2.5 Performances hydrauliques et thermiques du prototype
3.1.1 Actionnement intégré : description de la technologie
tendues . . . 109
3.2 Développement du modèle analytique 1D quasi-statique . . . 111
3.2.1 Équations générales de l’élasticité linéaire . . . 111 3.2.2 Équations de comportement . . . 112 3.2.3 Théorie des poutres - modèle de Navier-Bernoulli des structures élan-
cées . . . 113 3.2.4 Modélisation globale par l’intermédiaire du torseur des efforts internes114 3.2.5 Limitations des hypothèses de Navier-Bernoulli . . . 115 3.2.6 Simplification des équations d’équilibre . . . 116 3.2.7 Résolution des équations finales . . . 117 3.2.8 Critère de limite d’élasticité . . . 119 3.2.9 Modélisation des MFC . . . 120
CHAPITRE 3:
3.3.1 Présentation du modèle numérique . . . 123 3.3.2 Étude modale . . . 126
3.4 Étude quasi-statique, comparaison des modèles analytique et numérique . . . 127
3.4.1 Comparaison des déformations . . . 128 3.4.2 Étude du substrat, limites de validité des modèles . . . 130 3.4.3 Évaluation des contraintes mécaniques . . . 134
3.5 Dimensionnement, recherche d’un optimum . . . 136
3.5.1 Cadre de l’étude . . . 136 3.5.2 Détermination de la loi de contrôle optimale . . . 137 3.5.3 Validation du calcul de débit théorique . . . 139 3.5.4 Dimensionnement de la structure . . . 142
3.6 Validation expérimentale . . . 150
3.6.1 Description du prototype de membrane active . . . 150 3.6.2 Résultats expérimentaux – comparaison aux modèles . . . 151
3.7 Conclusion . . . 157
CHAPITRE 3: 3.1. Principe de l’actionnement
3.1 Principe de l’actionnement
3.1.1 Actionnement intégré : description de la technologie
Augmenter la déformation et la force des solutions piézoélectriques, tout en tirant profit de leur capacité d’intégration, ont motivé de nombreuses recherches durant les années 90, notam- ment au MIT et à la NASA [110] [111] avec leur objectif de concevoir un actionneur sous forme de membrane. Le matériau piézoélectrique doit offrir un fort coefficient piézoélectrique et un champ électrique maximal. Ainsi les solutions composites ont démontré d’excellentes aptitudes, mais souffrent en revanche d’une importante rigidité, comparées par exemple aux polymères piézoélectriques (PVDF). Afin d’accroitre le champ électrique appliqué au matériau piézoélec- trique, une haute tension et des électrodes interdigitées apportent une réponse technologique satisfaisante mais accompagnées de quelques difficultés de fabrication. En outre le couplage longitudinal d33 étant plus important que les autres, les électrodes doivent être disposées de
manière à tirer profit préférentiellement de ce mode. Une première architecture appelée Active Fiber Composite (AFC) est réalisée au MIT. Elle exploite des fibres à section circulaire obtenues par simple extrusion. Le recours à ces fibres permet de contourner le problème lié à la rigidité des matériaux piézoélectriques composites. Toutefois cette section circulaire ne permettait pas une bonne conversion électromécanique. A ce défaut de performance s’ajoute les problèmes imputables au procédé de fabrication : une fabrication brin par brin susceptible d’induire des fissures, une distribution non homogène et des impuretés. Cette première phase de développe- ment a finalement donné naissance à une solution plus mature et plus viable dénommé Macro Fiber Composite (MFC) apparue en 1999, remplaçant avantageusement les AFC [112].
(a) Photographie d’un MFC
0 epoxy weld DP-460) fibres piézo (PZT-5A) électro (cuivr
film polyimide (Kapton)
acrylic
(b) Couches d’un MFC
Figure 3.1 – Photographie d’un MFC en flexion [113] et représentation schématique de sa structure composite (Wilkie et al., 1999 [112])
L’actionneur MFC se compose de plusieurs couches souples (Figure 3.1). Les fibres piézo- électriques sont obtenues par découpage de fines tranches d’un empilement de wafer piézocéra- miques assemblées par une colle époxy (Scotchweld DP-460 - 3M Company [112]). Le lecteur pourra se reporter à la présentation [114] pour de plus amples détails sur le procédé de fabri- cation. Il offre une bonne répétabilité, homogénéité et durabilité (Figure 3.2). Contrairement aux Active Fiber Composite, la section des fibres est rectangulaire ce qui permet une appli-
CHAPITRE 3: 3.1. Principe de l’actionnement
cation plus efficace du champ électrique sur la fibre. Ces fibres piézoélectriques sont ensuite enveloppées dans un film multicouche (Pyralux - Dupont) constitué de polyimide (Kapton), d’acrylique et de cuivre (électrodes interdigitées) [110]. Les avantages de cet actionneur sont sa souplesse : jusqu’à 4500ppm d’allongement en fonctionnement, son déplacement : 1000ppm d’allongement maximum, sa faible épaisseur : 300µm, sa faible capacité électrique : 0.3nF/cm2,
sa fiabilité : > 109cycles à 1kV pp et > 107cycles à 2kV pp, son faible coût : ≈ 40AC le patch de
40mm × 10mm prix à l’unité. Son inconvénient majeur est sa haute tension nécessaire : −500V à 1500V . En revanche sa capacité étant faible, les courants seront relativement faibles d’autant plus que la fréquence de fonctionnement sera basse.
