La méthode de l’adding doubling est une méthode de résolution de l’équation de transfert radiatif développée dans le cadre des atmosphères diffusantes par Hulst (1963). Celle-ci est basée sur un développement de la luminance en fonction de la transmission totale et de la réflexion de couches atmosphériques, qui sont toujours placées dans l’hypothèse plan, parallèle et homogène.
Pour comprendre le fonctionnement de cette méthode il est nécessaire de rappeler les propriétés de réflexions et de transmissions d’une couche atmosphérique. Considérons donc une couche atmosphérique homogène d’épaisseur optique quelconque τ. Cette couche est éclairée en son sommet par une luminance appelée Lentree,sommetet à sa base par une luminance appelée
Lentree,base. Une partie de l’éclairement entrant par le sommet est réfléchie en suivant la fonction
de réflexion R, et une autre partie est transmise en suivant la fonction de transmission T . De même, la luminance incidente par le bas de la couche est réfléchie en suivant R0et est transmise en suivant T0. On appelle respectivement Lsortie,sommetet Lsortie,base, les luminances sortantes au
sommet et à la base de la couche. La figure A.1 schématise ce processus.
Les luminances réfléchies et transmises sont ainsi reliées aux luminances incidentes par les formules suivantes : Lsortie,sommet(µ, φ) = 1 π Z2π 0 Z 1 0 R(µ, φ, µ0, φ0)Lentree,sommet(µ 0 , φ0)µ0dµ0dφ0 + 1 π Z2π 0 Z1 0 T0(µ, φ, µ0, φ0)Lentree,base(µ 0 , φ0)µ0dµ0dφ0
FigureA.1 – Schématisation des phénomènes de réflexion et de transmission dans une couche atmosphérique pour une luminance incidente au sommet et à la base de celle-ci. (Sourdeval, 2012) et Lsortie,base(µ, φ) = 1 π Z 2π 0 Z1 0 T (µ, φ, µ0, φ0)Lentree,sommet(µ 0 , φ0)µ0dµ0dφ0 + 1 π Z2π 0 Z1 0 R0(µ, φ, µ0, φ0)Lentree,base(µ 0 , φ0)µ0dµ0dφ0
Il est alors possible de déterminer la luminance au sommet et à la base d’une couche atmo- sphérique uniquement à partir des fonctions de réflexion et de transmission totale. La méthode adding propose d’étendre ce protocole en l’appliquant à de multiples couches atmosphériques. La figure A.2 illustre le fonctionnement de cette méthode pour deux couches d’épaisseur op- tique τ1 et τ2. On y remarque que les fonctions de réflexion R12 et de transmission T12 pour
l’ensemble des deux ouches sont composées d’une somme de combinaisons entre les fonctions de transmissions et de réflexions de chaque couches séparées. Ce processus est généralisable quel que soit le nombre de couches, de manière à permettre un calcul des luminances sortantes. Il faut noter que la surface est traitée comme une couche de très forte épaisseur optique.
des fonctions de transmission totale et de réflexion de chaque couche atmosphérique, et que le calcul de ces fonctions peut se révéler complexe dans le cas de diffusions multiples. La méthode doubling (Hansen, 1971; Hovenier, 1971) peut alors être employée de manière à faciliter les calculs.
FigureA.2 – Schématisation du fonctionnement de la méthode Adding pour deux couches d’épaisseurs optiques 1 et 2. (Sourdeval, 2012)
Cette méthode est en fait un cas particulier de l’adding . Elle propose de partir d’une sous- couche d’épaisseur optique très faible (par exemple τ 10−5) de façon à pouvoir y calculer des fonctions de transmission et de réflexion dans le cas particulier de la diffusion simple. Ceci permet de simplifier ces fonctions en les rendant directement dépendante de l’albédo de diffusion simple, et de la fonction de phase de la couche :
R(µ, φ; µ0, φ0) = ωτ 4µµ0 P (µ, φ; −µ0, φ0) (A.1) T (µ, φ; µ0, φ0) = ωτ 4µµ0 P (−µ, φ; −µ0, φ0) (A.2)
seconde sous couche de propriétés parfaitement identiques. Les fonctions de réflexion et de diffusion de ces deux sous couches sont donc également identiques, ce qui permet de calculer ces fonctions pour la couche totale d”épaisseur optique 2τ en utilisant le protocole présenté pour l’adding. Il suffit alors de répéter de processus autant de fois que nécessaire de manière à obtenir les fonctions de transmission et de réflexion d’une couche d”épaisseur optique désirée. Cette méthode doit ensuite être appliquée à chaque couche atmosphérique considérée dans la méthodeadding. L’utilisation couplée de ces deux méthodes représente ce que l’on appelle l’adding-doubling.
Annexe
B
k-distribution
Il existe plusieurs méthodes pour calculer l’absorption des gaz atmosphériques.La méthode "directe", appelée "line-by-line", consiste à calculer le coefficient d’absorption comme la contribu- tion de toutes les raies spectrales et ceci pour tous les absorbants. Ce type de méthode est précise mais très coûteux en temps de calcul. Il est plus efficace parfois d’approcher l’absorption sur un intervalle ∆ν beaucoup plus grand que celui d’une raie.
La méthode de la "correlated k-distribution" (Kratz, 1995) consiste à approcher sur ∆ν par une somme d’exponentielles. Elle est basée sur le fait que, pour un intervalle ∆ν donné, la transmission ne dépend que de la fraction de cet intervalle qui est associée à une valeur donnée du coefficient d’absorption. La transmission est ainsi exprimée par une intégration sur la distribution de densité du coefficient d’absorption :
t∆ν(P , T ) =
Z∞
0
f (k) exp(−ku)dk (B.1)
avec u =R0∞σ dz (mass path).
Z ∞
0
f (k)dk = 1 (B.2)
On remarque ici que t∆ν(P , T )(P , T ) est la transformée de Laplace de la fonction f (k) est donc
f (k) = L−1[T (u)]. Pour un intervalle ∆ν, la fonction f (k) représente la probabilité du coefficient d’absorption k d’appartenir à l’intervalle [k + dk]. La transmission est alors calculée par une
somme d’exponentielles définie comme : t∆ν(P , T ) ≈ N X i=1 aiexp[−ki(P , T )u(P , T )] (B.3)
Les poids ai représentent la probabilité associée au coefficient d’absorption moyen ki de
chaque classe d’absorption i (i = 1, N ), avec la contraintePN
i=1ai= 1 : ai= Zkl kl−1 f (k)dk = g(kl) − g(kl−1) (B.4) avec g(kl) = Rkl 0 f (k)dk
Selon le principe de la "correlated k-distribution", les coefficients d’absorption sont corrélés à tous les niveaux de pression pour un intervalle donné. Les coefficients aidoivent être identiques
pour tous les niveaux de pression pour une intervalle ∆ν donné.
Les coefficients aiet ki sont estimés pour une pression et une température de référence P0
et T0 avec le code raie-par-raie. Les coefficients d’absorption étant corrélés en altitude, une
approximation d’échelle peut être appliquée pour obtenir les coefficients ki à tous les niveaux de
pression, par exemple :
kl(P , t0) = kl(P0, T0)n( P p0 )γ (B.5) et kl(P , T ) = kl(P , T0) exp[al(T − T0) + bl(T − T0)2] (B.6)
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