Activité cardiovasculaire comme mesure de l’effort

2. Etat de la question

2.3 Activité cardiovasculaire comme mesure de l’effort

Outra forma de obtermos as leis de escala para as fun¸cões de vértice consiste em considerar o sistema acima da temperatura do ponto cr´ıtico. Na teoria massiva, a massa renormalizada passa a ser o parâmetro livre nas condi¸cões de normaliza¸cão enquanto que λ e Λ permanecem fixos. Portanto, semelhantemente ao realizado na teoria sem massa, derivamos a expressão (2.130) com rela¸cão a ln m mantendo λ e Λ fixos

m ∂ ∂m λ,Λ Γ(E,L)_R (ki, pj; m2, g) = m ∂ ∂m λ,Λ h Z_ΦE/2Z_ΦL2Γ(E,L)(ki, pj; µ2, λ, Λ) i . (2.174) ´

E importante lembrar que o lado direito da expressão acima depende implicitamente de m. Após algumas manipula¸cões matemáticas, chegamos nas equa¸cões de Callan-Symanzik

m ∂ ∂m + β(u) ∂ ∂u − E 2γΦ(u) + LγΦ2(u) Γ(E,L)_R (ki, pj; u, m) = m2[2 − γΦ(u)] Γ (E,L+1) R (ki, pj, 0; u, m). (2.175)

As fun¸cões de Wilson são novamente dadas pelas equa¸cões (2.149a-2.149c). Porém, u0, ZΦ e

ZΦ2 são obtidos através das condi¸cões (2.132a-2.132d) e estão em fun¸cão de m, u e Λ, como

visto anteriormente.

As equa¸cões de Callan-Symanzik são o equivalente massivo das equa¸cões do grupo de renormaliza¸cão na teoria sem massa. No entanto, a homogeneidade, como podemos perceber, foi perdida devido à presen¸ca da fun¸cão Γ(E,L+1) _{no lado direito da equa¸c˜}_{ao. Consequentemente,}

n˜ao teremos mais a invariˆancia de escala no limite infravermelho, como acontece na teoria sem massa. Por outro lado, se considerarmos o limite ultravioleta (ki

m → ∞), podemos fazer (2.175)

homogênea e teremos uma equa¸cão análoga a (2.148). De fato, como os diagramas em Γ(E,L+1)

possuem um propagador a mais do que Γ(E,L)_{, podemos desprezar Γ}(E,L+1) _{no segundo termo}

de (2.175) no limite ultravioleta. Isso ´e uma consequˆencia do teorema de Weinberg, o qual afirma que quando os momentos externos tendem uniformemente a infinito, diagramas com um propagador a mais decaem mais rapidamente do que aqueles sem o correspondente propagador.

Portanto, no limite ultravioleta, teremos a equa¸cão (2.175) na sua forma homogênea. Vale res- saltar que a inser¸cão de campo composto que aparece em Γ(E,L+1) _{ocorre em momento externo}

nulo.

As fun¸cões de Wilson são novamente calculadas através de (2.149a-2.149c), cujos coeficientes são agora dados em termos das integrais de Feynman calculadas com os momentos nulos e a massa m diferente de zero. No entanto, o novo ponto fixo u∞ obtido através de β(u∞) = 0 não

possui mais a mesma estabilidade do seu correspondente u∗ na teoria sem massa. A invariância de escala no regime ultravioleta da teoria é obtida apenas com a constante de acoplamento exatamente no ponto fixo (u = u∞). Os expoentes cr´ıticos η e ν são então obtidos através da

substitui¸cão de u∞ nas equa¸cões (2.159) e (2.172), isto é,

η = γΦ(u∞) = (N + 2) 2(N + 8)2 2 1 + 6(3N + 14) (N + 8)2 − 1 4 . (2.176)

Temos tamb´em que

ν−1 = 2 − γ_Φ2(u∞) − η. (2.177)

Sendo assim, temos

ν = 1 2 + N + 2 4(N + 8) + (N + 2)(N2_{+ 23N + 60)} 8(N + 8)3 2 . (2.178)

Ressaltamos que pelas rela¸cões de escala da teoria podemos obter todos os outros expoentes cr´ıticos a partir desses dois. Note também que para = 0, reca´ımos nos expoentes cr´ıticos calculados pela teoria de campo médio.

