , (D0l, τl0, ζl0) sur V tels
que :
— Pour tout i, (Di0, τi0, ζi0)|V rN (L) = (Di, τi, ζi)
— Le nœud L est tangent aux fibres des Di0
— Toute structure de contact (ξn) pour n ≥ N est ajustée à l’un des (Di0, τi0, ζi0).
Démonstration. Il suffit de compléter les domaines fibrés obtenus précédemment.
Comme la construction des Di a été faite sur n’importe quel voisinage tubulaire de L, on peut facilement prolonger les domaines fibrés à l’intérieur du tore que représente le voisinage de L sans créer de nouveaux embranchements.
Pour finir le fait d’avoir le nœud tangent aux fibres des domaines vient du fait que sur ˜V les fibres des prismes fibrés (et par conséquence des quadrilatères fibrés
et des domaines fibrés) suivent les longitudes de ∂ ˜V c’est-à-dire les longitudes de ∂N (L). En prolongeant les domaines fibrés, on trouve que sa fibration est parallèle
à l’âme du tore et donc que le nœud suit les fibres. De façon plus général cela prouve le résultat suivant.
Théorème 3.52. Soient V une variété fermée, L un nœud lisse dans V et (ξn)n∈N
des structures de contact tendues pour lesquelles L est legendrien et non déstabili-sable. Alors il existe sur V un nombre fini de domaines fibrés (Di, τi) chacun muni
d’une structure de contact ζi tel que
— Pour tout i, L est transverse à Di et tangent à τi;
— Pour toute structure ξn il existe un i tel que ξn est tangent à τi dans Di et égale à ζi à l’extérieur de Di.
Démonstration. Pour passer du lemme 3.51 au théorème 3.52, il reste à dire un mot
sur les structures ξn pour n < N sur V r N (L). Ces structures viennent des cas où l’invariant de Thurston-Bennequin du nœud L est supérieur à −N . L’invariant de Thurston-Bennequin étant majoré par l’inégalité de Bennequin, il reste donc un
nombre fini de cas. Ces cas fixent un nombre fini de structures de contact au bord de ˜V (un germe par valeur prise par (tb(L)). On peut alors utiliser les résultats de
[CGH09] qui montrent la finitude des structures de contact sur les variétés à bord en imposant un germe de structure de contact au bord.