Les estimateurs d’erreur a posteriori sont souvent couplés à une procédure d’adaptation de maillage, qui consiste à modifier le maillage afin que la solution éléments finis soit plus précise pour un moindre coût de calcul. Les techniques d’adaptation de maillage reposent sur trois méthodes principales : la h-adaptation, la r-adaptation et la p-adaptation.
Remarque. Notons que ces méthodes permettent d’adapter les approximations en espace. Ces méthodes peuvent aussi être utilisées pour adapter les approximations en temps, ces dernières pouvant être assimilées à des approximations en espace pour un milieu unidimensionnel. Nous ne présenterons pas ici les schémas à pas de temps adaptatif car, dans le cadre de cette thèse, la formulation PGD séparation espace-temps sera utilisée et de ce fait le temps sera vu comme une variable d’espace unidimensionnelle.
• Dans la h-adaptation, seule la taille des éléments est modifiée, le degré d’interpolation des éléments est conservé mais la topologie du maillage (position, nombre de nœuds, connectivité) ne l’est pas. Cette méthode peut être mise en œuvre de deux façons différentes :
- le maillage initial est découpé. Cette méthode est connue sous le nom de méthode locale de h-raffinement/déraffinement [Babuska 1982] Le nouveau maillage est construit en subdivisant (par exemple au milieu) les éléments pour lesquels la valeur locale de l’erreur est importante. Les maillages obtenus sont quasi-uniformes. Cette méthode est bien adaptée pour capter les singularités.
- le maillage est complètement régénéré. Cette méthode est aussi connue sous le nom de méthode globale de h-remaillage [Ladeveze 1983]. Dans ce cas, on crée un nouveau
Méthodes de maillage adaptatif
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maillage sans lien avec le précédent. Un raffinement est utilisé dans les zones où l’erreur est importante et un dé raffinement dans le cas contraire. Cela mène à une distribution de l’erreur plus uniforme.
Un exemple de maillage obtenu avec la h-adaptation est donné FIG. A.III-1 ci-dessous.
FIG. A.III-1 Illustration de la h-adaptation avec raffinement non uniforme lors d’un problème d’écrasement d’un cube [Boussetta 2005]
• La méthode de r-adaptation [Carroll 1973] consiste à repositionner les nœuds du maillage sans en ajouter de nouveau et sans en modifier les connectivités. Le degré des fonctions d’interpolation est là encore conservé. La précision de la solution numérique est, dans ce cas, obligatoirement limitée au nombre de degré de libertés disponibles. La FIG. A.III-2 illustre un maillage uniforme et un maillage adaptatif obtenu par la r-adaptation pour le problème sur le contact de Hertz [Beal 2002].
Maillage uniforme
Maillage adaptatif
CHAPITRE A – METHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES
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• La méthode de p-adaptation ([Babuska 1981,1990] et [Szabo 1986, 1990]) consiste quant à elle à augmenter le degré des fonctions d’interpolation dans certaines zones en conservant le maillage initial, cela mène donc à plus de degrés de liberté avec toujours le même nombre d’éléments. Un avantage est que le maillage utilisé comporte peu d’éléments. Par contre, il est difficile de prévoir le degré d’interpolation à choisir pour respecter une précision donnée tout en minimisant le temps de calcul. L’inconvénient majeur est qu’il est difficile d’introduire ces méthodes dans des codes de calcul industriels, ces derniers possédant rarement des éléments de degré supérieur à 2. Un exemple de maillage obtenu par p-adaptation est donné sur la FIG.
A.III-3 ci-après.
FIG. A.III-3 p-adaptation [Boussetta 2005]
Les méthodes h et p peuvent être combinées dans l’adaptation de maillage et sont connues sous le nom de hp adaptation [Oden 1989].
Le critère d’adaptation le plus simple consiste à raffiner le maillage uniformément. Tous les éléments du maillage sont donc traités de la même manière. Cela mène à un nombre de degré de liberté très important. Les autres critères de raffinement sont les suivants :
- une valeur seuil absolue : Tous les éléments dont l’erreur est supérieure à cette valeur sont raffinés.
- une valeur seuil relative : Tous les éléments dont l’erreur est supérieure à un pourcentage de la valeur maximale sont raffinés.
- une fraction d’éléments : Un certain pourcentage d’éléments pour lesquels l’erreur est la plus importante sont raffinés.
D’autres méthodes d’adaptation de maillage, que nous ne présenterons pas ici s’appuient sur des techniques multigrille ou multirésolution. Des maillages avec plusieurs niveaux de densité croissante sont considérés. On peut citer la méthode AMR (Adaptive Mesh Refinement) [Berger 1984, 1989, Brown 2005] ou la méthode MLAT (Multi-Level Adaptive Method) [Brandt 1977] ou encore la méthode basée sur les ondelettes AWCM [Alam 2006, Vasilyev 1996, Vasilyvev 2005]. Le lecteur trouvera dans [Cohen 2002] une comparaison entre les méthodes de maillage adaptatif éléments finis et les méthodes basées sur les ondelettes.
Méthodes de maillage adaptatif
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Rappelons que, dans cette thèse, nous n’étudierons pas différentes méthodes de maillage adaptatif mais nous discuterons les différentes façons de coupler la méthode PGD avec une méthode de maillage adaptatif. En effet, comme dans le cadre de la méthode des éléments finis, il existe deux façons de coupler une méthode de maillage adaptatif : la première consiste à recalculer entièrement la solution et la deuxième consiste à continuer le calcul à partir de l’incrément où le maillage adaptatif a été nécessaire. L’efficacité de ces deux approches dépendant de la dépendance à l’histoire des problèmes étudiés [Ryckelynck 1998]. Dans le premier cas, le principal défaut est que le calcul doit être entièrement relancé. Dans le deuxième cas, la reprise du calcul nécessite le transport des variables d’état de l’ancien sur le nouveau maillage. Différents types de transport peuvent être utilisés [Boussetta 2005].
Dans le contexte de la PGD, la deuxième méthode consiste à conserver les modes obtenus pour continuer à rechercher les autres modes. Là aussi une interpolation des modes de l’ancien vers le nouveau maillage est nécessaire. Nous étudierons donc ces deux stratégies dans cette thèse.
CHAPITRE A – METHODES NUMERIQUES POUR LES PROBLEMES COUPLES
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