Acquisition des paramètres de projection

Dans ce paragraphe, nous décrivons une méthode permettant d’obtenir les paramètres de

projection (plan et source) d’une vue radiographique de l’objet que nous souhaitons

modéliser. Nous utilisons un localisateur optique tridimensionnel. Cet appareil est fourni

avec un pointeur permettant de connaître la position tridimensionnelle de points

particuliers. Des corps rigides sont également disponibles.

A l’aide du pointeur, l’utilisateur acquiert des points spécifiques permettant de déterminer

la position du plan de projection et de la source de rayons X.

Pour localiser le plan de projection, au moins trois points sont nécessaires. Ceux-ci sont

généralement situés dans un plan parallèle au plan de projection, à une certaine distance de

ce dernier et choisis de telle manière à ce que leur projection puisse également être

localisée sur l’image radiographique. A cet effet, des marqueurs radio-opaques sont

généralement utilisés.

La position de la source de rayons X, physiquement inaccessible, est habituellement

renseignée dans le manuel du fabricant par rapport à des points accessibles de l’appareil.

La numérisation de ces points permet donc de déduire la position du centre de projection.

Pour connaître la position de l’objet à modéliser, un corps rigide est fixé rigidement à

celui-ci et définit un système de coordonnées qui lui est lié.

Avant d’effectuer le cliché, les différents points nécessaires à la détermination des

paramètres de projection sont acquis. Il en va de même pour l’étoile fixée à l’objet

d’intérêt. Ensuite, le cliché est effectué sans modifier les paramètres de projection. Un

certain nombre de paramètres concernant la géométrie du cliché sont donc connus :

la position du corps rigide fixé à l’objet,

la position 3D de la source de rayons X,

les positions 3D d’au moins 3 points appartenant à un plan parallèle au plan de

projection,

l'image numérisée de la radiographie sur laquelle on peut localiser la projection des

points précédents (minimum 3) et le contour de l’objet à modéliser. Ces éléments sont

bien sûr bidimensionnels puisqu'ils sont exprimés dans les coordonnées des pixels de

l'image.

Deux types de données différentes sont présents ; celles provenant du localisateur optique

qui sont tridimensionnelles et celles provenant de l'image numérisée de la radiographie qui

sont bidimensionnelles. Cependant, ces deux types de données peuvent être liés grâce à la

connaissance des coordonnées d’au moins trois points dans les deux référentiels.

Désignons par Pi, P2, ..., Pn les points connus dans le référentiel tridimensionnel du

localisateur optique et par pi, p2, ..., Pn les coordonnées en pixel des projections de ces

mêmes points sur le plan de la radiographie. Comme ces points doivent déterminer un plan,

ils ne peuvent être colinéaires et n doit valoir au moins 3.

3. CONSTRUCTION DE MODELES TRIDIMENSIONNELS A PARTIR D’UN NOMBRE

RESTREINT DE PROJECTIONS

Problème de correspondance

Si ces points sont digitalisés dans un certain ordre et que celui-ci peut être retrouvé pour les

projections des points sur l’image, grâce à une configuration géométrique particulière par

exemple, aucun problème de correspondance ne doit être résolu et tout point P, correspond

au point pi de l’image (i = 1, 2, ..., n). Par contre, si ce n’est pas le cas, il faut rechercher

les paires de points qui se correspondent. Nous avons implémenté une telle méthode dans

le cas où n = 3. Les points repérés par le localisateur tridimensionnel constituent donc le

triangle P1P2P3 et ceux détectés sur l’image forment un triangle semblable piP2P3- Notre

solution consiste à calculer les 6 angles intérieurs de ces deux triangles et d'en associer un à

chaque sommet. H suffit alors d'envisager les 6 configurations possibles, de calculer pour

chacune d'elle une fonction de coût tenant compte du carré de la différence des angles entre

les sommets correspondants des deux triangles, et enfin de choisir la configuration dont la

fonction de coût est la plus petite (Fig. 3.10.). L’ordre des points peut dès lors être

réarrangé pour qu’ils se correspondent selon leur indice. Bien sûr, pour que cette méthode

détermine la bonne configuration, il faut s'assurer que les deux triangles ne sont pas

isocèles.