Concernant leur alimentation, il existe aujourd’hui des cartes électroniques intégrées permet- tant d’alimenter ces actionneurs sous 2kV pp jusqu’à 4W et 30Hz à partir d’une tension 10V , et cela pour un encombrement réduit à un volume de 32mm × 55mm × 20mm [115]. L’étage d’alimentation est donc aujourd’hui peu encombrant, même si la performance reste limitée.
Figure 3.2 – Photographies d’un MFC (Bilgen, 2010 [111]) a) MFC type M8507-P1 ; b) Extrémité des fibres piézoélectriques ; c) Régularité de la zone active ; d) Connexions entre les électrodes interdigitées
Les domaines initialement visé pour ces membranes MFC appartiennent à l’aéronautique dans le but de produire une modification de la voilure en temps réel. Les qualités de cette solution ont finalement conduit à leur déploiement dans plusieurs domaines de l’industrie, no- tamment automobile, mais également dans le biomédicale. A leur utilisation comme actionneur s’ajoute leur aptitude à fonctionner en tant que capteur de déplacement. A ce jour, plus de 1000 contributions scientifiques sont consacrées à ces MFC, à leur modélisation ou leur carac- térisation, ce qui constitue un gage de leur potentiel applicatif dans de nombreux systèmes mécatroniques.
L’étude fera usage des MFC de type P1 qui fonctionnent suivant un couplage d33. Ce
coefficient étant positif, les fibres piézoélectriques s’étirent sous l’action d’une tension positive pouvant aller jusqu’à +1500V . Toutefois une tension d’alimentation négative de −500V étant admissible, ils peuvent également fonctionner modestement en contraction.
CHAPITRE 3: 3.1. Principe de l’actionnement Modélisation des MFC
De nombreux documents scientifiques traitent de la modélisation des déformations des struc- tures mécaniques faisant intervenir des actionneurs piézoélectriques [116] [117]. Ces modèles sont basés majoritairement sur les théories classiques d’Euler-Bernoulli pour les géométries de type poutre, ou de Kirchhoff-Love puis de Mindlin-Reissner pour les plaques, modèles qui ont été approfondies et complétées durant plus de deux siècles. Ces modèles statiques et vibratoires peuvent également être judicieusement employés pour la modélisation mécanique des MFC. Rappelons que ces actionneurs sont des matériaux composites constitués de plusieurs couches et fibres. Pour cette raison il est possible d’aborder leur modélisation suivant deux approches ; soit de façon analytique avec diverses hypothèses de simplification notamment sur l’homogé- néisation des couches composites [118] [119], soit de façon numérique suivant une formulation simplifiée [120] ou détaillée pouvant aller jusqu’à modéliser la non homogénéité du champ élec- trique [121] [122].
Deux approches complémentaires ont été choisies pour modéliser les MFC. Un premier modèle analytique se base sur l’approche de (Erturk et al., 2008 [123]) et (Bilgen, 2010 [111]), qui abordent les MFC comme un empilement de couches homogènes et supposant le champ élec- trique homogène. Ce champ électrique équivalent est évalué empiriquement par ces auteurs. Dans le modèle proposé par (Erturk et al., 2008 [123]) et (Bilgen, 2010 [111]) la contribution mécanique des électrodes et des fibres époxy est négligée, tandis que nous considérerons l’in- homogénéité de ces couches par la méthode dite des mélanges linéaires [124] [125]. Le substrat sur lequel sera disposé le MFC pouvant éventuellement avoir une souplesse proche de celle du Pyralux, il est décidé de prendre en compte les contours passifs des MFC. Le modèle analytique développé sera uniquement quasi-statique et à une dimension (modèle poutre). Bien que des modèles analytiques plus complets existent, il n’a pas été jugé nécessaire de les développer ici dans l’optique d’une preuve de concept et d’un pré-dimensionnement d’une solution à onde continue.
Concernant le modèle numérique, il se base principalement sur les résultats de l’article (Li et al., 2016 [120]). Cette contribution traite la modélisation suivant l’hypothèse d’un matériau piézoélectrique massif. Les coefficients de ce modèle simplifié sont déduits à partir d’un modèle numérique multicouche plus complexe, où les couches homogènes sont calculées suivant la mé- thode des mélanges linéaires [125]. En revanche les contours inactifs des MFC ne seront pas pris en compte. Le modèle développé sera quasi-statique et tridimensionnel. L’intérêt de ce modèle numérique sera principalement de vérifier la pertinence du modèle analytique, mais pourra également servir à calculer les modes de résonance mécanique de la structure. La fréquence du premier mode indiquera en particulier la validité de l’hypothèse quasi-statique.