thode deux-phases
Ayant d´ecid´e d’utiliser la m´ethode deux-phases pour le probl`eme du flowshop bi-objectif, nous l’avons adapt´ee. De plus certaines sp´ecificit´es du probl`eme nous ont conduits `a proposer des am´eliorations pour l’utilisation de cette m´ethode sur des probl`emes d’ordonnancement. Ces am´eliorations ont ´et´e r´ealis´ees dans le cadre de la th`ese de Julien Lemesre.
2.4.1
Adaptations au probl`eme du flowshop bi-objectif
Utiliser la m´ethode deux-phases pour la r´esolution d’un probl`eme n´ecessite une m´ethode d’optimisation mono-objectif pour chacune des fonctions objectifs. Dans le probl`eme F/perm, di/(Cmax, T ), chacun des objectifs pris seul est N P-difficile (au sens fort pour le Cmax et au sens faible pour T ). Puisqu’il n’existe pas de m´ethode efficace pour ces deux objectifs, nous avons d´ecid´e de d´evelopper une proc´edure de s´eparation et ´evaluation (PSE). Bien qu’il existe une m´ethode pseudo-polynomiale permettant de r´esoudre le probl`eme de retard total (min T ), les exp´erimentations ont montr´e que l’utilisation de cette m´ethode ´etait trop coˆuteuse en temps dans la PSE d´evelopp´ee. Aussi, nous avons propos´e, pour l’objectif du retard, une nouvelle borne inf´erieure [58].
2.4.2
Am´eliorations pour les probl`emes d’ordonnancement
Les probl`emes d’ordonnancement (mono ou multi-objectifs) ont la particularit´e d’avoir des solutions tr`es proches les unes des autres en terme de valeur de la (les) fonction(s) objectif(s). Il n’est par rare non plus de voir plusieurs solutions diff´erentes avoir exactement le mˆeme coˆut. L’une des cons´equences de cette remarque est que la recherche des solutions extrˆemes peut ˆetre tr`es longue. Aussi, nous proposons de rechercher ces extrˆemes en utilisant un ordre lexicographique sur les objectifs. Par exemple, pour rechercher la solution extrˆeme du front Pareto pour un objectif f1, cet objectif est tout d’abord optimis´e (sans tenir compte de l’objectif f2), puis en gardant la valeur obtenue pour f1, le deuxi`eme objectif est optimis´e. Une autre observation de ce type de probl`emes nous montre que les solutions support´ees ne sont pas forc´ement bien r´eparties sur le front (cf figure 1.3 du chapitre pr´ec´edent). Rappelons que l’int´erˆet de rechercher les solutions support´ees r´eside dans la r´eduction de l’espace de recherche pour la deuxi`eme phase. La question du compromis entre le temps pass´e `a la recherche des solutions support´ees et le temps gagn´e par un plus petit espace de recherche se pose. Lorsqu’il n’est pas coˆuteux de rechercher les solutions support´ees (existence d’une m´ethode polynomiale pour r´esoudre l’agr´egation), ce n’est pas un probl`eme. Par contre,
lorsque la m´ethode de r´esolution de l’agr´egation est de type exponentiel, il convient d’affiner la strat´egie. Ce que nous proposons dans ce cas est de ne pas ex´ecuter de premi`ere phase entre deux solutions support´ees trop proches l’une de l’autre. Ceci permet de gagner du temps que nous pouvons utiliser pour la deuxi`eme phase. Remarquons qu’il est possible de ne pas ex´ecuter toutes les recherches de type premi`ere phase, puisque la seconde phase est en mesure de trouver les solutions support´ees restantes. En effet, la recherche de type deuxi`eme phase entre deux solutions r et s n’est pas r´eellement restreinte au triangle (r, s, Y ) mais au rectangle (f2(r), O, f1(s), Y ) complet (voir figure 2.2.e). Ainsi, s’il existe une solution support´ee entre r et s non trouv´ee par la premi`ere phase (parce que les recherches auraient ´et´e arr´et´ees avant d’avoir termin´e la premi`ere phase), alors elle sera trouv´ee par la recherche de type deuxi`eme phase entre les solutions r et s.
2.4.3
Parall´elisation
La m´ethode deux-phases est une m´ethode naturellement parall`ele. En effet :
– Lors de la premi`ere phase, lorsqu’une nouvelle solution est trouv´ee, cela engendre deux nouvelles recherches ind´ependantes qui peuvent donc ˆetre r´ealis´ees en parall`ele.
– Lors de la deuxi`eme phase, les recherches au sein de chaque triangle sont ´egalement ind´ependantes.
