Ajustement des param`etres exp´erimentaux

A partir des r´esultats obtenus au moyen des proc´edures d´ecrites dans la premi`ere partie de cette annexe, nous avons une connaissance a priori de la plupart des 7 param`etres n´ecessaires au calcul de la vitesse des atomes dans le r´ef´erentiel attach´e au centre de la collision. D’autre part, exp´erimentalement, la position g´eom´etrique du faisceauL1 permet aussi une estimation de la valeur de φ₁ ∼ 7 ^◦. On peut donc `a partir de ces valeurs reconstruire la sph`ere de collision dans l’espace des impulsions et observer le r´esultat obtenu en r´ealisant diff´erentes

2Cette hypoth`ese est difficile `a tester rigoureusement sans un traitement complet de la dynamique de la collision. On pourrait d´emontrer une telle hypoth`ese au moyen d’arguments bas´ees sur les sym´etries du probl`eme mais les diff´erences de nombre d’atomes des deux condensats rendent de tels arguments obsol`etes.

Les effets du champ moyen peuvent en effet ´eventuellement briser ces sym´etries. L’observation de corr´elations d´emontr´ee au chapitre 4 de ce manuscrit permettent n´eanmoins de l´egitimer la m´ethode.

coupes de la sph`ere. On peut a posteriori ajuster `a vue les valeurs des diff´erents param`etres afin d’am´eliorer la qualit´e de la reconstruction. La figure B.2 pr´esente le r´esultat obtenu apr`es quelques ajustements sur diff´erentes coupes de la sph`ere reconstruite. Les cercles blancs indiquent la position de la sph`ere tel que pr´edit par les 7 param`etres. Les ronds blancs ont la mˆeme finalit´e pour la position du centre des diff´erents condensats impliqu´es dans la collision.

Une telle m´ethode ne permet pas d’obtenir des r´esultats infiniment pr´ecis et peut pa-raˆıtre hasardeuse dans la mesure o`u elle d´epend ouvertement de la qualit´e d’observation de la personne qui ajuste les param`etres. Malheureusement d’autres m´ethodes bas´ees sur la minimisation d’une fonction definie `a partir des donn´ees exp´erimentalement induisent im-manquablement des erreurs syst´ematiques dues soit `a la saturation du d´etecteur, soit aux inhomog´en´eit´es spatiales de d´etectivit´e des MCP. Malgr´e tout, les r´esultats obtenus n’ont pas empˆech´e l’observation de corr´elations entre les atomes de la sph`ere. De plus, les ajustements effectu´es n’ont pas profond´ement modifi´e les valeurs des param`etres en comparaison de leurs valeurs initiales. Voici les valeurs obtenues `a l’issue des ajustements

d_x = 208±5µm d_y = 192±5µm x_0d = 15±2d_x y_0d = 15±2d_y

h = 46.8±0.1 cm θd = 135±1^◦ φ₁ = 8±1 ^◦

φ₂ = 5±1 ^◦ (B.11)

o`u les incertitudes indiqu´ees correspondent `a l’intervalle de valeurs pour lequel la m´ethode graphique utilis´ee ne permet pas d’observer de diff´erences significatives sur la qualit´e de l’ajustement.

Chap B - Passage dans l’espace des impulsions 173

Fig.B.2 –Reconstruction de tranches de la sph`ere de collision dans l’espace des impulsions.

En notantw la direction de l’axe ortogonal au plan de la coupe, (a), (c) et (d) correspondent

`

a une coupe int´egr´ee sur l’intervalle −0.2 ≤p_w ≤0 tandis que (b), (d) et (e) correspondent

`

a une coupe int´egr´ee sur l’intervalle 0≤p_w ≤0.2. Toutes les impulsions sont exprim´ees en unit´e de l’impulsion de recul d’un photon ~krec.

ANNEXE C

La repr´ esentation Positive P

En m´ecanique quantique, le calcul complet de la dynamique d’un syst`eme comportant un grand nombre de particules devient rapidement irr´ealiste `a l’´echelle des ressources dont on dispose `a l’heure actuelle tant la dimension D de l’espace de Hilbert dans lequel les vecteurs d’´etat du syst`eme prennent leurs valeurs est grande. Ainsi, si l’on souhaite d´ecrire la dynamique de N atomes r´epartis dans M modes donn´es, on peut ais´ement se convaincre queD∼M^N. Dans le cas de notre exp´erience de collisions par exemple, ce nombre est d´ej`a astronomique : D ∼ 10<sup>10000</sup>. Ce type de consid´erations a d’ailleurs conduit R. Feynman `a aboutir `a la conclusion suivante [123]

“Can a quantum system be probalistically simulated by a classical universal com-puter ? ... The answer is certainly, No !”

En rempla¸cant les ´equations de la dynamique de l’op´erateur d’´evolution du syst`eme par un jeu d’´equations diff´erentielles stochastiques portant sur des fonctions et non plus des op´erateurs [124], P. Drummond et C. Gardiner ont ouvert la voie `a une m´ethode originale de calcul num´erique par l’interm´ediaire de laquelle un grand nombre de probl`emes physiques sont maintenant accessibles [125]¹. Des calculs r´ecents, bas´es sur une telle approche, ont ainsi permis de suivre la dynamique de la collision de deux condensats de Bose-Einstein [117].