P2 P2

/ tt2

P. ^--- ^{)ai tt3 f ')P1 P3 (}

P3 Pl _{‘ P3}

Config. 1 Config. 2 Config. 3 Config. 4 Config. 5 Config. 6

Pi<-^Pi Pi Pi Pl<->P2 Pl^P2 Pi<^p3 Pi <^P3

P2<-> P2 P2<-^P3 P2<^ Pi P2^ P3 P2<-^Pi P2^P2

P3<-^ P3 P3«->p2 P3^P3 P3<^Pl P3^P2 P3 Pi

Fonctions de coût des 6 configurations possibles :

Fi = (a,-p,)2-h («2 P2)^ + («3 - P3)2

F2 = (a,P,)" + («2 P3)^ + («3

-F3 = (a,-p2)^ + (tt2 -P,)2 +

(a3-F4 = (a,-P2)^ + (»2 - ^3)^ + (0t3 - Pl)^

Fs = (0Cl-P3)^ + (tt2 -Pi)^+(a3- P2)2

Fe = (ai - p3)^ + (tt2 - ^2)^ + (0^3 - Pl)"

Fig. 3.10. - Problème de correspondance lorsque la détermination du plan de projection

s’effectue avec 3 points

Cet algorithme peut aisément être généralisé lorsque n > 3 : il suffit de considérer, à la

place des deux triangles, les deux polygones convexes {Convex Hulï) dont les sommets

Transformation de coordonnées

Le problème que nous devons résoudre maintenant est de trouver une transformation qui

fournit les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z) de tout pixel p de l’image dont nous

connaissons les coordonnées bidimensionnelles (x, y). A cet effet, nous possédons une

série de paires de points correspondants (P;, pi) où Pi est un point 3D appartenant à un plan

71 parallèle à celui de la radiographie et pi est la projection correspondante (point 2D)

appartenant à l’image et dont on connaît les coordonnées en pixel. Remarquons qu’il n’est

pas nécessaire de déterminer les coordonnées tridimensionnelles du point situé sur la

radiographie : celles du point correspondant situé dans le plan 7i suffisent puisque tous les

éléments géométriques situés dans ce plan sont semblables à ceux du plan de l’image. De

plus, le cône de projection peut également être construit à partir des éléments du plan n.

Dans un premier temps, nous avons considéré le cas où seulement 3 points sont utilisés.

Dans un second temps, nous avons mis au point un algorithme valable pour un nombre

quelconque de points.

Cas où n = 3

Supposons que le localisateur optique fournisse les coordonnées des points dans un

—> —> —>

système de référence normalisé [O; IX, lY, IZ]. Les trois points Pi, P2 et P3 sont donc

exprimés dans ce système de coordonnées. Chaque pixel de l’image numérisée et possède

—> —>

des coordonnées bidimensionnelles exprimées dans un système de référence [o; Ix, ly ]

dans lequel sont exprimés les points pi, p2 et pa (Fig. 3.11.). Dans le plan

7X,

nous pouvons

construire un système de coordonnées non orthogonal [Pi; U, V ] à partir des trois points

digitalisés où

Ü= (X2-XOIX + (Y2-YOIY + (Z2-Z,)1Z

V = (X3-XOIX + (Y3-YOIY + (Z3-Z,)1Z

ce qui peut s’écrire sous forme matricielle :

IX

lY

IZ

U

-V

Cil C12 Cl3 C21 C22 C23

De même, nous pouvons créer un système de coordonnées non orthogonal bidimensionnel

[pi; U , V ] à partir des projections des trois points précédents. Les vecteurs u et v sont

définis comme suit :

—> —> —>

U =(x2-xi)lx +(y2-yi)ly

V =

(X3-Xi)lx

+

(y3-yi)ly

3. CONSTRUCTION DE MODELES TRIDIMENSIONNELS A PARTIR D’UN NOMBRE

RESTREINT DE PROJECTIONS

Puisque les projections des trois points digitalisés ne sont pas colinéaires, cette dernière

relation peut être inversée :

Ix bii bi2

_U

/y. ^{bai b 22}

—>

V

avec [b] = [a]''

