As regras básicas do cálculo de limites, bem como os casos de indeterminação a que as mesmas podem conduzir, são supostamente conhecidas. Assim:
a) Limite da soma : lim (un + vn ) = lim un + lim vn , com as convenções seguintes: a + (±∞) = (±∞) + a = ±∞ ( a real) ; (+∞) + (+∞) = +∞ ; (-∞) + (-∞) = -∞ .
Casos de indeterminação : (+∞) + (-∞) e (-∞) + (+∞) .
b) Limite do produto : lim (un . vn ) = lim un . lim vn , com as convenções seguintes: a . (±∞) = (±∞) . a = ±∞ ( a real positivo) ; a . (±∞) = (±∞) . a = m∞ ( a real negativo) ; (+∞) . (+∞) = (-∞) . (-∞) = +∞ ; (+∞) . (-∞) = (-∞) . (+∞) = -∞ .
Casos de indeterminação : (±∞) . 0 e 0 . (±∞) .
a/(±∞) = 0 ; (±∞)/a = ±∞ ( a real positivo) ; (±∞)/a = m∞ ( a real negativo) . Casos de indeterminação : 0/0 , (±∞)/(±∞) e (±∞)/0 .
A título de exemplo demonstraremos apenas a regra do limite do quociente, no caso em que lim un = u finito e lim vn = v finito e diferente de zero, que é uma das que envolve maior dificuldade. Tem-se: u v u v u v v u v v u v u v u v v u v v n n n n n n n n n n n n − = − = + − − = = u v − v + v u − u ≤ v v n n n n n ( ) ( ) | |.| | | |.| | | | u v v v u u v v n n n n n − + − ; de lim vn = v ≠ 0 , resulta lim | vn | = | v | > 0 e considerando um valor positivo α tal
que | v | - α > 0 , tem-se,
0 < | v | - α < | vn | < | v | + α ,
de certa ordem k em diante; por outro lado, as sucessões un e vn são limitadas ( por serem convergentes) e , portanto , existe um λ tal que | un | ≤ λ e | vn | ≤ λ . Tem- se então, u v u v n n − ≤ ) | |( .| | | |. | |. α λ λ − − + − v v u u v vn n , ou seja, u v u v n n − ≤ β.|(vn−v|+|un−u)| , ( β constante )
da supracitada ordem k em diante ; e como lim | un - u | = lim | vn - v | = 0 , também
lim β. (|vn − v| + |un − u|) = 0 sendo, portanto, u v u v n n − ≤ β. (|vn − v| + |un − u|) < ε ,
de certa ordem nε em diante, o que prova ser lim (un / vn ) = u /v .
4.2 – Potência de expoente natural
lim (un )k = uk= ( lim un )k , com as convenções seguintes:
(+∞)k = +∞ ; (-∞)k = +∞ , se k par ; (-∞)k = -∞ , se k ímpar . 4.3 – Raiz de índice natural
Sendo lim un = u e k ∈ N , vejamos o que se passa com lim k un . Note-se que com k par deve ser un ≥ 0 ; com k ímpar, os termos de un podem ter qualquer sinal.
1º Caso : un ≥ 0 para todos os n . a) Quando seja u = 0 , tem-se:
∀
ε > 0 ,∃
nε : n > nε ⇒ | un | < εk ⇒ | k un | < ε ⇒ lim k un = 0 ; b) Quando seja u = 1 , tem-se un ≤ k un ≤ 1 ou 1 ≤ k un ≤ un , consoante seja, un≤ 1 ou un≥ 1 . Em qualquer dos casos tem-se a desigualdade | k un - 1| ≤ | un - 1| e então,lim un = 1 ⇒ lim | un - 1| = 0 ⇒ lim | k un - 1| = 0 ⇒ lim k un = 1 ;
c) Quando seja u > 0 e u ≠ 1 , tem-se lim (un / u) = 1 e então aplicando o resultado obtido em b), lim k un / u = 1 ⇒ lim u u n k k = 1 ⇒ lim un k = k u ;
d) Quando seja u = +∞ , tem-se,
∀
ε > 0 ,∃
nε : n > nε ⇒ un > 1/εk ⇒ k un > 1/ε ⇒ lim k un = +∞ .Tem-se sempre, portanto, lim k un = l i m u n
k desde que se convencione quanto à alínea d) : k
+ ∞
=+∞ .2º Caso : un < 0 para todos ou alguns dos n .