Nous proposons donc d’adopter un mod`ele de parall´elisme de type maˆıtre-esclave. Un pro- cesseur sert de maˆıtre et distribue aux autres processeurs les sous-probl`emes (recherche de type premi`ere ou deuxi`eme phase) `a r´esoudre.
De plus, afin d’utiliser au mieux les ressources disponibles (P processeurs), nous proposons de lancer en parall`ele de la recherche des deux extrˆemes (ce qui occupe 2 processeurs), P−2−1 recherches uniform´ement r´eparties (voir fig 2.3), ce qui permet de trouver, si elles existent, des solutions support´ees situ´ees dans ces axes de recherche. Ainsi, d`es le d´ebut, diff´erentes recherches de solutions support´ees pourront ˆetre faites en parall`ele. Cela permet d’optimiser l’occupation des processeurs.
f1 f2
Fig. 2.3 – Optimisation du d´ebut de la m´ethode `a l’aide de recherches al´eatoires. Enfin, nous pouvons remarquer que les deux phases sont relativement ind´ependantes, puisque d`es qu’une premi`ere phase est termin´ee entre deux solutions support´ees, une deuxi`eme phase peut ˆetre lanc´ee entre ces deux solutions, sans que toutes les premi`eres phases soient finies.
Le maˆıtre g`ere donc une liste de priorit´es des tˆaches (sous-probl`emes) en donnant une plus forte priorit´e aux tˆaches correspondant aux recherches de type premi`ere phase (puisqu’elles peuvent g´en´erer de nouvelles recherches).
2.4.4
Application au probl`eme de Flowshop bi-objectif
Les am´eliorations propos´ees ainsi que le mod`ele de parall´elisation ont fait leurs preuves sur le probl`eme de flowshop bi-objectif (qui nous sert de probl`eme test). Cela a donn´e lieu `a une pr´esentation `a la conf´erence MOPGP’04 (Multi-Objective Programming and Goal Programming) [57] et `a un article dans la revue EJOR [58].
Instances Temps
M´ethode Avec Avec
originale am´eliorations parall´elisation (4 processeurs)
20× 5 (1) 6.5 sec 3.5 sec inutile
20× 5 (2) 3 mn 10 sec 2 mn 50 sec inutile
20× 10 (1) 27 h 12 h 8 h 15 mn
20× 10 (2) 18 h 4 mn 7 h 23 mn 4 h 30 mn
20× 20 (1) Non r´esolu Non r´esolu 7 jours
Tab. 2.1 – Temps d’ex´ecution des diff´erentes m´ethodes : Benchmarks de Taillard.
Le tableau 2.1 pr´esente pour des probl`emes de Taillard ´etendus au cas bi-objectif1, les diff´erents temps de r´esolution n´ecessaires en fonction de la m´ethode utilis´ee. Le probl`eme 20×5 (x) indique qu’il s’agit du xeme` probl`eme de Taillard `a 20 jobs et 5 machines. De mˆeme, le tableau 2.2 pr´esente les mˆemes r´esultats pour les Benchmarks de Reeves pour lesquels deux types de probl`emes ont ´et´e g´en´er´es. Les probl`emes sont dits faciles ou difficiles en fonction de la difficult´e d’optimiser l’objectif de la somme des retards dans le cas mono-objectif. Sont compar´ees ici :
– la m´ethode deux-phases initiale telle que propos´ee par Ulungu et Teghem,
– la m´ethode deux-phases avec les am´eliorations propos´ees (recherche lexicographique des extrˆemes et non ex´ecution de recherches de type premi`ere phase entre des solutions trop proches),
– la version parall`ele.
Ces tableaux illustrent bien l’apport des diff´erentes am´eliorations en terme de gain de temps d’ex´ecution. Notons d’ailleurs que la parall´elisation permet la r´esolution de probl`emes de Taillard de taille 20× 20, ce qui n’´etait pas le cas avec la m´ethode initiale.
1
Instances Temps
M´ethode Avec Avec
originale am´eliorations parall´elisation (4 processeurs) Instances Faciles
20× 5 (1) 53 sec 20 sec inutile
20× 10 (7) 3 mn 01 sec 35 sec inutile
20× 15 (13) 5 h 10 mn 2 h 09 mn 1 h 20 mn
20× 15 (17) 10 h 41 mn 6 h 01 mn 4 h
Instances Difficiles
20× 5 (1) 54 sec 39 sec inutile
20× 10 (7) 1 h 22 mn 32 mn 41 sec 15 mn 50 sec
Tab. 2.2 – Temps d’ex´ecution des diff´erentes m´ethodes : Benchmarks de Reeves.