Données 3D

J

V Données 2D

J

Fig. 3.11. - Détermination du point P correspondant à un pixel p de l’image

Comme les deux systèmes de références définis ci-dessus sont semblables, les coordonnées

de P dans le premier sont identiques à celles de p dans le second et vallent Up et Vp :

P|P = Up U + Vp V

Pip = Up U + Vp V

Il suffit donc de calculer Up et Vp à partir des données de l’image pour obtenir les

coordonnées tridimensionnelles de P :

—> —> —>

P,P =(x-xi)lx +(y-yi)ly

—> —>

On en déduit Up et Vp :

Up

= bn(x-xi) + b2i(y-yi)

Vp = b2i(x-xi) + b22(y-yi)

En remplaçant Up et Vp dans l’expression de PjP et en exprimant U et V dans les

coordonnées du localisateur 3D, on obtient :

P,P = [bii(x-xi) + b2i(y-y0] (cu IX +C12 lY +C13 IZ)

+ [b2i(x-xi) + b22(y-yi)] (C21 IX + C22 lY + C23 IZ)

Les coordonnées (X, Y, Z) du point P peuvent donc finalement s’écrire :

X = Xi +C11 [bu(x-xi) + b2i(y-yi)]+C2i [b2i(x-xi) + b22(y-yi)]

Y = X] + C12 [bn(x-xi) + b2i(y-y0] + C22 [b2i(x-x0 + b22(y-y0]

Z = Xi + ci3 [bii(x-xi) + b2i(y-yi)] + C23 [b2i(x-x0 + b22(y-yi)]

On constate donc bien qu’à partir des coordonnées d’un pixel p de l’image, les

coordonnées tridimensionnelles du point P correspondant peuvent être calculées.

Cas où n> 3

Dans le cas où n est supérieur à 3, nous devons chercher une transformation linéaire L qui

fournit pour tout pixel (x, y), le point tridimensionnel L(x, y) = (X, Y, Z) correspondant, ce

qui peut s’écrire sous forme matricielle :

L(x,y)=

X

Y

Mil Mi2 M21 M22 X +

'Tl'

T2

Z

M31 M32

.y.

_T3

où les coefficients de la matrice M et du vecteur T sont à déterminer. A cet effet, nous

connaissons les coordonnées bidimensionnelles des n points pi = (xi, yi) et les points 3D

correspondants Pj = (Xi, Yj, Zj). Nous calculons les coefficients par la méthode des

moindres carrés en minimisant la fonction :

E=3|P'-(M-pi+T)f

i=l

En calculant la norme euclidienne, la fonction E peut s’écrire :

E=J(Mii-Xi+Mi2-yi+Ti-Xi)2+(M2i-Xi+M22-yi+T2-Yi)2+(M3i-Xi+M32-yi+T3-Zi)2 i=l

En annulant les dérivées de E par rapport à Mu, M12 et Ti, on obtient le système de 3

3. CONSTRUCTION DE MODELES TRIDIMENSIONNELS A PARTIR D’UN NOMBRE

RESTREINT DE PROJECTIONS

n-Ti+Jxi-Mii+Jyi-Mi2=JXi

i=l i=l i=l

n n n n

^Xi-Ti+^Xi -Ml 1+^Xi-yi-Mi2=^xi-Xi

i=l i=l i=l i=l

^yi-Ti+^Xi-yi-Mii+y|yi^Mi2=y^yi-Xi

i=l i=l

Un raisonnement similaire sur les autres coefficients permet d’obtenir les deux autres

systèmes d’équations suivants :

r

<

nT2+Jxi-M2i+J]yi-M22=^X

i=l i=l i=l

^Xi-T2+^Xi^-M2)+^Xi-yiM22=^Xi-X

i=l i=l i=l i=l

^yi-T2+^Xi-yi-M2i+^yi^M22= Jyi-X,

i=l i=I

n -T3+^Xi -M3

1

+^ yi M32=^X

i=l i=l i=l

^Xi-T3+^Xi^-M3i+^Xi-yi-M32=^Xi-Xi

i=l i=l i=l i=l

]^yi-T3+^Xi-yi-M3i+^yi^M32=^yi-X

i=l i=l

La résolution des ces 3 systèmes de 3 équations à 3 inconnues fournit les coefficients de la

matrice M et du vecteur T recherchés.

