ACTIVIT E ´ DE ARGON :

On étudie l’activité d’un échantillon d’Argon (⁴¹₁₈A_r) en mésurant le nombre de désintégration pendant une durée de 5s. Les résultats de quelques mésures sont dans le tableau suivant :

Date(min) 0 3 10 20 30

∆N 2150 2109 2017 1892 1775

1-) L’argon ⁴¹₁₇A_r est émetteur β⁻. Ecrire l’équation de la désintégration sachant que le symbole du noyau fils est (K).

2-) Définir Activité et complˆeter le tableau suivant.

Date(min) 0 3 10 20 30

Activit_acutee(Bq) Ln(^A_A⁰)

3-) Tracer la courbeL_n(^A_A⁰) =f(t)

4-) En déduire de la courbe la valeur de la constante radioactive.

5-) Définir la démi-vie et déterminer sa valeur T

6-) Au bout de quelle durée l’activité est-elle divisée par 8 ? EXERCICE 6** :

1-) DATATION AU ¹⁴C (CLASSIQUE) :

les végétaux absorbent le CO₂ pas photosynthése (ou par les racines,...), celui-ci est composé de¹²C et de¹⁴C; le prémier est stable, le second radioactifβ⁻.

On suppose que le proportion de ¹⁴C par rapport au ¹²C est1×10⁻¹², ¹⁴C étant régénéré dans haute atmosphére par la réaction :

14

7 N + particule → ¹⁴₆ C +¹₁H

1-) Identifier la particule de l’équation précédente.

2-) Ecrire l’équation de la réaction que subit le carbone 14.`

3-)Expliquer pourquoi on peux dater certains vestiges par la mesure de l’activité du ¹⁴C.4-)Calculer l’ˆage maximale des objets identifiable par cette méthode en supposant que la proportion minimale de

14C mésurable soit de 10⁻¹⁵ par rapport au¹²C.

5-) Indiquer deux raisons qui explique qu’on n’utilise pas cette méthode pour mésure l’ˆage des roches trés anciennes.

Donneés : t_1/2(¹⁴C)=5730 ans

1-) COMPARAISON D’ACTIVITE´S :

1-) Comparer les activités initiales d’un milligramme de ³⁹₁₇Cl (émetteur β⁻,t_1/2 = 1h) et d’un Kilo-gramme de ¹¹³₄₈ Cd(émetteur β⁻, t_1/2 = 9×10¹⁵ ans).

2-) Calculons la masse de radionucléides nécessaires pour obtenir une activité initiale de 1GBq avec

24

11N a,²²⁶₈₈ Ra et²³⁸₉₂ U.

Donneés : t_1/2(²⁴₁₁N a) = 14,960h ;t_1/2(²²⁶₈₈ Ra) = 1600ans; t_1/2(²³⁸₉₂ U) = 4,468×10⁹ans.

EXERCICE 7** :

Le polonium 210 se désintègre pour donner du plomb 206 avec une demi-vie de 188 jours. La mesure de l’activité d’un échantillon donne A=7,2.10⁸Bq.

1-) Ecrire l’équation de cette désintégration.`

2-) Calculer la constante radioactive du polonium 210 enJ⁻¹ et s⁻¹.

3-) Quel est le nombre moyen de noyaux radioactifs présents dans l’échantillon au moment de la me-sure ? Quelle est la masse de polonium correspondante ?

168 le Principe en physique au baccalauréat C

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

4-)Quelles seront les activités de l’échantillon aprés un an ? Aprés 10ans ? On donne : M_p0 = 210g/mol; N_A= 6,02.10²³mol⁻¹; Z(P₀) = 84; Z(P_b) = 82.

EXERCICE 8*** :(UNE RELATION GENERALE)

A1

Z1X₁+^A_Z²

2 X₂ −→ ^A_Z³

3X₃+^A_Z⁴

4 X₄ 1-)Montrer que : P

E_e

aprs

−P E_e

avant

=−(m_aprs−m_avant)c².

2-) A` l’aide d’un diagramme énergétique simple, et en utilisant la définition de l’énergie de liaison, retrouver la relation précédente.

3-)Vérifier cette relation pour la réaction2²₁H −→ ⁴₂H_e

Données :E_e(²₁H) = 2,225M eV ; E_e(C) = 28,295M eV ; m(²₁H) = 2,01410u; m(⁴₂H_e) = 4,00260u.

EXERCICE 9*** : A` haute altitude, l’azote ¹⁴₇ N se transforme en carbone ¹⁴₆ C sous l’effet du bombardement par des neutrons.

