Adaptation de la modélisation pour les cartes orien- orien-tées

Dans ce manuscrit, nous avons fait le choix de travailler avec le modèle topolo-gique des G-cartes. Comme expliqué dans l’état de l’art, ce choix est principalement motivé par l’ensemble des orbites existants dans les G-cartes et l’atomicité de ces orbites. Néanmoins, compte tenu du fait que les cartes orientées (version duale) ont régulièrement été utilisées pour la simulation physique de corps maillés, il est oppor-tun d’étudier comment la démarche que nous avons proposée peut être transposée à ces modèles. En réalité, les cartes orientées étant plus compactes en mémoire et proposant potentiellement moins d’orbites que les G-cartes, le principal challenge est de trouver des orbites de stockage qui permettent aux interactions d’identifier de façon non ambiguë les sommets d’application et où plusieurs forces de même nature mais de sources différentes ne soient pas à stocker dans le même plongement. Sans atteindre l’exhaustivité des différents cas d’interaction exposés dans ce chapitre, nous donnons néanmoins ici quelques pistes.

Figure 5.27 – Objet représenté avec une carte orientée.

Tout d’abord, pour certaines interactions, la transposition aux cartes orientées est assez immédiate. Typiquement, nous avons proposé que les ressorts d’élongation élémentaires soient stockés sur les arêtes de faces. Ces orbites ont un équivalent pour les cartes orientées duales, il s’agit du brin. De même, concernant les ressorts de cisaillement surfacique isotrope stockés, dans les G-cartes, dans les faces, les orbites hβ₁i peuvent être utilisées (voir figure5.27). Quant aux ressorts de courbure angulaires, ils sont portés par les orbites arêtes (en 2D) ce qui correspond aux orbites hβ₂i des cartes orientées. Citons enfin un dernier exemple, celui des ressorts de cisaillement volumique isotrope qui sont portés par les volumes, donc les orbites hβ₁, β₂i. Plusieurs interactions ou plongements de stockage de force se basent sur les sommets de volume. Ces plongement existent également dans les cartes orientées, mais nécessitent une composition de liaisons : hβ₁◦ β₂i.

Malheureusement, d’autres orbites, que nous avons utilisées dans les G-cartes, n’ont pas de correspondance directe en cartes orientées. Il faut alors trouver des adaptations pour gérer ces plongements. Prenons l’exemple du ressort de courbure

A B C ^D E F G (a) Objet A _B C ^D E F G

(b) G-carte (c) Carte orientée

Figure 5.28 – Modélisation des ressorts linéaires de Provot

linéaire de Provot placé entre les sommets A et E de la figure5.28(a)et qui contrôle la courbure le long de l’arête CD. Dans une G-carte, nous avons choisi d’enregistrer les caractéristiques du ressort dans l’extrémité C de l’arête CD (orbite hα₂i), comme le rappelle la figure5.28(b). Cette orbite n’a pas de correspondance directe en cartes orientées. car l’origine des arêtes est alors représentée par les brins eux-mêmes, comme le montre la figure 5.28(c)).

Sur cette figure, le ressort de Provot entre les sommets A et E est dû à l’articu-lation entre les faces F 1 et F 2, il est donc prévu dans notre méthode de stocker ce ressort sur l’arête formée par les brins 7 et 8. C’est néanmoins cette même arête qui sert à stocker un ressort de Provot entre les sommets B et F . Pour lever cette am-biguïté, sachant que les cartes orientées ne proposent pas l’orbite extrémité d’arête, nous proposons la convention suivante. Le brin 7, correspondant au sommet C in-termédiaire entre A et E, nous choisissons d’y stocker l’interaction qui les lie. Le brin 8 peut, de la même manière, stocker l’interaction entre B et F .

De même, nous proposons une convention analogue pour le stockage des ten-seurs, puisque ces plongements sont également à stocker aux extrémités d’arête. Dans notre exemple, le tenseur exprimant l’action du sommet C sur D par la face

F 1 peut être stocké dans le brin 7. Malheureusement, le tenseur exprimant l’action

dans l’autre sens, du sommet D sur le sommet C ne peut pas être stocké. En effet, le brin 8, l’autre brin de l’arête, est utilisé pour stocker l’influence de D sur C par la face F 2 et non la face F 1. Il existe alors deux possibilités : soit nous cumulons les tenseurs des faces incidentes à une même arête (par exemple, le brin 7 cumule la contribution de F 1 et F 2 aux actions de C sur D), mais nous n’avons plus l’in-formation atomique, ce qui peut compliquer la prise en charge des modifications topologiques, soit nous nous rappelons que les tenseurs entre sommets sont trans-posés l’un de l’autre et qu’il suffit de n’en stocker qu’un seul (l’action de D sur C s’obtient avec le transposé du tenseur stocké dans le brin 7).

Finalement, la principale limitation apparaît lorsqu’il s’agit de stocker les forces élémentaires dans les orbites brins des G-cartes (cas des ressorts d’élongation élé-mentaires, cas des ressorts de Provot, etc.) Aucune orbite ne leur est équivalente dans les cartes orientées, puisqu’un brin des cartes orientées regroupe deux brins des G-cartes. Il convient alors d’utiliser deux plongements différents, l’un pour mémori-ser les informations de l’origine du brin , et l’autre pour mémorimémori-ser les informations

5.4. conclusion 129

de l’autre extrémité du brin. Nous renonçons alors à une propriété importante, que nous avons exploitée dans le cadre des G-cartes : avec les cartes orientées, les forces appliquées à un sommet ne sont plus forcément stockées dans des sous-orbites du sommet.

Pour résumer, nous constatons que nous pouvons utiliser un modèle de cartes orientées en se basant sur certaines conventions voire des compromis. Par contre, le fait de choisir les cartes orientées nous oblige à travailler uniquement avec des objets globalement orientés. Or, les lois de la mécanique n’exigent pas une telles pro-priété d’orientation globale. Seule une orientation locale est nécessaire : par exemple, s’assurer que deux faces adjacentes ont la même orientation lorsqu’on traite leur ar-ticulation. Avec les G-cartes, il est possible de garantir une orientation locale, sans recourir à une orientation globale. Ainsi, il est possible de simuler mécaniquement une bande de Mœbius avec des G-cartes, mais cela n’est pas possible, en 2D, avec des cartes orientées. Convenons cependant que la majorité des objets à simuler sont orientables (la bande de Mœbius et les autres objets construits sur le même principe étant les seules exceptions).

5.4 conclusion

Dans ce chapitre, nous avons décrit les hypothèses utilisées dans notre travail pour simuler des différents objets maillés. Nous avons également présenté la mé-thodologie générale qui nous a permis de modéliser tout type d’interaction que l’on veut inclure dans notre plate-forme. L’utilisation de cette méthode nous garantit que toutes les informations nécessaires à la simulation peuvent être stockées dans le modèle topologique sans recours à des structures externes. Nous avons présenté la modélisation de chaque type d’interaction par un plongement, qui est porté par un type d’orbite des G-cartes, un sous-graphe dont le but est d’identifier les sommets d’application et des orbites pour stocker les forces calculées. Finalement nous avons montré que notre méthodologie peut être appliquée, moyennant quelques compro-mis, à d’autres modèles topologiques comme les cartes orientées.

Une fois les différents plongements définis dans l’objet maillé, nous pouvons procéder à la simulation de cet objet en utilisant le langage à base de règles de Jerboa.

Chapitre 6

Simulation avec le langage à