Adaptation des inputs du modèle

4.1.3.2.1 Adaptation des tables de scénarios économiques

Comme indiqué dans les parties 3.4.5 et 3.5.5, la mise en place d’une projection stochastique des spreads de crédit nécessite d’enrichir significativement les tables de scénarios économiques utilisées.

Pour le modèle JLT, les tables de scénarios économiques sont complétées avec :

 Pour chaque classe de notation, le niveau du spread pour chaque maturité et chaque pas de temps c’est-à-dire 7 « blocs » de 40x40 données pour chaque scénarios dans le cas d’une projection sur 40 ans de courbe de taux de maturité 40 pour les 7 classes de notation

« classiques » : AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC)

 Le niveau de la prime de risque à chaque pas de temps t

 Le niveau de l’intégrale de la prime de risque entre 0 et t pour chaque pas de temps t Pour le modèle LMN, les tables de scénarios économiques sont complétées avec :

 Pour chaque classe de notation, le niveau du spread pour chaque maturité et chaque pas de temps c’est-à-dire 7 « blocs » de 40x40 données pour chaque scénarios dans le cas d’une projection sur 40 ans de courbe de taux de maturité 40 pour les 7 classes de notation

« classiques » : AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC)

 Pour chaque classe de notation, le facteur de survie pour chaque pas de temps

Cet enrichissement des sorties des tables de scénarios économiques entraine une augmentation considérable de leur volumétrie.

Le tableau ci-dessous résume la volumétrie d’une table de scénario économique classique (i.e. sans modélisation des spreads de crédit) en supposant une projection jusqu’à 40 ans, des courbes de taux de maturité 40 ans et 3000 scénarios économiques :

Le tableau ci-dessous comptabilise la quantité de données supplémentaires à ajouter à la table de scénarios économiques dans le cas de l’utilisation d’un modèle JLT :

Volumétrie d’une table de scénario classique (ie sans modélisation des spreads de crédit)

Composantes de la table Quantité de données

Courbes des taux nominal (1 taux par maturité et par pas de temps pour

chaque scénario) 40x40x3000 = 4 800 000

Courbes des taux réel (1 taux par maturité et par pas de temps pour

chaque scénario) 40x40x3000 = 4 800 000

Rendement des actions (1 rendement par pas de temps pour chaque

scénario) 40x3000 = 120 000

Rendement de l’immobilier 40x3000 = 120 000

TOTAL 9 840 000 données

Le tableau ci-dessous comptabilise la quantité de données supplémentaires à ajouter à la table de scénarios économiques dans le cas de l’utilisation d’un modèle LMN :

L’intégration des spreads de crédit multiplie par un facteur supérieur à 4 la volumétrie de la table de scénarios économiques. Ce phénomène est à prendre en compte lors de la mise en place d’un tel modèle. En effet, les temps de chargement et de traitement de ces tables au sein des modèles ALM peuvent être significativement augmentés. Il est nécessaire ensuite de manipuler ces tables par approche matricielle (et non ligne à ligne) afin de limiter les temps de calcul.

4.1.3.2.2 Autres inputs

En plus des informations transmises au sein de la table de scénarios économiques, les données suivantes doivent également être passées en input du modèle :

 Pour le modèle JLT, la matrice de transition initiale qui sera choquée dans chaque simulation à partir de la prime de risque π

 Le taux de recouvrement des obligations en défaut. Ce taux doit correspondre à celui pris en compte au moment du calibrage.

4.1.3.2.3 Préparation des données – Cas du modèle JLT

Dans le cas du modèle JLT, il est nécessaire de reconstituer les matrices de transition de chaque simulation à partir de la matrice de transition initiale et des primes de risque projetées à chaque date (ainsi que de leur valeur intégrée). Ces matrices peuvent être calculées une fois pour toutes en début

Volumétrie d’une table de scénario intégrant la modélisation des spreads de crédit – modèle JLT

Composantes de la table Quantité de données

Taux nominaux, taux réel, actions et immobilier (cf. ci-dessus) 9 840 000 Spread de crédit pour chaque classe de notation, chaque maturité et

chaque pas de temps 7x40x40x3000 = 33 600 000

Prime de risque 40x3000 = 120 000

Intégrale de la prime de risque 40x3000 = 120 000

TOTAL 43 680 000 données

Volumétrie d’une table de scénario intégrant la modélisation des spreads de crédit – modèle LMN

Composantes de la table Quantité de données

Taux nominaux, taux réel, actions et immobilier (cf. ci-dessus) 9 840 000 Spread de crédit pour chaque classe de notation, chaque maturité et

chaque pas de temps 7x40x40x3000 = 33 600 000

Facteur de crédit pour chaque notation et chaque pas de temps 7x40x3000 = 840 000

TOTAL 44 280 000 données

de projection et stockées en vue des calculs futurs (cela évite d’avoir à les recalculer à chaque valorisation obligataire ce qui augmenterait significativement les temps de calcul).

On calcule et stocke :

 l'ensemble des matrices de transition à la date d'évaluation, pour tous les horizons (années entières) et toutes les trajectoires,

 l'ensemble des matrices de transitions d'horizon une demie année, pour toutes les années de projection et toutes les trajectoires.

Calcul des matrices de transition d'horizon 1 an

Les matrices de transition d'horizon 1 an correspondent aux matrices de probabilités de transition d'un état à un autre entre deux années consécutives.

Notations :

 D la matrice diagonale

 Σ la matrice de transition

 λ(m,l) l'integrated value de la période m et la trajectoire l (information en lecture directe des scenarios)

 Q(m,l) la matrice de transition entre m et m+1, pour la trajectoire l

La i-ème ligne de la j-ème colonne de la matrice Q(m,l) correspond à la probabilité de passer de l'état (notation ou état de défaut) i à l'état j entre les périodes m et m+1.

Formule de calcul :

𝑄

= Σ ⋅ exp (𝜆

⋅ 𝐷) ⋅ Σ

Calcul des matrices de transition à la date d'évaluation pour tous les horizons

Les matrices de transition d'horizon supérieur à 1 an s'obtiennent par multiplication des matrices de transition d'horizon 1 an.

Notations :

 Q(m,l) la matrice de transition entre m et m+1, pour la trajectoire l

 𝑄̃_{(0,𝑘,𝑙)} la matrice de transition entre 0 et k, pour la trajectoire l

Formule de calcul :

𝑄̃

= ∏ 𝑄

Output :

Les matrices de transition à la date d'évaluation sont stockées dans une matrice à 4 dimensions Ω(i,j,k,l), où :

 i désigne la notation initiale,

 j la notation future probable,

 k l'horizon,

 et l la trajectoire.