DIFFRACTIVE ORBITS IN THE LENGTH SPECTRUM… PHYSICAL REVIEW E 74, 046219共2006兲
59 IV. DIFFUSION CHAOTIQUE EN MILIEUX OUVERTS
A. Paradigme des milieux ouverts : cavit´e micro-ondes `a temp´erature ambiante
(a) (b)
Fig. 16 Cartes d’intensit´e obtenues num´eriquement : (a) un mode d’une cavit´e ferm´ee, (b) mˆeme fr´equence d’excitation, mais les parois sont rendues perm´eables.
Dans le cadre des travaux de th`ese de J´erˆome Barth´elemy (co-encadr´ee avec Olivier Legrand), nous nous sommes int´eress´es au tr`es d´elicat probl`eme du trans-port des ondes en milieu ouvert32. Ce probl`eme reste en effet tr`es peu d´efrich´e, aussi bien par les mod`eles th´eoriques, que par les exp´eriences. D’un point de vue th´eorique, en perdant l’hermiticit´e du probl`eme on perd l’espoir d’une description simple. Exp´erimentalement, les pertes, en r´eduisant la qualit´e du signal mesur´e, notam-ment sa dynamique, constituent une gˆene, ´evacu´ee au prix de beaucoup d’efforts. Dans les exp´eriences en ca-vit´e micro-ondes, elles sont ´elimin´ees en utilisant des mat´eriaux supraconducteurs, c’est-`a-dire des cavit´es suf-fisamment petites pour ˆetre immerg´ees dans un cryostat. Les pertes, ou la dissipation, constituent pourtant un ingr´edient incontournable quel que soit le type d’ondes consid´er´e : de l’acoustique des salles au transport dans les syst`emes m´esoscopiques. `A titre de simple illustra-tion, la figure IV.A montre comment le passage de bords ferm´es `a des bords perm´eables modifie en profondeur la r´epartition spatiale de l’´energie `a l’int´erieur de la cavit´e.
`
A l’onde stationnaire se superposent, dans le deuxi`eme cas, des ondes progressives33.
32Th`ese t´el´echargeable sur le site du serveur de th`eses du CNRS : tel.archives-ouvertes.fr/
33La partie stationnaire n’´etant pas forc´ement la mˆeme dans les deux cas si les pertes sont fortes.
Nous avons donc r´ealis´e dans une cavit´e (chaotique) micro-ondes bidimensionnelle, des mesures de diffusion `a temp´erature ambiante. Notons que la situation physique trait´ee pr´esente une analogie parfaite avec le probl`eme d’une particule scalaire dans un billard quantique. Dans cette cavit´e, par le biais d’antennes reli´ees `a un Analyseur de R´eseau Vectoriel, sont inject´ees et mesur´ees des ondes hyperfr´equences dans les gamme des GHz. Nous avons pu d´ecrire compl`etement la matrice de diffusion (de type Breit-Wigner) de notre probl`eme, c’est-`a-dire en tenant compte des diff´erentes sources de perte et de la nature du couplage avec les antennes (voir IV.B). Si les pertes oh-miques sont uniquement dues `a la conductivit´e finie des parois, il faut n´eanmoins en distinguer deux types. Le premier, qui pr´esente un comportement monotone avec la fr´equence, ne d´epend pas de la g´eom´etrie de la cavit´e, seulement de son ´epaisseur. Le deuxi`eme, physiquement plus int´eressant, est li´e `a une dissipation sur les bords de la cavit´e. Il d´epend de la r´esonance excit´ee, donc de la g´eom´etrie, et fluctue d’un mode `a l’autre. Nous avons ´egalement ´etudi´e l’´evolution de la phase des r´esonances avec la fr´equence et son lien avec l’´evolution des pertes ohmiques li´ees aux bords (voir IV.C, article 1). La dis-tribution de la phase est calcul´ee `a partir des donn´ees exp´erimentales. Elle est compar´ee `a des pr´edictions ana-lytiques, ce qui permet de fixer un param`etre qui mesure la taille typique de la partie imaginaire de l’amplitude du champ. Nos donn´ees exp´erimentales montrent tr`es claire-ment une proportionnalit´e entre la largeur ohmique due
60 aux bords et ce param`etre.