1-)Ecrire l’équation de cette réaction.´

2-)sachant que le carbone ¹⁴₆ C est radioactif β⁻, donner l’équation de sa désintégration au cours de laquelle se forme également un neutrino.

3-) La demi-vie ou période du carbone 14 est T = t_1/2 = 5590annes. Les plantes vivantes assimilent le carbone dans l’atmosphère. A leur mort, le processus d’assimilation s’arrˆete. Un échantillon de bois préhistorique donne 197 désintégartions par minute. Un échantillon de mˆeme masse de bois récent donne 1350 désintégrations par minute. Donner une estimation de l’ˆage du bois préhistorique.

SOLUTIONS

EXERCICE 1:1-)Avec la classification périodique, on fait correspondre Z et le symbole (exemple : Z=3 correspond à 3Li).

Les particules émises sont :⁴₂He ou⁰₋₁e ouβ⁻ ,⁰₁e ouβ⁺ , ⁰₀y ou y.

On applique la conservation du nombre de charges et du nombre de nucléons.Le symbole * correspond à un état exité (trés exité pour **), donc émission d’un y (ou de deux y) a)(Explication détaillées)

226

88 R_a −→ ²²²₈₆ R_n + ^A_ZX car Z = 86 correspond à R_n

conservation de A: 226 = 222 +A conservation de Z : 88 = 86 +Z soit donc il s’agit d’une particuleα.

d’où ²²⁶₈₈ R_a −→ ²²²₈₆ R_n + ⁴₂H_e (α).

De mˆeme :

b)⁸⁷₃₈S_r^∗ −→⁸⁷₃₈Sr + ⁰₀y (y)

c)⁹⁹₄₂M_o −→ ⁹⁹₄₃T_c^∗ + ⁰₋₁e (β⁻)puis

99

43T_c^∗ −→⁹⁹₄₃T_c + ⁰₀y (y) d)⁶⁸₃₁G_a −→ ⁶⁸₃₀Z_n +⁰₁e (β⁺) e)²¹⁴₈₂ P_b −→²¹⁴₈₃ B_i + ⁰₋₁e (β⁻) f )²²₁₁N_a −→ ²²₁₀N_e +⁰₁e (β⁺) g)³₁H −→ ³₂H_e + ⁰₋₁e (β⁻) h)¹⁷⁴₇₂ H_f −→ ¹⁷⁰₇₀ Y_b +⁴₂H_e (α) i) ⁵³₂₆F_e −→ ⁵³₂₅M_n +⁰₁e (β⁺)

j)⁸⁷₃₆K_r^∗∗ −→ ⁸⁷₃₆K_r + 2 ⁰₀y (y×2) (ou en deux étape,avec K_r^∗)

2-) 1-) Réaction entre deux noyaux légers−→ fusion −→ provoquée.

2-)Réaction entre un noyau lourd et 1 neutron −→fission −→ provoquée 3-)Désexcitation et formation de ⁰₀y −→ émission y−→ spontanée.

4-)Formation de ⁰₁e −→émission β⁺ −→ spontanée.

5-)Formationn de ⁴₂H_e −→ émission α −→spontanée.

6-)Formation de ⁰₋₁e −→émission β⁻ −→ spontanée.

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

•nuclons(protons+neutrons) =A= 12

2-) •L’interaction gravitationelle est trés négligeable devant l’interaction électrostatique.

• L’interaction électrostatique est répulsive entre protons (de mˆeme charge non nulle) et inexistante entre neutron et neutron, ou neutron et proton (car le neutron n’est pas chargé).

• Seule l’interaction forte explique la cohérence du noyau (et elle n’agit qu’à trés faible distance).

3-) ¹⁴₆ C va réagir (émission des particules α, β⁺, β⁻, y) afin d’acquerir une structure plus stable.

CommeZ = 6 est faible (Z≤20) et N=A-Z=14-6=8 vérifie N>Z, le radionucléide sera émetteur β⁻ a priori : ¹⁴₆ C −→¹⁴₇ X +⁰₋₁e; à l’aide d’une table périodique, on trouve que Z=7 correspond a l’azote :

14

6 C −→ ¹⁴₇ N + ⁰₋₁e

4-) ¹⁰₆ C :de mˆeme, N=10-6=4 et Z=6 donc N<6 : émissionβ⁺ (à priori) ;

106 C −→ ¹⁰₅ X + ⁰₁e donc Z=5 correspond au bore ¹⁰₆ C −→ ¹⁰₅ B + ⁰₁e

5-)Les émetteurs sont émis en générale par les atomes qui ont un nombre Z élevé (Z≥60) : C ne peut pas etre un émetteurˆ α (à priori). 1-) 1-) Z=4 et N=A-Z=10-4=6

Donc 4 protons et 6 neutrons.