Dans la suite, nous confondrons le plan réel de l’image et le plan 7t puisqu’ils contiennent

des informations semblables. De plus, comme ce dernier est souvent situé à une distance

fort proche du plan de l’image, aucun élément n’est physiquement présent entre les deux

plans, ce qui permet de considérer le plan 7i comme un plan de projection « artificiel »

jouant le même rôle que le plan de l’image mais où nous connaissons les coordonnées

tridimensionnelles des pixels de l’image.

Mise en correspondance des éléments des différentes vues

Pour chacune des vues radiographiques de l’objet, les paramètres de projection sont

exprimés dans le système de référence du localisateur tridimensionnel. Or, entre la prise

des différents clichés, celui-ci peut être déplacé ou l’objet lui-même peut bouger, ce qui

implique que les données acquises pour chaque vue sont exprimées dans des repères

différents. Dès lors, avant d’utiliser simultanément les paramètres de projection des

différentes vues, ceux-ci doivent être exprimés dans un système de référence commun ;

celui lié à l’objet à modéliser. Cette tâche est rendue possible grâce au corps rigide fixé à

l’objet et dont on connaît la position pour chaque cliché. La construction d’un système de

coordonnées orthonormé lié à l’objet considéré est aisée puisque nous connaissons la

position des 3 points (diodes du corps rigide) fixés rigidement à celui-ci dans le système de

référence du localisateur optique. Les paramètres de projection de chaque vue peuvent

donc facilement être exprimés dans le repère lié à l’objet grâce à un simple changement de

coordonnées.

Construction des cônes de projection

Pour construire le cône de projection d’un objet relatif à un certain cliché, nous devons

déterminer le contour de l’objet sur l’image. Plusieurs types de méthodes de détection de

contour existent : automatiques, semi-automatiques ou manuelles. Quelle que soit la

méthode considérée, son résultat peut se ramener à un ensemble de points ordonnés

définissant un contour polygonal. Nous avons montré plus haut qu’il était possible de

transformer les coordonnées bidimensionnelles (exprimées en pixels) d’un point de l’image

en coordonnées tridimensionnelles exprimées dans le système de référence du localisateur

optique. Un second changement de coordonnées permet ensuite de connaître les

coordonnées de ce point dans le repère lié à l’objet considéré.

La source de rayons X, connue dans le système de référence du localisateur, peut

également s’exprimer dans ce repère.

Pour chaque vue considérée, les rayons du cône de projection, reliant la source aux points

du contour de l’objet, sont donc connus dans un repère unique lié à l’objet (Fig. 3.12.).

Fig. 3.12. - Cônes de projection d’un objet relatifs à deux vues a et fi

Les applications que nous envisageons concernent la modélisation d’objets allongés selon

une dimension. Ils possèdent donc un axe principal prépondérant et deux autres axes

secondaires. En outre, les vues de ces objets sont prises selon des directions

approximativement perpendiculaires à cet axe principal, ce qui implique que les contours

de l’objet dans les plans de projections sont également allongés. Un cône de projection

étant défini par son sommet et un tel contour, on peut définir une série d’autres éléments

particuliers relatifs au cône (Fig. 3.13.) :

3. CONSTRUCTION DE MODELES TRIDIMENSIONNELS A PARTIR D’UN NOMBRE

RESTREINT DE PROJECTIONS

le centre de gravité du contour, calculé en triangulant le contour polygonal (voir 3.4.5.

pour l’algorithme de triangulation utilisé), en remplaçant chaque triangle par son

centre de gravité pondéré par l’aire du triangle et en calculant la moyenne de ces points

ainsi pondérés,

la direction principale du contour, donnée par la direction du vecteur propre

correspondant à la plus grande valeur propre de la matrice de covariance des points

pondérés générés pour le calcul du centre de gravité,

- la droite principale d’un contour qui est la droite passant par le centre de gravité du

contour et parallèle à la direction principale de ce dernier,

- la droite centrale d’un cône de projection, définie comme la droite passant par le

sommet du cône et par le centre de gravité du contour,

le plan principal d’un cône, défini comme le plan contenant la droite centrale du cône

et la droite principale du contour.

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