2.5 Excitation des modes de galerie
3.1.2 Accord m´ecanique
On peut modifier la fr´equence d’un mode de galerie en exer¸cant directement une contrainte m´ecanique sur la sph`ere. Plusieurs contributions vont intervenir : modifi-cation de l’indice, modifimodifi-cation du rayon de la sph`ere et modifimodifi-cation de l’ellipticit´e. En utilisant l’expression de la fr´equence d’un mode de galerie du paragraphe
2.1.3, dans la limite ℓ >> 1, cette variation s’´ecrit ∆νℓ,m νℓ,m = −∆re re − ∆NT E,T M NT E,T M +ℓ − |m| ℓ ∆e (3.4)
o`u re est le rayon de la sph`ere au niveau de l’´equateur, rp son rayon au niveau des
pˆoles et e = (re−rp)
a d´ecrit l’´ecart `a la sph´ericit´e du r´esonateur.
Mod`ele du cylindre
Un mod`ele simple consiste `a assimiler la sph`ere `a un cylindre, ce qui est relati-vement l´egitime dans le cas d’une sph`ere tr`es elliptique, dont le diam`etre est proche de celui de la fibre `a partir de laquelle elle est form´ee. Dans cette approximation, le lien entre la d´eformation axiale et la d´eformation radiale est donn´e par le coefficient de Poisson de la silice σ ≃ 0, 17 [93]. On a ainsi
∆re
re = −σ∆rr p
p = −σA (3.5)
avec A = ∆rp
rp
, l’allongement relatif du cylindre.
La d´eformation de l’ellipticit´e donne une contribution mineure comparativement `a la contribution de la d´eformation g´eom´etrique. En effet, le rapport des deux contri-butions est donn´e par
1 + σ σ
ℓ − |m|
ℓ < 10%
pour notre cas o`u ℓ ≃ 300 et ℓ − |m| . 5.
Les modes TE et TM, de polarisations orthogonales, vont avoir un comporte-ment diff´erent par rapport `a la contrainte impos´ee `a la sph`ere. Une bir´efringence va apparaˆıtre.
Pour un mode TE de polarisation parall`ele `a la contrainte, la variation est donn´ee par ∆NT E = −N 3 2 ³ p11− 2σp12 ´ A ≈ −0, 04 A (3.6)
o`u p11 = 0, 126 et p12 = 0, 26 sont les coefficients ´elasto-optiques de la silice [93]. Pour un mode TM dont le champ est orthogonal `a la contrainte, la variation s’´ecrit ∆NT M = −N 3 2 ³ σ12− σ(p11+ p12)´A ≈ −0, 21 A (3.7)
En sommant les diff´erentes contributions, on obtient un changement de fr´equence en fonction de l’allongement relatif du cylindre A donn´e par
δν
ν =
½
−0, 21 A pour un mode TE
−0, 38 A pour un mode TM (3.8)
On aura ainsi une vitesse de variation diff´erente suivant la polarisation des modes, les modes TM ´etant les plus rapides. Le rapport des vitesses de variation est d’environ 1,8.
Estimation de l’accord maximum
Approximer la sph`ere et ses deux tiges par un cylindre est une simplification trop importante, la sph`ere a en g´en´eral un rayon plus grand que la fibre. Un mod`ele plus r´ealiste consiste `a remplacer la sph`ere et les tiges par 3 cylindres : deux de rayons d repr´esentent les tiges de la fibre de longueur totale Lfibre, et un troisi`eme cylindre intercal´e, repr´esente la sph`ere, de rayon a et de longueur Lsph`ere (voir la figure 3.1). Le rapport entre l’allongement relatif de la sph`ere est l’allongement relatif total est alors donn´e par
∆rp rp = ∆Lsph`ere Lsph`ere = ∆Ltotal Ltotal 1 + Lfibre Lsph`ere 1 + (a d)2 Lfibre Lsph`ere (3.9) o`u Ltotal = Lsph`ere+Lfibre. Cette relation traduit simplement le fait que plus la sph`ere a un rayon important et une longueur axiale faible par rapport `a la fibre, plus on d´eforme la fibre au lieu de d´eformer la sph`ere. La situation optimale est donc une sph`ere de diam`etre le plus proche possible de celui de la fibre, avec une longueur de fibre la plus courte possible. En pratique, le rayon de la sph`ere est de 1,5 `a 2 fois celui de la fibre et la longueur de la fibre vaut de l’ordre de 5 `a 30 fois le grand axe de la ✭✭ sph`ere ✮✮ suivant les mod`eles de pinces. L’allongement relatif de la sph`ere est donc de l’ordre de 1/2 `a 1/4 de l’allongement relatif total.