2-) ∆m= [Z.mp+ (A−Z)mn]−m(noyau) Variation relative : _m^∆m

avant = _m(R^∆m

a) = 2,3×10⁻⁵ (0,0023%)

3-) Elib(M eV) = ∆m(u)×932,5 = 4,87M eV soit Elib= 7,80×10⁻¹³J Rappel : 1MeV=10⁶eV = 1,602×10@−13J

4-) Quantité de noyaux dans 1g.

N =n(mol)×N_A= _M^m ×N_A E_total =E_lib×N =E_lib×_M^mN_A

A.N : E_total =E_lib×_226×10¹⁰⁻³−3 ×6,022×10²³ Donc E_total= 1,30×10²²M eV = 2,08×10⁹J B-)1-)Loi de décroissance radioactive : N(t1) = N0.e^−λt1 donc ^N(t_N¹⁾

0 = e^−λt1 donc ln^N_N^(t1)

0 = −λt1 donc λ = −_t¹

1.ln^N_N^(t1)

0 et N(t) = 0,1×N0

(90% des nucléides ont disparu, il en reste 10% soit 0,1N₀) d’où : ^N(t_N¹⁾

170 le Principe en physique au baccalauréat C

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

Bilans:

238 = 206 + 4a+ 0 92 = 82 + 2a−b soit

a = 8 b = 6

8 particulesα et 5 particules β⁻ sont émises.

B-) 1-) N(t)=N₀e^−λt =N₀e^{−ln2T t} =N₀(e^ln2)^−Tt → N(t) =N₀ ×2^−Tt soit N(t) = ^N0

2^Tt

si t et t_1/2=T sont dans la mˆeme unité, alors _T^t est adimensionnel. Donc 2^Tt peut se calculer (mais 2^1s ne veut rien dire !)

2-)T=8 jours. On exprime t en jours et alors _N^N

0 = ¹

2^t(jours)8

Exemple : _N^N

0(8jours) = ¹

2⁸⁸ = ₂¹1 = 0,5soit 50%

Dur´ee(j) 8=8×1 16 = 8×2 32 = 8×4 365(an)

Fraction 1/2 1/2² 1/2⁴ 1/2^(365/8)

Pourcentage 50% 25% 6,25% 1,8×10⁻¹²% C-) 1-)1u=₁₂¹m(atome ¹²C) = ₁₂¹ × ^M(atome_N ^14C)

A = ₁₂¹ × _6,02214×10^12×10−323 soit 1u=1,66054×10⁻²⁷kg 2-)E(J)=m(kg)×c² devient E(M eV)×(1,6×10⁻¹³) = m(u)×(1,66×10⁻²⁷)×c²

doncE(M eV) = m(u)×[(1,65054×10⁻²⁷)×(2,99792×10⁸)² 1,60218×10⁻¹⁹ ] doncE(M eV) = m(u)×931,49

pour l’application numérique, on utilise les valeurs les plus précises données dans l’énoncé.

On en déduit que si m=1u, alors E = 931,49M eV donc, comme m = _c^E2, 1u=_c^E2 = ^{931,49M eV}_c2 Donc 1u=931,49M eV.C⁻²

3-)m_p = ^1,67262×10_1,66054×10⁻²⁷−27 '1,00727u →m_p = 1,00727×931,49M eV.c⁻² = 938,27M eV.c⁻² E(M eV) =m(M eV ×c⁻²)×c⁻² = (938,27M eV ×c⁻²)c² = 938,27M eV.

EXERCICE 5:A-) 1-) A s’exprime en becquerel : 1Bq correspond à 1 désintégration par seconde.

2-)Avec la tangente à l’origine, on lit directement ρ= 11,7jours = 1,0×10⁶. Y =t_1/2 =ln2×ρ= 7,0×10⁶s etλ= ¹_ρ = 9,9×10⁻⁷s⁻¹

3-)A₀ =A(t= 0) = 10⁶Bq (par lecture graphique) et N₀ =A₀/λ=A₀ ×ρ= 1,0×10¹². 4-)A(t) = A₀e^−ρt =A₀.ρe^−ρt

5-)A(1an) = 10⁶×exp(⁻³⁶⁵_11,7 ) = 2,8×10⁻⁸Bq

N(1an) = 10⁶×(1,0×10⁶)×exp(⁻³⁶⁵_11,7 ) = 2,8×10⁻² <1noyau

Au bout d’un an, le patient n’a plus d’iode 131 provenant de cette injection dans son organisme.

