La façon la plus économique d’augmenter le flux de chaleur cédé par une paroi, peut être obtenu par la réalisation d’ailettes. C’est une solution ayant pour avantage de limiter l’encombrement et l’augmentation de poids résultant de l'ajout de matière. Une ailette est un dispositif thermique, utilisée lorsqu’il faut extraire une densité de flux importante dans un encombrement réduit, visant à augmenter la surface de contact avec un fluide extérieur pour augmenter les échanges convectifs, et donc le transfert de chaleur [123].
5.2. Propriétés
- L’usage des ailettes est peu utile pour les liquides, il est, par contre, utile dans le cas des gaz.
- Des ailettes étroites et rapprochées, limitées par les pertes de charge sont considérées meilleures que des ailettes plus grandes et espacées.
- L’ailette est d’autant plus performante que sa conductivité thermique est élevée. - Le choix des ailettes est alors un compromis entre le coût, l’encombrement, les pertes de charge et le transfert de chaleur.
5.3. Exemples d’applications
-Les systèmes de chauffage des particuliers mettent en jeu des systèmes d'ailettes thermiques afin de transmettre la chaleur issue d'une résistance, dans le cas du chauffage électrique, ou d'un fluide caloporteur en circulation, à l'air ambiant. Ci-dessous, une résistance chauffante composée de la résistance électrique (tube en U), cerclée par une ailette thermique en forme de spirale. Il aurait été possible de remplacer la résistance électrique par un tube dans lequel circulerait un fluide caloporteur (figure 5.1 et figure 5.2)
Figure 5.1- Résistance
électrique à ailettes
Figure 5.2- Tube à ailettes
Les ailettes thermiques nommées aussi radiateurs dont le but, est de refroidir un élément, en transmettant l'excédent de chaleur au milieu extérieur, qui est l'air dans la plupart des cas. Le radiateur d'une voiture permet de refroidir le moteur. Le liquide de refroidissement circule dans des tubes auxquels sont associées des ailettes thermiques qui transmettent cette chaleur à l'air. La circulation de l'air est assurée par la vitesse du véhicule, ce qui assure un phénomène de convection suffisant.
- Les microprocesseurs des ordinateurs génèrent beaucoup de chaleur lors de leur fonctionnement. Afin d'éviter que ceux-ci soient endommagés par une surchauffe, ils sont parfois recouverts par un radiateur, le plus souvent en aluminium. Ce système d'ailettes transmet directement la chaleur du processeur à l'air (figure 5.3).
- Pour des raisons de radioprotection, des ailettes à la surface du château de transport permettent le refroidissement du combustible usé à l’intérieur par circulation d’air. (figure 5.4).
5.4. Flux extrait par une ailette
Une ailette est un milieu bon conducteur de la chaleur dont une dimension est grande devant les autres. La barre est supposée de section suffisamment faible pour qu’il n’y ait pas de variation de température dans une même section droite à une distance x de l’encastrement dans la paroi à T0 (figures 5.5 et 5.6) [124].
On suppose que la barre est conductrice, donc λ est grand et le nombre Biot sera très petit, inférieur à l’unité (𝐵𝑖 ≪ 1)
Figure 5.4- Surface du château
de transport à ailettes Figure 5.3- Radiateur à ailettes
Sommet Pied Figure 5.6- Exemple de surface à ailettes Ailette Figure 5.5-Schéma de l’ailette Surface Ailette
𝐵𝑖 = ℎ × 𝐿
𝜆 (27) Sous cette hypothèse, une simplification a pu être réalisée, en considérant que la tranche d’épaisseur « dx » est à une température donnée T(x) et est constante ; donc quasi-uniforme sur une section droite de l'ailette, elle ne dépend que de (x), distance comptée depuis le pied de l'ailette, car nous sommes en régime permanent d’où cela signifie que le transfert de chaleur est unidirectionnel sur x. Dans notre étude, nous avons besoin de connaitre le flux thermique (Qai) échangé par une ailette. Or, le champ de température dans l'ailette étant à l'évidence multi dimensionnel [125]. 5.5. Modélisation de l’ailette
En négligeant l’échange par rayonnement, nous effectuons un bilan d’énergie sur le système constitué par la portion de l’ailette comprise entre les abscisses « x » et « x+dx ». Le problème peut être schématisé comme suit (figures 5.7 et 5.8) :
Figure 5.5- Schéma simplifié d’une section de l’ailette
A
ϕc
Figure 5.8- Représentation des flux élémentaires sur l’ailette
x 0 L x x+dx ϕ(x) ϕ(x+dx) Air Tamb Tp T(x)
𝑇𝑎𝑚𝑏 ∶ Température de l’air ambiant. 𝑇 𝑝: Température de la paroi.
