6. ServerGuard Fundamentals
6.3 Synchronized Operation
6.3.6 Access Times
Suponha que (M, Z, F) é uma folheação Finsleriana singular sobre uma variedade Ran- ders com data (h, W ). Será veri cado que W é tangente aos estratos, olhando para a folheação in nitesimal, que é uma folheação Finsleriana singular em um espaço Randers-Minkowski. Uma vez que o vento seja tangente aos estratos F|Σ, a restrição de F a um estrato Σ = Σk, é
uma folheação Finsleriana regular em Σ com a métrica Randers dada pela data (h|T Σ, W |Σ).
Pelo Corolário3.1.1, W |Σ é projetável e (Σ, h|T Σ, F |Σ)é folheação Riemanniana. E portanto
(M, h, F )é uma folheação Riemanniana singular pela Proposição 2.0.2, terminando a prova. Proposição 3.4.1. Se F é folheação Finsleriana singular em uma variedade Randers (M, Z) com data (h, W ), então W é tangente aos estratos.
Demonstração. Dado q ∈ M, considere (S, ZS, Fq) uma folheação in nitesimal por q cons-
truida no Teorema de Slice2.0.2. Pela Proposição2.7.2, podemos considerar que (S, ZS, Fq)é
uma folheação Finsleriana singular em um espaço Randers-Minkowski com data (h|S, WS(q))
que possui q como folha singular, onde WS(q) é a componente de W (q) tangente a S. Pela
Proposição3.3.1, WSé tangente ao estrato mínimo de Fqe portanto o vetor W (q) é tangente
ao estrato que contém q, pois TqM coincide com TqL2q ⊕ TqS e L2q é uma folha de F2 de
Capítulo 4
Submersão Finsleriana Singular
O objetivo deste último capítulo é generalizar o artigo [2], mais especi camente, provar que as bras de uma submersão Finsleriana singular analítica são equifocais.
Seja π : M → B uma aplicação suave e M0 o conjunto dos pontos regulares. Se π|M0 é
uma submersão, então a aplicação π é dita uma submersão singular. Adicionalmente se π|M0
uma submersão Finsleriana, então π será denominada submersão Finsleriana singular. Uma bra regular L é dita equifocal quando para qualquer ξ campo básico ao longo de L (isto é, projetável e ortogonal a L) a aplicação end-point ηξ : L → M de nida por
ηξ(p) = γξ(p) tem posto constante. A aplicação π é dita equifocal quando qualquer bra
regular é equifocal.
Teorema 4.0.1. Se π : (M, F ) → B é uma submersão Finsleriana singular analítica com bras conexas, então π é equifocal.
Um exemplo de submersão Finsleriana singular é a submersão de Cliord πC dada por um
sistema de Cliord C = {P0, ..., Pm}em R2l tal que l > m + 1 construída na seção3.2. Neste
caso as bras constituem uma folheação Finsleriana singular, sugerindo a conjectura de que tal conclusão pode ser verdadeira para qualquer submersão Finsleriana singular analítica.
Na primeira seção serão construídas as distribuições de Wilking para uma folheação singular, conceito usado na demonstração do principal resultado deste capítulo. Na segunda seção mostraremos o Teorema 4.0.1.
4.1 Distribuições de Wilking
No que se segue serão construídas as distribuições de Wilking associadas a uma folheação singular em uma variedade Finsleriana. Para isso primeiro serão de nidos campos de Jacobi gerados a partir de uma variação por geodésicas ortogonais a uma subvariedade P , chamado de campos P -Jacobi, e explorado alguns resultados.
4.1.1 Operador Forma e Campos P -Jacobi
Sejam P uma subvariedade de M e π : T M → M a projeção canônica. Dado um vetor v = vp ∈ π−1(P ), considere o espaço euclidiano (TpM, gv)e denote por tanve norv respectiva-
mente as projeções ortogonais canônicas sobre TpP e norv(P ) := {u ∈ TpM ; gv(u, TpP ) = 0}.
Dado um campo N normal a P , de nimos a segunda forma fundamental de P na direção N como a função
SNP : Γ(T P ) × Γ(T P ) → Γ(N )
(U, W ) 7→ norN(∇NUW ), 57
E de nimos o operador forma como ˜
SNP : T P → T P
u 7→ −tanN(∇NuN ).
Quando não houver risco de confusão o índice P em SN e ˜SN será omitido.