E importante mencionar que, apesar dos diferentes valores entre u∗ e u∞, e as diferen¸cas

entre as fun¸cões de Wilson nas teorias massiva e sem massa, o que é devido às diferentes solu¸cões das integrais de Feynman nos dois casos, os resultados para η e ν são os mesmos, o que podemos expressar da seguinte forma

[γΦ(u)(Sem massa)]

u=u∗ = [γΦ(u)(M assivo)]

u=u∞, (2.179)

[γ_Φ2(u)_{(Sem massa)}]

u=u∗ = [γΦ2(u)_{(M assivo)}]

u=u∞. (2.180)

As igualdades acima trazem à tona uma certa insatisfa¸cão com respeito à conjectura de que a teoria massiva pode ser aplicada em sistemas finitos e a teoria sem massa não. Como veremos a partir do próximo cap´ıtulo, essa impossibilidade de utiliza¸cão da teoria sem massa não ocorre.

Tamanho finito e condi¸c˜oes de

contorno peri´odicas e antiperi´odicas

3.1 Introdu¸c˜ao

Ao introduzir uma restri¸cão espacial através do confinamento de um campo em um volume delimitado por superf´ıcies planas e paralelas separadas por uma distância L, é poss´ıvel observar modifica¸cões significativas no comportamento cr´ıtico do sistema, quando comparado com o sistema no limite L → ∞ (sistema infinito). Esses efeitos se manifestam principalmente na forma de uma mudan¸ca na temperatura cr´ıtica, na altera¸cão da amplitude de quantidades termodinâmicas (calor espec´ıfico, susceptibilidade, etc) e na forma como os expoentes cr´ıticos mudam a sua dependência com a dimensão espacial d [40, 79].

Em meados da década de 80, Nemirovsky e Freed (NF) introduziram o formalismo de teoria de campos no espa¸co dos momentos para descrever fenômenos cr´ıticos em sistemas com pelo menos uma dimensão espacial finita [37, 38]. Tal trabalho foi de grande importância na área teórica da f´ısica da matéria condensada, pois, até então, era disseminada a ideia da impossibilidade da aplica¸cão de métodos perturbativos para tratar fenômenos cr´ıticos em sistemas finitos [39]. No entanto, NF mostraram que quantidades universais, como por exemplo os expoentes cr´ıticos, podem, de fato, ser escritas em termos de expansões em = 4 − d, onde d é a dimensão do sistema e d = 4 é a dimensão cr´ıtica na teoria λφ4_.

A realiza¸cão mais simples do sistema estudado por NF em um espa¸co com d dimensões, o qual será também o nosso ponto de partida, consiste no modelo de Ising d dimensional delimitado por duas hiper-superf´ıcies planas de extensão infinita em um subespa¸co com d − 1 dimensões e separadas por uma distância L. O sistema é descrito por uma teoria de campos escalares com simetria O(N ) e intera¸cão Φ4_{, da mesma forma como aquele modelado pela}

densidade lagrangiana tradicional de Φ4 _{(2.31). Cada componente do parˆ}_{ametro de ordem}

está então sujeita a restri¸cões nas superf´ıcies na forma de condi¸cões de contorno que podem ser periódicas, antiperiódicas, de Dirichlet ou de Neumann, ou até mesmo mistas. Convém observar

que, sendo o volume do sistema ainda infinito, podemos continuar falando em transi¸c˜oes de fase com expoentes cr´ıticos descrevendo as singularidades do comprimento de correla¸c˜ao, calor espec´ıfico, etc, da mesma maneira que descrevemos no cap´ıtulo 2.

Na formula¸cão original de NF com campos massivos, o limite de massa nula não era bem compreendido. A origem do problema foi a atribui¸cão de um papel central à variável de escala y = L_ξ, onde ξ é o comprimento de correla¸cão no caso de tamanho infinito (bulk ). Como a teoria sem massa tem ξ → ∞, no caso de L finito (L ξ), y → 0. A interpreta¸cão atribu´ıda à variável y, como sendo o observável fundamental que caracteriza as várias situa¸cões f´ısicas envolvendo o tamanho finito, “reduziu” o problema do cálculo perturbativo de grandezas universais a três regiões de escala, a saber:

(i) y > 1, métodos perturbativos podem ser usados e os expoentes cr´ıticos são calculados em termos de expansões em , correspondendo aos mesmos obtidos para o sistema infinito (L → ∞) no espa¸co d-dimensional;

(ii) y ∼ 1, os expoentes cr´ıticos não podem mais ser calculados perturbativamente. Há uma “quebra” (perda de controle) na expansão em , ou seja, nesse regime, a corre¸cão do tamanho finito tem a mesma ordem do pólo em ;

(iii) y < 1, a tradicional expansão em = 4 − d é substitu´ıda agora por uma expansão em 0 = 4 − (d − 1). Em outras palavras, os expoentes cr´ıticos passam a ser aqueles calculados em um espa¸co com d − 1 dimensões.

No item (iii), a mudan¸ca de d para d − 1 dimensões na descri¸cão do comportamento cr´ıtico do sistema é conhecida como crossover dimensional.