B-) 1-) Equation de la désintégration : ⁴¹₁₈A_r −→ ⁰

1e+⁴¹₁₉K

2-)L’activité est la diminution du nombre de noyau par unité de temps : A=−^∆N_∆t Complétons le tableau :

Date(min) 0 3 10 20

∆N 2150 2109 2017 1892 A(Bq) 430 421,8 403,4 378,2 Ln(^A_A⁰) 0 0,02 0,063 0,130

3-)Courbe Ln(^A_A⁰) =f(t)

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

4-) Valeur de la constante radioactive (λ).

La courbe est une application linéaire de la forme y=ax⇒ln(^A_A⁰) =λtoùλ est le coefficient directeur ou pente.

λ= ^∆(ln

A0 A)

∆t = ^0,063−0,02_(10−3)×60 ⇒ λ= 10⁻⁴s⁻¹

5-) Temps de demi-vie (T=t_1/2) : T = ^ln2_λ A.N : T=1h55min32s.

6-) Durée de l’activité lorsqu’elle est divisée par 8 :

on a : A= ¹₈A0, or A=A0e^−λt ⇒ ¹₈A0 =A0e^−λt ⇒ ¹₈ =e^−λt ⇒ t= ^ln8_λ . A.N : t=20793 secondes'6heures

EXERCICE 6 :A-) 1-) ¹⁴₇ N + ⁿ_pX → ¹⁴₆ C +¹₁H conservation du nombre de charges et de nucléons







14 +n = 14 + 1 7 +p= 6 + 1

soit





 n= 1

p= 0

1

0X est donc un neutron : ¹₀n 2-) ⁴₆C −→ ⁰₋₁e+¹⁴₇ N (émission β⁻)

3-)Lorsqu’un organisme vivant meurt, il arrˆete d’absorber du carbone. La quantité de¹²Cest constante puis qu’il est stable, en revanche ¹⁴C diminue (il est instable).

Le rapport[^N(_N(¹⁴12^C)C)] =α(t)vautα₀ = 10⁻¹² à la mort de l’organisme, puis il décroit (loi de décroissance radioactive).

4-) N(¹⁴C)(t) =N(¹⁴C)(t= 0)e^−λt (λ de¹⁴C) et N(¹⁴C) =Cte donc [^N(_N(¹⁴12^C)C)]_t=[^N_N⁽₍¹⁴12^C)C)]_t=0.e^−λt α(t) = α0.e^−λt d’où t=−_λ¹ln^α(t)_α

0 = ^t_ln2^1/2.ln_α(t)^α0

172 le Principe en physique au baccalauréat C

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

Avecα(t_max) = α_min, on obtient : t_max = ^t_ln2^1/2.ln_α^α0

min

A.N :tmax = ⁵⁷³⁰_ln2 ×ln¹⁰₁₀⁻¹²−15 ' 57000 ans.

5-)Il ne s’agit pas d’ˆetres vivants, et elles ont beaucoup plus de 57000 ans.

B-) 1-) A₀ =α.N₀ = (^ln2_T )(n₀.N_A) = (^ln2_T ).(^m_M⁰.N_A) = (ln2.N_A).(_M.T^m0 ) (n=quantité de matiére(mol) et N=nombre de adionucléides)

A0(Cl)

A0(Cd) = ^m_m^{0(Cl)M(Cd)T(Cd)}

0(Cd)M(Cl)T(Cl) (Unités : il suffit que les rapports soit adimentionnels) A.N : _A^A0(Cl)

0(Cd) = ¹⁰₁⁻⁶ ×¹¹³₃₉ × ^{(9×1015×365×24)}₁ '2,3×10¹⁴

L’activité initiale de Cl est environ10¹⁴ fois plus grande que celle de Cd.

2-)D’aprés 1-) :m₀ = _ln(2).N^A0.M.T

A

m0(²⁴NA) = ^{109×(24×10−3})×(14,96×3600)

ln(2)×(6,02×10²³) = 3,1×10¹²kg Doncm0(²²⁶Ra) = 2,7×10⁶⁵kg;m0(²³⁸U) = 80kg.