Proposição 4.1.1. Com as notações acima, SN é F(P )-bilinear e simétrica, enquanto ˜SN
é F(P )-linear. Ademais,
gN(SN(U, W ), N ) = gN( ˜SN(U ), W ),
para qualquer U, W ∈ Γ(T P ). Em particular, gN( ˜SN(U ), W ) = gN(U, ˜SN(W )).
Demonstração. Por de nição é imediato veri car que ˜SN e SW(·) := SN(·, W ) são F(P )-
lineares para qualquer campo vetorial W e que SN(, W1+ W1) = SN(, W1) + SN(, W2). Para
provar que SN(·, f W ) = f SN(·, W ) para qualquer f ∈ F(P ), basta notar que
norN(∇NUW ) − norN(∇NWU ) = norN([U, W ]) = 0, (4.1) pois [U, W ] é tangente a P . E por m, pelo Lema 1.11.1
gN(SN(U, W ), N ) = gN(∇UN(W ), N ) = U gN(W, N ) − gN(W, ∇NUN )
= −gN(W, ∇NU(N )) = gN(W, ˜SN(U )),
pois U é tangente a P .
De nição 4.1.1. Seja γ : (t0−, t0+) → M uma geodésica ortogonal a uma subvariedade P
de M em t0. Dizemos que um campo de Jacobi J ao longo de γ é P -Jacobi quando satis zer
as duas condições abaixo:
J (t0) ∈ Tγ(t0)P e tan
γ0(t0)(J0(t
0)) + ˜SγP0(J (t0)) = 0. (4.2)
Diremos que um ponto p ∈ M é P -focal quando existir algum campo P -Jacobi ao longo de γ : R → M uma geodésica ortogonal a P em t0 tal que p = γ(t) e J(t) = 0 para algum
t ∈ R \ {t0}.
A dimensão do subespaço formado por todos campos P -Jacobi ao longo de uma geodésica xada é n = dimM. Para veri car esta a rmação considere a aplicação
(u, v) ∈ Tγ(t0)P × nor
γ0(t
0)(P ) 7→ J,
onde J é o campo de Jacobi de nido por J(t0) = u e J0(t0) = ˜Sγ0(t
0)(u) + v. Esta aplicação
é linear, injetora e sua imagem coincide com o espaço dos campos P -Jacobi.
Lema 4.1.1. Seja J campo de Jacobi ao longo de γ : (t0 − , t0 + ) → M geodésica
ortogonal à subvariedade P em t0. Então J é um campo P -Jacobi se, e somente se, for o
campo variacional de uma variação por geodésicas ortogonais a P .
Demonstração. Seja γ geodésica ortogonal a P em t0. Dada curva suave N : (−, ) → ν(P )
com N(0) = γ0(t
0), considere a variação H(t, s) = expβ(s)tN (s), onde β(s) := π(N(s)).
Observe que esta é uma variação de γ por geodésicas ortogonais a P . Denote por V = VN
DISTRIBUIÇÕES DE WILKING 59 com Ni, βi e γi (i = 1, ..., n) as coordenadas de N, β e γ, respectivamente, e Γk
ij símbolos de
Christoel da conexão de Chern em (Ω, ϕ). Então Dγγ0V (t0) = DγβN (0) = ( d dsN i (0) + (βj)0(0)(γk)0(t0)Γijk(γ 0 (t0))∂i. (4.3) Em particular, tanγ0(Dγ0 γ V (t0)) = tanγ 0 (Dγβ0N (0)) = − ˜Sγ(β0(0)) = − ˜Sγ(J (0)) e portanto V é um campo L-Jacobi.
Agora considere a aplicação η : Tγ0ν(T L) → Tγ(t
0)M × Tγ(t0)M de nida por
η(β0, d
dsN ) = (V (t0), D
γ0
γV (t0)),
onde V é o campo variacional construído a partir de (β, N) como acima. Observe que sua imagem está contida no espaço dos campos L-Jacobi. Além disso, esta aplicação é injetora. De fato, se η(β1,dsdN1) = η(β2,dsdN2), imediatamente concluímos que β10(0) = V1(t0) = V2(t0) =
β20(0), logo pela equação 4.3 e por Dγ0
γ V1(t0) = Dγ
0
γV2(t0) segue que dsdN1(t0) = dsdN2(t0).
E por m, como a dimensão do espaço dos campos L-Jacobi é igual a dimensão de ν(L), podemos concluir que a imagem de η coincide com o espaço dos campos L-Jacobi, terminando a prova.
