On consid`ere, `a pr´esent, le cas de l’application de cet algorithme `a la r´esolution conjointe de plusieurs probl`emes donn´es sous la forme
yp= Kxp+ ep, (∀ p = 1, . . . , P.) (3.15)
Ce mod`ele lin´eaire apparaˆıt en imagerie hyperspectrale o `u yp ∈ RM correspond au spectre as-
soci´e au p-`eme pixel de l’image dans M bandes spectrales, K ∈ RM×N une matrice dont les
colonnes contiennent des spectres caract´eristiques des constituants de la zone observ´ee et xp le
vecteur des inconnues qui sont les abondances des constituants dans la surface associ´ee au pixel d’indice p.
Sous l’hypoth`ese d’un bruit de mesure additif gaussien blanc et de moyenne nulle, le crit`ere F (·) s’exprime par F (X) = 1 2 P X p=1 kyp− Kxpk22 = 1 2kY − KXk 2 F, (3.16)
o `u k · kF repr´esente la norme de Frobenius et les matrices Y ∈ RM×P, X ∈ RN×P r´esultent
de la concat´enation de tous les vecteurs{yp} et {xp}. Il est ´egalement possible d’opter pour une
r´esolution r´egularis´ee en ajoutant un crit`ere de p´enalisation R(X), pond´er´e par un param`etre de r´egularisation β,
F (X) = 1
2kY − KXk
2
F + βR(X). (3.17)
Soit l’op´erateur m = vect Mqui correspond `a la transformation de la matrice M en un vec- teur m dans l’ordre lexicographique ainsi qu’une solution initiale X(1)satisfaisant les contraintes d’´egalit´es. Le probl`eme d’optimisation sous contraintes (3.2) associ´e au mod`ele (3.15) s’exprime de fac¸on ´equivalente sous la forme :
min
a∈R(N −1)PΦ(a), (3.18)
o `u le crit`ere Φ(·) se d´eduit de F (·) par Φ(a) = F (X(1)+ ZA), a = vect(A) et t = vect(C(1)). La
matrice T est ´egale `a IN⊗ Z o `u ⊗ est le produit de Kronecker et IP est la matrice identit´e de taille
P× P .
3.2.1 Structure du syst`eme primal-dual
Le co ˆut de calcul de l’algorithme PDIP est fortement d´ependant du co ˆut de calcul de la direc- tion primale, qui fait appel `a la r´esolution du syst`eme d’´equations (3.7). Afin de r´eduire le temps de calcul dans le cas de probl`emes de grande taille, il est judicieux d’all´eger la complexit´e de cette ´etape en tirant profit de la structure de la matrice Hk. Ainsi, des versions acc´el´er´ees de l’algo-
3.2. ACC ´EL ´ERATION ALGORITHMIQUE POUR DES PROBL `EMES DE GRANDE TAILLE 49
d’acc´el´eration algorithmique rentre dans le cadre des m´ethodes de point int´erieurs dites inexactes, dont l’analyse de convergence est fournie dans [Armand 12].
Pour cela, il faut distinguer le cas de crit`eres sans p´enalisation de ceux avec p´enalisation. 1. Dans le cas d’un crit`ere des moindres carr´es non-p´enalis´es, la matrice Hk est une matrice
bloc-diagonale contenant P blocs distincts, carr´es de taille (N − 1) × (N − 1). L’inverse de cette matrice s’obtient simplement en calculant l’inverse de chacun des blocs,
Hk= Bdiag(Zt(KtK+ Dp,k)Z), (∀ p = 1, . . . , P ), (3.19)
o `u Dp,kest une matrice diagonale de taille N×N [Chouzenoux 14]. Cette structure a comme
cons´equence que la r´esolution du syst`eme primal se simplifie en la r´esolution de P syst`emes ind´ependants de taille (N− 1) × (N − 1).