A conjectura que levou à proposi¸cão das três regiões de escala tinha como base argumentos heur´ısticos e ind´ıcios fenomenológicos conhecidos na época. Esta conjectura não tinha, entre- tanto, uma base matemática rigorosamente satisfatória. Ao comparar com o sistema infinito correspondente, fica dif´ıcil estabelecer uma analogia, uma vez que, para este último, grandezas universais obtidas utilizando o formalismo de campos sem massa ou massivos são perfeitamente concordantes.

De acordo com a hipótese fenomenológica, que desembocou na susposta existência das três regiões de escala acima descritas, é imposs´ıvel acessar as regiões (ii) e (iii) em uma expansão perturbativa tradicional usando campos sem massa, pois no primeiro caso L → ∞ (L ∼ ξ), enquanto que no segundo L é fixo e ξ → ∞, o que levaria à quebra da expansão ( = 4 − d) e, portanto, tais regiões seriam descritas de uma maneira desconhecida. Esta interpreta¸cão proibiria a compara¸cão entre a técnica de grupo de renormaliza¸cão usando campos massivos e sem massa, pois os dois regimes corresponderiam a situa¸cões f´ısicas irreconciliáveis. Isto difere completamente do que ocorre em sistemas infinitos, já que os dois limites de massa produzem grandezas universais idênticas. Portanto, se quisermos estabelecer uma analogia com sistemas infinitos, dever´ıamos encontrar uma interpreta¸cão matematicamente rigorosa dos resultados obtidos da expansão diagramática para o cálculo de grandezas universais em sistemas finitos

e verificar se o que emerge das corre¸c˜oes perturbativas produz resultados consistentes para campos massivos e sem massa.

Novas investiga¸cões, com resultados publicados em 2012 [41, 80], mostraram a consistência da aplica¸cão de uma teoria de campos sem massa em sistemas que podem ser tratados pelo modelo de Ising com uma dimensão finita, estando esta submetida a condi¸cões de contorno. No trabalho citado foram consideradas apenas as condi¸cões de contorno periódicas (P BC ≡ periodic boundary condition) e antiperiódicas (ABC ≡ antiperiodic boundary condition) impostas ao campo nas superf´ıcies delimitadoras do sistema. Tal estudo levou a uma extensão do entendimento sobre o regime de crossover dimensional, caracterizando o parâmetro relevante para a ocorrência do fenômeno, o qual não está relacionado à divergência de ξ, contrariando o que foi proposto a respeito da variável de escala y. Esse estudo ampliou a região (i) para incluir y até o limite y → 0 sem qualquer “quebra” da expansão em , desde que sejam considerados valores suficientemente grandes para L.

Em concordância com a altera¸cão da região de validade para a variável de escala y, a equivalência completa entre a aplica¸cão da teoria massiva e não massiva também foi estabelecida por Silva e Leite (SL) no mesmo trabalho, de forma totalmente anal´ıtica, o que levou a um grande avan¸co no que diz respeito ao tratamento das representa¸cões das fun¸cões que surgem devido ao tamanho finito, como também devido a aplica¸cão de P BC ou ABC ao longo das superf´ıcies delimitadoras em uma das d dimensões do sistema. Isto possibilitou o cálculo dos expoentes cr´ıticos até a ordem de 2 loops (3 loops para a dimensão anômala) em termos de uma expansão perturbativa em .

As análises anteriores feitas por NF se restringiram às fun¸cões de Green de 2 e 4 pontos até a ordem de 1 loop em uma teoria massiva. Em contra partida, SL utilizaram o formalismo com fun¸cões de vértice irredut´ıveis a uma part´ıcula (1PI do inglês “one particle irreducible”), na teoria massiva e não-massiva, até ordens de pelo menos 2 loops, devido ao seu caráter mais fundamental com rela¸cão às divergências no regime ultravioleta. Esse estudo referente às contribui¸cões de NF e, principalmente de SL, servirá de base para os próximos cap´ıtulos. Ambos os trabalhos fundamentam o que foi desenvolvido nesta tese e, portanto, como uma forma de tornar mais evidente as novidades trazidas através do presente trabalho, abordaremos neste cap´ıtulo o mesmo sistema modelado pela densidade lagrangiana (2.31) com o parâmetro de ordem restrito às condi¸cões de contorno impostas, isto é, P BC ou ABC, mas nos referiremos `

as condi¸cões de Dirichlet e Neunmann quando necessário, visto serem essas as condi¸cões de contorno de interesse neste trabalho.

Dans le document Impact du motif implicite d’affiliation sur la mobilisation de l’effort mesurée par l’activité cardiovasculaire (Page 18-23)