Lema 4.1.2. Sejam π : (M, F ) → (B, Z) submersão Finsleriana, γ uma geodésica horizontal e J um campo Lγ(t0)-Jacobi ao longo de γ de nido pela variação por geodésicas horizontais
H(t, s), onde Lγ(t0) é a bra de π passando por γ(t0). Temos que J é vertical (isto é, tangente
as bras) se, e somente se, γ0 s(0) =
d
dt|t=0H(t, s) é básico.
Demonstração. O campo γ0
s(0) é básico se, e somente se, γs é o levantamento horizontal
de π ◦ γ partindo de H(0, s) para qualquer s, ou equivalentemente, J(t) = d
ds|s=0H(t, s) é
tangente as bras.
Corolário 4.1.1. Se J1 e J2 são dois campos P -Jacobi ao longo de γ : R → M, com
γ(t0) ∈ P, então
gγ0(t)(J0
1(t), J2(t)) = gγ0(t)(J1(t), J0
2(t)), (4.4)
para qualquer t ∈ R.
Demonstração. Como J1(t0) e J2(t0)são tangentes a P , pelo Lema4.1.1 e Proposição4.1.1,
segue que gγ0(t 0)(J1(t0), J 0 2(0)) = gγ0(t 0)(J1(t0), ˜Sγ0(t0)(J2(t0))) = gγ(t0)( ˜Sγ0(t0)(J1(t0)), J2(t0)) = gγ0(t0)(J 0 1(t0), J2(t0)),
e portanto, pela Proposição 1.12.1, gγ0(t)(J1(t), J0
2(t)) = gγ0(t)(J1(t), J0
2(t)), para qualquer
t ∈ (a − , a + ).
4.1.2 Distribuições de Wilking
Seja W o subespaço (n−1)-dimensional do espaço dos campos de Jacobi ao longo de uma geodésica γ em Mn que são g
γ0-ortogonais a γ0. Dizemos que W é um subespaço auto-adjunto
quando gγ0(t)(Dγ 0 γ(t)J1, J2(t)) = gγ0(t)(J1(t), D γ0 γ(t)J2) (4.5)
J1, J2 ∈ W e t ∈ R. Pela Proposição 1.12.1, para mostrar que W é auto-adjunto basta
mostrar a equação 4.5 em um instante t0.
Agora considere V um subespaço próprio de W , em particular, V também é auto-adjunto. De na para qualquer instante t os seguintes subespaços de Tγ(t)M:
V (t) := V1(t) ⊕ V2(t), (4.6)
onde V1(t) = {J (t); J ∈ V } e V2(t) = {J0(t); J ∈ V e J (t) = 0}; e
H(t) := V (t)⊥ := {u ∈ Tγ(t)M ; gγ0(t)(v, u) = 0 ∀v ∈ V (t)}, (4.7)
isto é, complemento ortogonal de V (t) com respeito a métrica Riemanniana gγ0 no brado
normal à geodésica γ. Denote por (·)v e (·)h as projeções ortogonais com respeito à métrica
gγ0 sobre V (t) e H(t) respectivamente. Desta forma qualquer vetor u ∈ γ0(t)⊥ := {u ∈
Tγ(t)M ; gγ0(γ0, u) = 0} pode ser escrito de forma única como u = uv+ uh, onde uv ∈ V (t) e
uh ∈ H(t).
Observação 4.2. Se W é um espaço auto-adjunto e Y é um campo geodésico de nido em um aberto U tal que Y (γ(t)) = γ0(t), então W é um espaço auto-adjunto da variedade
Riemanniana (U, gY).
Lema 4.2.1. Sejam W um espaço auto-adjunto ao longo de uma geodésica γ e V um su- bespaço de W . Então
1. dim V = dim V (t), para qualquer t ∈ R.
2. O subconjunto {t ∈ R; V2(t) 6= 0} ⊂ R é discreto.
3. Se J ∈ W , então a projeção Y = Jh satisfaz a equação de Jacobi transversal, isto é,
DhtDhtY + (Rγ0Y )h+ 3AtA∗tY = 0, (4.8)
onde Dh é a conexão induzida no brado H, mais precisamente, DhX = (X0)h =
(Dγγ0X)h, para qualquer seção X ∈ Γ(H); e At(X(t)) := ((Xh)0(t))v + ((Xv)0(t))h é o
tensor de O'Neill para qualquer X campo suave ao longo de γ.
Demonstração. Seja γ|I segmento de γ sem pontos conjugados. Em uma vizinhança de γ|I
podemos estender γ0para um campo geodésico V . Pela Proposicão1.11.1e pelo Lema1.10.3,
W é um espaço auto-adjunto Riemanniano com respeito a métrica ˜g := gV.