𝜑𝑐(𝑥): Flux échangé par convection.
𝜑(𝑥) ∶ Flux échangé par conduction à l’abscisse « x ».
𝜑 (𝑥 + 𝑑𝑥) ∶ Flux échangé par conduction à l’abscisse « x +dx ».
Ainsi nous pouvons écrire le bilan des transferts thermiques pour l’élément « dx » comme suit:
𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑥 + 𝑑𝑥) + 𝜑𝑐(𝑥) (28) En tenant compte de la loi de Fourier, on obtient :
(−𝜆 × 𝐴𝑑𝑇
𝑑𝑥)𝑥 = (−𝜆 × 𝐴𝑑𝑇
𝑑𝑥)𝑥+𝑑𝑥 + ℎ × 𝑝 × 𝑑𝑥 × [𝑇(𝑥) − 𝑇𝑎𝑚𝑏]=0 (29) Puisque λ et A sont indépendants de « x », nous obtenons :
𝜆 × 𝐴( 𝑑𝑇
𝑑𝑥)𝑥+𝑑𝑥 − (𝑑𝑇𝑑𝑥)𝑥
𝑑𝑥 = ℎ × 𝑝 × [𝑇(𝑥) − 𝑇𝑎𝑚𝑏] (30)
Donc T(x) est une solution de l’équation différentielle suivante, appelée « équation de la barre » :
𝑑2 𝑇(𝑥) 𝑑𝑥2 −ℎ𝑝
𝜆𝐴× (𝑇(𝑥) − 𝑇𝑎𝑚𝑏) = 0 (31) Avec :
λ : conductivité thermique du matériau (W.m-1.K-1) ;
h : coefficient d’échange convectif (W.m-2.K-1) ;
p : périmètre de section ; A: surface de section.
Nous avons établi l’équation différentielle vérifiée par la température « T(x) » d’une ailette encastrée dans la paroi métallique à la température « Tp » et baignant dans un
fluide qui est l’air à la température « Tamb ».
En posant : 𝑚2= ℎ × 𝑝
𝜆 × 𝐴 [ 𝑚
−2] (32) L’équation peut encore s’écrire :
𝑑2𝑇(𝑥)
𝑑𝑥2 − 𝑚2(𝑇(𝑥) − 𝑇𝑎𝑚𝑏) = 0 (33)
Est une équation différentielle du 2ème ordre, à coefficients constants et dont la solution générale est de la forme :
𝑇(𝑥) = 𝑇𝑎𝑚𝑏 + 𝛼𝑒𝑚𝑥+ 𝛽𝑒−𝑚𝑥 (34) Où :
α et β sont deux constantes.
Afin de résoudre notre problème, nous disposons de deux conditions limites : La première est donnée par « Tp » en « x=0». En ce qui concerne la seconde, nous devons
distinguer 3 hypothèses : - Ailette de longueur infinie.