La grande force d’une telle approche est qu’elle permet l’´etude de syst`emes en dehors de l’´equilibre thermodynamique, l`a o`u la majeure partie des traitements th´eoriques courants ne sont plus op´erants. Elle permet d’autre part de prendre en compte des effets non-lin´eaires que l’on doit souvent n´egliger dans des traitements plus conventionnels.

Dans cette annexe nous nous proposons de d´ecrire succintement les bases n´ecessaires `a la compr´ehension d’une telle m´ethode, de mani`ere `a rendre plus abordables les r´esultats pr´esent´es dans la partie 5.2. Pour plus de d´etails sur un tel traitement, nous renvoyons aux r´ef´erences [126, 127, 120] sur lesquelles cette annexe est en grande partie bas´ee. Les limitations de cette m´ethode sont discut´ees au travers des calculs pr´esent´es dans la partie 5.2. Dans la suite, nous focalisons notre ´etude sur la description des collisions de condensats de Bose-Einstein.

1Il existe en fait diff´erentes m´ethodes de repr´esentation dans l’espace des phases. Nous nous int´eressons ici uniquement `a l’une d’entre elle.

C.1 Discr´ etisation de l’espace

Afin de rendre la dynamique d’un syst`eme de bosons en interaction accessible par l’inter-m´ediaire de calculs num´eriques, il faut dans un premier temps ˆetre capable de limiter l’espace d’´etude `a un volume de taille fini. D’autre part cet espace doit ˆetre discr´etis´e. Pour la majeure partie des exp´eriences, les particules ´etant confin´ees dans un certain volume d’observation, cette ´etape n’impose pas de limitations particuli`eres. Prenons le cas d’un syst`eme de bosons en interaction. Nous avons mentionn´e au paragraphe 1.3.1, la forme g´en´erale de l’hamiltonien Hb qui d´ecrit la dynamique des particules. On va consid´erer dans la suite que le syst`eme se trouve dans un r´egime dans lequel les interactions peuvent ˆetre d´ecrites par l’interm´ediaire du pseudo-potentiel 1.60. On peut ainsi ´ecrire que

Hb =− Dans cette expression, l’espace sur lequel les int´egrales sont d´efinies est consid´er´e comme infini et continu. En limiter les dimensions revient `a d´efinir des limites spatiales L<sub>u</sub> dans les trois directions de l’espace mais aussi des barri`eresk^max_u sur les impulsions accessibles dans l’espace de Fourier². D’autre part, afin de se ramener `a un probl`eme dans un espace discret, on peut commencer par approximer toute fonctionf(r) `a partir d’un nombre fini de ses composantes dans l’espace de Fourier com-prises entre 0 et les limites impos´ees parLuk_u^max/2π. On d´efinit ainsi un r´eseau tridimensionnel (dans l’espace r´eciproque ainsi que dans l’espace r´eel) sur laquelle un nombre fini de valeurs de la fonctionf peut ˆetre calcul´e :f(r_n) avecr_n= (x(n_x), y(n_y), z(n_z)). Les composantes de r_n peuvent se mettre sous la forme suivante

u(n_u) =n_u∆u (C.3)

avec ∆u = L_u/M_u, M_u = max(|n_u|) et u = x, y ou z. Pour qu’une telle discr´etisation soit efficace et permette de d´ecrire correctement le probl`eme physique pos´e, deux conditions doivent absolument ˆetre v´erifi´ees. D’une part, il faut que le volume d´efini par les longueursL<sub>u</sub> soit suffisamment grand. On ne veut pas en effet qu’une partie de la dynamique du ph´enom`ene

´etudi´e ait lieu `a l’ext´erieur de ce volume. D’autre part, il faut que les composantes de Fourier que l’on a tronqu´ees dans la d´efinition def<sub>cut</sub>soient bien n´egligeables `a l’´echelle de pr´ecision

`

a laquelle on d´esire travailler. En d’autres termes, l’´echelle spatiale des ph´enom`enes physiques

´etudi´es doit ˆetre nettement plus grande que ∆u.

En appliquant cette proc´edure de discr´etisation `a l’hamiltonien C.1, on peut r´eussir `a

´ecrire que

2Les limites Lu vont en fait aussi fixer les valeurs des pas de discr´etisation des diff´erentes directions de l’espace de Fourier tandis que lesku^maxjouent le mˆeme rˆole pour les pas de discr´etisation dans l’espace r´eel.

Chap C - La repr´esentation Positive P 177

Dans cette expression, les op´erateurs d’annihilationban sont d´efinis `a partir des composantes de Fourier de l’op´erateur champ du syst`eme

ban=Ψbn

p∆x∆y∆z (C.5)

D’autre part, les pulsations ωnm peuvent se mettre sous la forme suivante ωnm =ω_mn^∗ = ~∆x∆y∆z

2m(2π)^3/2K_n−m⁽²⁾ (C.6)

o`u K<sup>(2)</sup> est la transform´ee de Fourier discr`ete de |k|². Autrement dit, Kn⁽²⁾ = (2π)^3/2

L_xL_yL_z X

˜ n

|kn_˜|²e^ikn˜·rn (C.7) Enfin, la constante de couplage χpeut se mettre sous la forme

χ= g

2~∆x∆y∆z (C.8)

Dans la suite, nous allons chercher `a r´e´ecrire les ´equations d´ecrivant la dynamique du syst`eme en termes des quantit´es discr`etes introduites ici.