E como este lema é válido para o caso Riemanniano (vide [13]), segue que é verdadeiro para γ|I no caso Finsler. Mais precisamente o item (3) segue adicionando a seguinte obser-
vação: pelo Lema 1.10.3, ˜Dγ = DγV, ˜A = A e ˜R = Rγ0, onde ˜D, ˜A e ˜R são respectivamente
a derivada covariante, o tensor de O'neill e a curvatura seccional com respeito a métrica ˜g. Por m como os pontos conjugados são isolados, terminamos a demonstração cobrindo R por intervalos I que não contêm pontos conjugados.
Considere L uma folha regular de folheação singular F que possua uma vizinhança sa- turada U de L tal que F|U, a restrição de F a U, é dada por uma submersão Finsleriana
π : U → B e γ : R → M geodésica ortogonal a L em t0 tal que os pontos singulares em γ
são isolados. Por exemplo, F uma folheação Finsleriana singular. Seja W espaço dos campos L-Jacobi gγ0-ortogonais a γ0, que é um auto-espaço (n − 1)-dimensional. De na V subes-
paço formado pelos campos tipo holonomia ao longo de γ, isto é, campos L-Jacobi gerados pelos levantamentos horizontais de γ, que é um subespaço próprio de W . As distribuições t 7→ V (t) e t 7→ H(t) ao longo de γ de nidas respectivamente pelas equações 4.6 e 4.7 são denominadas distribuições de Wilking.
PROVA DO TEOREMA ?? 61 Lema 4.2.2. Sejam V e H distribuições de Wilking associadas a folha L = Lγ(t0) da folhe-
ação Finsleriana singular (M, F, F) sobre a geodésica horizontal γ. Se γ(t) é regular, então V (t) coincide com Tγ(t)Lγ(t) e consequentemente H(t) ⊕ γ0(t) coincide com o subespaço ho-
rizontal em γ(t).
Demonstração. Dado γ(t) ponto regular, seja π : U → B submersão Finsleriana que descreve F em U vizinhança de γ(t).
Os subespaços V1(t) e Tγ(t)Lγ(t) coincidem para qualquer t tal que γ(t) ∈ U. Dado J ∈ V
considere H(t, s) campo variacional de J. As geodésicas γs = H(, s) são levantamentos
horizontais de π ◦ γ, em particular, π ◦ γ(t) = γs(t), para quaisquer t e s. Logo, para
qualquer t, a curva βt:= H(t, ) é uma curva contida em uma folha e portanto
J (t) = ∂
∂s|s=0H(t, s) = d
ds|s=0βt(s) ∈ Tγ(t)Lγ(t).
Reciprocamente, dado v ∈ Tγ(t)Lγ(t), tome uma curva β : [, ] → Lγ(t) tal que β0(0) = v.
Considere o campo de Jacobi J gerado pela variação H(t, s), onde γs = H(, s) é o levan-
tamento horizontal de π ◦ γ partindo de β(s). Por de nição, v = J(t) ∈ V1(t), pois por
construção J ∈ V .
Por m, veri quemos que V2(t) = 0 para γ(t) ponto regular. De fato, seja J ∈ V com
variação H(t, s). Se J(t) = 0, então H(t, s) = γ(t) para todo s. Por de nição para qualquer s a geodésica γs(t) = H(t, s)é o levantamento horizontal de π(γ∩U) passando por γs(t) = γ(t).
Logo γs = γ, implicando que J0 = 0.
Proposição 4.2.1. Sejam (M, F ) uma variedade Finsleriana, π : (U, F ) → (V, Z) uma submersão Finsleriana de nida em algum aberto U de M, γ : R → M geodésica ortogonal a uma bra L em t = 0, W espaço auto-adjunto gerado pelos campos L-Jacobi gγ0-ortogonais
a γ0 e V , H distribuições de Wilking associadas. Então para qualquer t
0 ∈ R existe δ > 0 tal
que se J ∈ W e s1, s2 ∈ I := (t0− δ, t0+ δ) com s1 6= s2 e Jh(s1) = 0 = Jh(s2) para todo t,
então Jh = 0.
Demonstração. Todo campo Y = Jh com J ∈ W, satisfaz a equação de Jacobi transver-
sal 4.8, que é um sistema Morse-Sturm. Por outro lado, pelo Lema 2.1 em [22], a equação Jacobi transversal é identi cada com uma equação de Jacobi em uma variedade Riemanni- ana e neste caso para qualquer instante é possível escolher um intervalo que não contenha pontos conjugados. Isso termina a prova desta Proposição.