Balayer sur tout un intervalle spectral libre, un mode de galerie d’une sph`ere de 80 µm dont l’ISL est d’environ 800 GHz, repr´esente une variation relative de fr´equence de 0,2 % pour une longueur d’onde de 780 nm.
Ceci implique donc une modification de l’allongement relatif de la sph`ere de ½
A ≃ 1% pour un mode TE
A ≃ 0, 5% pour un mode TM
Si l’on prend en compte la diff´erence de rayon entre la sph`ere et la fibre, il faut alors r´ealiser un allongement total (fibre + sph`ere) de l’ordre de
½
A ∼ 2% pour un mode TE A ∼ 1% pour un mode TM
Compte tenu du module de Young de la silice fondue Y≃ 7, 2 1010 Pa, il faut
(a)
L /2
a d
(b)
fibre Lsphère L /2fibre
Figure 3.1: (a) Sph`ere r´eelle. (b) Mod`ele simplifi´e.
La valeur mesur´ee du module de rupture de la silice, en l’absence de fatigue
et de d´efauts de surface, est de 12 GPa [94]. C’est en pratique une valeur difficile
`a atteindre ; en effet, ce sont les d´efauts de surface qui vont limiter la contrainte maximale qu’on peut appliquer. Les fabricants de fibres optiques ont fait de nom-breuses mesures de cette contrainte, qui montrent qu’au del`a d’une limite de l’ordre de 3 GPa, la probabilit´e de cassure d’une fibre optique augmente extrˆemement
ra-pidement [95]. Celle-ci est caus´ee par des micro-fractures `a la surface du verre, qui
au dessus d’une certaine contrainte, se propagent `a travers l’ensemble du mat´eriau entraˆınant sa rupture.
Il est, de plus, crucial de rester dans le domaine de d´eformation ´elastique de la silice afin de pouvoir r´ealiser un accord r´eversible du mode. Comme la rupture de la silice est caus´ee par des ph´enom`enes de craquage en surface, il est en fait tr`es difficile en pratique d’entrer dans son r´egime de d´eformation plastique. On est dans le domaine ´elastique jusqu’`a ce qu’une fracture se propage et brise la fibre. On peut donc appliquer des contraintes de l’ordre du GPa, tout en restant dans le domaine ´elastique. Des taux de d´eformation ´elastique de la silice jusqu’`a 0,5% ont d’ailleurs d´ej`a ´et´e utilis´es [92]. On peut donc esp´erer pouvoir accorder le mode de galerie de la sph`ere de mani`ere r´eversible sur une partie notable de l’intervalle spectral libre.
Remarquons, d’autre part, que si les contraintes `a exercer sont importantes, les forces mises en jeu sont relativement faibles du fait du faible diam`etre de la sph`ere. En effet, pour un diam`etre de la sph`ere (et des tiges) de 80 µm, la force `a exercer est de l’ordre de 10 Newtons. Dans les montages d´ecrits dans la suite, la contrainte est exerc´ee par un ´el´ement pi´ezo-´electrique. Or, l’empilement de cales pi´ezo-´electriques, que nous avons utilis´e, peut r´ealiser son extension maximale de 9 µm contre des charges pouvant aller jusqu’`a 800 N. Nous ne serons donc pas limit´es par la force `a appliquer. Il faut en revanche que le dispositif d’accord de la sph`ere puisse cr´eer un allongement relatif suffisant pour que la limite de l’accord soit due uniquement `a la cassure du verre.