2. Dans le cas d’une p´enalisation donn´ee sous une forme s´eparable
R(X) =
P
X
p=1
ϕ(xp), (3.20)
avec ϕ(·) est une fonction de pond´eration diff´erentiable et strictement convexe, la matrice Hksera toujours bloc-diagonale et peut ˆetre invers´ee simplement,
Hk= Bdiag Zt(KtK+ Dp,k+ β Diag( ¨ϕ(Zap,k))Z. (3.21)
3. Dans le cas d’un crit`ere de r´egularisation spatiale
R(X) =
P
X
p=1
ϕ([∇X]p), (3.22)
o `u ∇ ∈ RQ×N est une matrice de diff´erentiation qui va introduire des d´ependances entre
pixels voisins. Il s’en suit que
Hk= Bdiag(Zt(KtK+ Dp,k)Z) + β(∇⊗ Z)tDiag( ¨ϕ((∇⊗ Z)ak))(∇⊗ Z), (3.23)
o `u ¨ϕ(·) est la d´eriv´ee seconde de ϕ(·). Dans ce cas, l’introduction de l’op´erateur ∇ a comme cons´equence que la matrice Hkne sera plus bloc-diagonale. La r´esolution exact du syst`eme
primal (3.7) va n´ecessiter un co ˆut de calcul ou m´emoire tr`es important.
3.2.2 R´esolution tronqu´ee du syst`eme primal [Moussaoui 12,Chouzenoux 13b]
Une premi`ere version acc´el´er´ee de l’algorithme PDIP consiste `a tronquer la r´esolution du syst`eme primal (3.7). Plus pr´ecis´ement, la direction primale dak est obtenue en appliquant J it´erations
50 3.2. ACC ´EL ´ERATION ALGORITHMIQUE POUR DES PROBL `EMES DE GRANDE TAILLE
d’un algorithme it´eratif de r´esolution du syst`eme lin´eaire Hkd =−gk. L’algorithme utilis´e est le
gradient biconjugu´e [Van der Vorst 92] auquel on incorpore une strat´egie de pr´econditionnement bas´ee sur une d´ecomposition LU incompl`ete de Hk. Le nombre de sous-it´erations J est contr ˆol´e
par un seuil sur la valeur de la norme du r´esidu
krJk 6 µkkr0k , (3.24)
o `u rJ est la valeur du r´esidu du syst`eme (3.7) et µk est le param`etre de perturbation des condi-
tions de KKT. Ce crit`ere d’arrˆet est inspir´e de ceux propos´es dans [Armand 12] o `u l’on peut trou- ver ´egalement d’autres crit`eres d’arrˆet. Cette approche de r´esolution approch´ee du syst`eme pri- mal pr´esente une similarit´e avec l’approche qui consiste `a employer une algorithme de Newton tronqu´e [Dembo 83] pour la r´esolution du syst`eme primal-dual (3.5). L’analyse de convergence de l’algorithme primal-dual inexact est r´ealis´ee dans [Armand 12].
3.2.3 R´esolution du syst`eme primal par majoration-minimisation [Legendre 14]
L’´equation (3.7) est ´equivalente `a la r´esolution du probl`eme d’optimisation
Trouver dk
tel que dk= arg min d∈R(N −1)P
f (d) =−gt
kd+ 12dtHkd. (3.25)
La proposition consiste `a utiliser une approche MM [Hunter 04] en s’appuyant sur une approxi- mation majorante quadratique. Ainsi, l’approximation tangente en djk ∈ R(N −1)P est donn´ee sous la forme hj(d, djk) = f (djk) + 1 2(d− d j k)t(Bk− Hk)(d− djk), (3.26)
o `u B est une matrice sym´etrique semi-d´efinie positive choisie de telle sorte `a respecter la condition de majoration de la fonction f (·) par hj(·). Une valeur possible de Bk, obtenue par la technique de
majoration par maximum de courbure, est fournie dans [Legendre 14]. La minimisation de hj(·)
conduit `a la r´ecurrence MM suivante, d0k= 0, dj+1k = djk− B−1k (gk+ Hkd j k), pour j = 1, . . . , J, dak= dJ k, (3.27)