EXERCICE 7 :1-)Equation-Bilan : ²¹⁰₈₄ P_O −→ ⁴₂H_e+²⁰⁶₈₂ P_b 2-)Constante radioactive : λ= ^ln2_T

A.N :λ = ^ln2₁₃₈ = 5.10⁻³J⁻¹ ouλ= _24×3600^5.10−8 = 5,78.10⁻⁸s⁻¹ 3-)• Nombre de noyaux : on a : A=λN ⇔ N = ^A_λ A.N :N = _5,787.10^7,2.108−8, soit N = 1,24.10¹⁶noyaux.

•Masse de polonium : on a N = _M^mN ⇔ m= ^N.M_N

A.N :m = ^1,24.10_6,02.10^16×21023 = 4,34.10⁻⁶ Donc m= 4,34.10⁻⁶g 4-)• Activité aprés un an.

On a :A=λN e^−λt avect = 1×365×24×3600 = 3,1536.10⁷s

A.N :A= 5,787.10⁻⁸×1,24.10¹⁶exp(−4,787.10⁻⁸×3,1536.10⁷) DoncA= 1,15.10⁸Bq

•Pour 10 ans, A=8,51Bq.

EXERCICE 8 :1-)Par conservation du nombre de charges et du nombre de nucléons :







Z₁ +Z₂ =Z₃+Z₄ A₁+A₂ =A₃+A₄

∆ =P

apr´esE_l−P

avantE_l

=(El3+El4)−(El1+El2)

=[(∆m3 + ∆m4)−(∆m1+ ∆m2)]c²

=[[Z₃m_p+ (A₃−Z₃)m_n−m(X₃)] + [Z₄m_p+ (A₄−Z₄)m_n−m(X₄)]−[Z₁m_p+ (A₁−Z₁)m_n− m(X₁)]−[Z₂m_p+ (A₂−Z₂)m_n−m(X₂)]]c²

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

=[(Z₃+Z₄−Z₁−Z₂)(m_p−m_n) + (A₃+A₄−A₃−A₂)m_n+ [m(X₁) +m(X₂)_m(X₃)−m(X₄)]]c²

=[m(X₁) +m(X₂)−m(X₃)−m(x₄)]c²

=(m_avant −m_apr´es)c²

Donc P

apr´esEl−P

avantEl =−(maprs−mavant)×c²

2-)E_l est l’énergie à fournir à un noyau pour séparer ses nucléons. On a alors (diagramme réalisé pour m_apr´e< m_avant). P

apr´esE_l−P

avantE_l = (m_avant =m_apr´es)×c² ce qui revient au mˆeme.

3-) P

El_apr´es−P

Elavant =Ee(⁴₂He)−2×Ee(²₁H) = 28,295−2×2,225 = 23,85M eV (m_avant−m_apr´es)×c² = (2×2,01410−4,00260)×931,5 = 23,85M eV

Donc P

E_lapr´es−P

E_lavant = (m_avant−m_apr´es)×c²

EXERCICE 9 :1-)Il est facile de voir qu’on a à faire à une émissionβ⁺. Donc l’équation est :¹⁴₇ N

−→ ¹⁴₆ C+⁰₁e

2-)La manière la plus simple de concevoir un neutrino est de l’imaginer comme un électron qui aurait perdu sa charge électrique.

Le neutrino est avec l’électron l’un des deux acteurs de la radioactivité bˆeta(β), mais un acteur invisible car indétectable, on le note (V).

On obtient donc l’équation : ¹⁴₆ C −→¹⁴₇ N +⁰₋₁e+V.

3-)Ce probléme peut s’interprété comme suit :On a mesuré l’activité d’un échantillon de bois juste après sa mort (activité mesurer sur le bois récent A(t=0)=1350Bq) puis aprés un temps t aprés sa mort (Activité mesurer sur le bois préhistorique A(t)=197Bq)

On sait que : A(t) = A₀e^−λt ⇔ ^A(t)_A

0 =e^−λt ⇔ ln(^A(t)_A

0 ) = −λt t=−_λ¹ln(^A(t)_A

0 ).

174 le Principe en physique au baccalauréat C

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

Or T = ^ln(2)_λ =⇒ λ= ^ln(2)_T d’où t=−_ln(2)^T ln(^A(t)_A

0 ) A.N :t =−5590×365×24×3600

ln(2) ln(₁₃₅₀¹⁹⁷) on trouve t=4,8949×10¹¹s Donct=15521 années 15 jours 93 heures 9 minutes 2 s

CHAPITRE 10. LA RADIOACTIVITE

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