Neste caso k deve ser ímpar para se assegurar a existência de k un no campo real . Então:
b) Quando seja u = 1 , tem-se un ≥ 0 de certa ordem em diante e então a desigualdade | k un - 1| ≤ | un - 1| , obtida na alínea b) do 1º caso, é válida dessa ordem em diante concluindo-se como então que lim k un = 1 ;
c) Quando seja u > 0 e u ≠ 1 , o mesmo argumento que foi usado na alínea c) do 1º caso conduz a lim k un = k u ;
d) Quando seja u = +∞ , lim k un = +∞ como na alínea d) do primeiro caso;
e) Quando seja u < 0 , tem-se - un com limite - u > 0 e aplicando os resultados das alíneas b) e c), resulta lim k
n u
− = k −u, donde resulta lim u n
k = k u .
f) Quando seja u = -∞ , tem-se,
∀
ε > 0 ,∃
nε : n > nε ⇒ un < -1/εk ⇒ k un < -1/ε ⇒ lim k un = -∞ . Tem-se sempre, portanto, lim k un = l i m un
k desde que se convencione quanto às
alíneas: k
+ ∞
= +∞ e k− ∞
= - ∞ (k ímpar) .4.4 – Potência de expoente racional positivo
Vejamos primeiro, como introdução, a definição de potência de expoente racional positivo. Dado r ∈ Q+ sabe-se que r se pode representar por uma fracção irredutível , r = p/q , com p, q ∈ N . É esta representação que vai ser usada para definir potência de expoente racional positivo : ar = q ap . Com esta definição ar ( r > 0 ) carece de sentido quando seja q par e a < 0 ( repare-se que, sendo q par então p tem de ser ímpar porque p/q é supostamente uma fracção irredutível ) .
Esta definição de potência de expoente racional positivo é coerente com a definição relativa ao caso de expoente natural, ou seja, com r = n natural tem-se r = n/1 e, portanto, ar= a1 n = an = a . a . ... . a (n factores) .
Também facilmente se constata que as regras operatórias conhecidas sobre potências de expoente natural se estendem, com esta definição, às potências de expoente racional positivo. Assim, por exemplo, com r = p/q e s = m/n , caso tenham sentido ar e as , tem-se:
caso qn e pn + mq não sejam primos entre si dividem-se ambos pelo respectivo máximo divisor comum k assim se obtendo os quocientes α e β que são números naturais
primos entre si : qn = kα e pn + mq = kβ ; então,
ar. as = q n ap n+m q = α aβ = aβ/α = ar + s , porque a fracção irredutível β /α representa o racional,
β /α = (kβ) /(kα) = p n mq
q n
+
= (p/q) + (m/n) = r + s .
Note-se ainda que não se levantam problemas de existência das sucessivas raízes envolvidas na argumentação precedente: se q ou n são pares, deve ser a ≥ 0 e a existência das sucessivas raízes fica assegurada ; se q e n são ímpares, caso em que pode
ser a < 0 , qn e α são ímpares e fica também assegurada a existência das raízes em causa. Repare-se também que a igualdade,
apn . amq = apn+ mq ,
é justificada pela regra de multiplicação de potências da mesma base e expoente natural. Vejamos então o caso do limite da sucessão (un )r , com r ∈ Q+ . Sendo u o limite de un , admita-se que a representação fraccionária irredutível de r é p/q . Caso seja un ≥ 0 para todos os n , tem-se igualmente u ≥ 0 e então, aplicando o exposto em 4.2 e 4.3 :
lim (un )r = lim q unp = q l i m unp = uq p = ur = (lim un)r ,
com a convenção (+∞)r = +∞ . Caso seja un < 0 para todos ou alguns n , q deve ser ímpar e então também,
lim (un)r = lim q unp = q l i m unp = uq p = ur = (lim un)r ,
com as convenções: (+∞)r = +∞ , (-∞)r = -∞ se p for ímpar e (-∞)r = +∞ se p for par.
4.5 – Potência de expoente nulo
No caso de expoente nulo, define-se como se sabe a0 = 1 , na condição de ser a ≠ 0 ( não se define 00 ) . Esta definição conserva as propriedades operatórias das potências de expoente racional positivo como facilmente se verifica.
Tem-se então sempre lim ( un )0 = 1 independentemente do comportamento de un (exigindo-se apenas que un ≠ 0 ).
Vejamos primeiro, como introdução, a definição de a-r, com -r ∈ Q- . Como se sabe,
define-se neste caso a-r = 1/ar , tendo ar (r > 0) o significado dado em 4.4.
Nos casos em que ar (r > 0) careça de sentido (vistos em 4.4), o mesmo acontece com a-r, acrescendo agora um novo caso específico relativo ao expoente negativo : trata-se do caso em que a = 0 , pois seria 0 -r= 1/0 r = 1/0 (veja-se em 4.4 que, com r > 0 , 0 r = 0 ). Com esta definição, as regras operatórias sobre potências de expoente racional positivo ou nulo, transmitem-se ao caso das potências de expoente racional negativo, como facilmente se verifica.
Sendo lim un = u , vejamos então o que sucede com lim (un)-r , quando seja -r racional negativo. Supondo a existência de (un)-r, existe também (un)r e além disso un ≠ 0 , efectuando-se portanto o cálculo de lim ( un)-r usando a relação,
lim ( un )-r = lim 1/ (un)r ,
conjugando o que se disse em 4.4 sobre lim (un)r com a regra do limite do quociente. Quando seja lim un = u ≠ 0 , conclui-se que ,
lim ( un )-r = lim 1/(un)r = 1/ ur = u-r ,
com a convenção (±∞)-r= 0 . Fica indeterminado o caso em que lim un = 0 , o qual exige uma análise cuidada do modo como un tende para zero e do valor do expoente nega- tivo -r ; o limite pode ser +∞ , -∞ ou pura e simplesmente não existir.