- Ailette de longueur finie à extrémité adiabatique. - Ailette de longueur finie à extrémité non adiabatique. - Ailette de longueur infinie
Les différentes conditions limites sont :
Si 𝑥 = 0 : 𝑇(𝑥=0) = 𝑇𝑝 (température de la paroi)
Si 𝑥 → ∞ : 𝑇(𝑥=∞) = 𝑇∞ (température ambiante de l’air) 1ère CL : 𝑇𝑝 − 𝑇∞ = 𝛼 + 𝛽
2ème CL : 0 = 𝛼 𝑒𝑥𝑝(𝑚∞) + 𝛽 𝑒𝑥𝑝(−𝑚∞) ⇒ 𝛼 = 0 𝑒𝑡 𝛽 = 𝑇𝑃 − 𝑇𝑎𝑚𝑏
Donc La solution est : 𝑇(𝑥)−𝑇𝑎𝑚𝑏
𝑇𝑃−𝑇𝑎𝑚𝑏 = 𝑒𝑥 𝑝(−𝑚𝑥) (35) La quantité de chaleur transmise par l’ailette à l’air ambiant est la quantité s’écoulant par conduction à travers la base de l’ailette, égale à celle transmise par convection à partir de la surface latérale. Nous aurons donc :
𝑄𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 = −𝜆 𝐴ǀ𝑑𝑇 𝑑𝑥ǀ,𝑥=0= ∫ ℎ𝑝(𝑇(𝑥)− 𝑇∞)𝑑𝑥 ∞ 0 (36) Donc : 𝑄𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒𝑠 = √ℎ 𝑝 𝜆 𝐴 ( 𝑇𝑝− 𝑇𝑎𝑚𝑏) (37)
Cette équation est valable pour un flux de chaleur transmis par une ailette ayant une longueur relativement grande par rapport à sa section transversale, soit : 𝐿
𝐴 > 10 - Ailette de longueur finie à extrémité adiabatique (isolée)
Dans ce cas, la solution générale obtenue est identique au cas précédent, ce sont les conditions aux limites qui diffèrent :
{ 𝑇(𝑥 = 0) = 𝑇𝑝 −𝜆𝑆(𝑑𝑇
𝑑𝑥)𝑥=𝐿 = 0 (Conservation du flux de chaleur en (x=L) La solution s’écrit :
𝑇(𝑥) − 𝑇𝑎𝑚𝑏
𝑇𝑝− 𝑇𝑎𝑚𝑏 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝑥) − 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑚𝐿) 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑚𝑥) =
𝑐𝑜𝑠ℎ [𝑚(𝐿 − 𝑥)]
𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑚𝐿) (38) Le flux total dissipé par l’ailette a pour expression :
𝑄𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 = 𝑚 𝜆 𝐴 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑚𝐿)(𝑇𝑝− 𝑇𝑎𝑚𝑏) (39) - Ailette de longueur finie avec transfert de chaleur à l’extrémité
En tenant compte des déperditions calorifiques par convection à l’extrémité de la barre, la chaleur s’écoulant par conduction de la face : 𝑥 = 𝐿, doit être égale à la chaleur transmise par convection de la section finale de l’ailette à l’air ambiant [126]. Où : −𝜆 𝐴 ǀ𝑑𝑇 𝑑𝑥ǀ𝑥=𝑙 = 𝐴 ℎ(𝑇(𝑥=𝑙)− 𝑇𝑎𝑚𝑏) (40) 𝑇(𝑥) − 𝑇𝑎𝑚𝑏 𝑇𝑝− 𝑇𝑎𝑚𝑏 = cosh[𝑚(1 − 𝑥)] + (ℎ 𝑚 𝜆)sinh [𝑚(1 − 𝑥)]⁄ cosh(𝑚𝐿) + (ℎ 𝑚 𝜆)sinh (𝑚𝐿)⁄ (41)
Le flux total dissipé par l’ailette a donc pour expression :
𝑄𝑎𝑖𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒 = √ℎ 𝑝 𝜆 𝐴 (𝑇𝑝− 𝑇𝑎𝑚𝑏) ×sinh(𝑚𝐿) + (ℎ 𝑚 𝜆)cosh (𝑚 𝐿)⁄
Etude théorique