(a)
(c) (d)
(b)
Fig. 17 Amplitude du champ micro-ondes dans une cavit´e ouverte et d´esordonn´ee (25×25 cm, 196 diffuseurs) : (a), (b) et (c) cartes exp´erimentales correspondant respectivement `a des r´esonances `a 5.45 GHz, 5.66 GHz et 7.80 GHz., (d) carte obtenue par simulation num´erique pour la r´esonance `a 7.80 GHz.
R´ecemment, en collaboration avec Dmitry Savin (De-partment of Mathematical Sciences, Brunel Univer-sity), qui a b´en´efici´e de deux mois de « professeur invit´e » en d´ebut d’ann´ee, nous avons d´evelopp´e un mod`ele th´eorique en parfait accord avec nos r´esultats exp´erimentaux (voir IV.C, article 2). La th`ese que d´ebute Charles Poli s’inscrit dans la continuit´e de ce travail. Il aura pour objectif ultime d’´etendre le mod`ele, pour l’ins-tant limit´e aux situations de faible recouvrement modal, `a tous les r´egimes. Ce probl`eme agite actuellement beau-coup la communaut´e du chaos ondulatoire34.
34Y. V. Fyodorov and D. V. Savin, J. Phys. A : Math ; Gen. 38, 10731 (2005) ; U. Kuhl, H.-J. St¨ockmann, and R. L. Weaver, ibid., p. 10433. Voir ´egalement l’abondante litt´erature qu’un bon mo-teur de recherches sur le web trouve avec les mots-clefs :« open billiard», « non-orthogonal modes » ou « quasinormal modes ».
Disposant d’un outil exp´erimental performant et bien contrˆol´e, et apr`es une premi`ere phase pr´esent´ee en III, le travail de th`ese de David Laurent a ´et´e orient´e vers la mesure indirecte de la r´epartition spatiale des r´esonances en r´egime de diffusion multiple. En pratique, la cavit´e micro-ondes a ´et´e « ouverte », grˆace `a l’adjonction de mat´eriaux isolants sur son pourtour, et« d´esordonn´ee », en disposant, de mani`ere al´eatoire, pr`es de 200 petits plots cylindriques constitu´es d’un mat´eriau di´electrique `a haute permittivit´e (de l’ordre de 37). L’enjeu ´etant l’observation directe de « modes localis´es ». Ces objets constituent une sorte de Graal pour la communaut´e de la diffusion multiple : la pr´esence de modes spatialement (de mani`ere exponentielle) localis´es dans une gamme de fr´equences donn´ee, est tr`es certainement `a l’origine du ph´enom`ene de localisation forte des ondes, ou localisa-tion d’Anderson, dans le cas des ondes ´electroniques. Ce ph´enom`ene est l’objet de tr`es nombreuses ´etudes, th´eoriques et num´eriques, et, dans une moindre
me-61 sure, exp´erimentales. Les difficult´es pour r´ealiser ces
derni`eres sont grandes, et l’analyse des r´esultats n’est pas toujours exempte d’ambigu¨ıt´es. La premi`ere d’entre elles tient au fait que la plupart des exp´eriences sont r´ealis´ees dans le domaine temporel, et traquent la si-gnature de la localisation dans une d´ecroissance expo-nentielle d’un signal de transmission35. Or, un autre ef-fet, totalement in´evitable, se traduit ´egalement par une d´ecroissance exponentielle d’un signal de transmission au travers d’un milieu : l’absorption – ou pertes, couplages vers l’ext´erieur36. Une approche« statistique » de la lo-calisation a ´et´e propos´ee dans des syst`emes d´esordonn´ees (quasi)unidimensionnels37. Mais la localisation en di-mension 1 poss`ede un statut un peu particulier ; ces exp´eriences ne constituent donc qu’une ´etape dans la compr´ehension du ph´enom`ene de localisation. Il faut tout de mˆeme reconnaˆıtre l’apport de certaines exp´eriences 1D qui permettent d’obtenir des visualisations directes remarquables de couplages entre modes localis´es38.
Apr`es une d´elicate p´eriode de mise au point, et grˆace `a un soutien financier important du laboratoire, nous avons obtenu tr`es r´ecemment les premi`eres cartographies de modes localis´es ! Ces derniers satisfont `a divers crit`eres de localisation et se comparent parfaitement aux r´esultats de simulations num´eriques effectu´ees en parall`ele (voir fi-gure 17). Je pr´esenterai un peu plus en d´etail ces r´ecents travaux dans la section IV.D.
35D. S. Wiersma, P. bartolini ; A. Lagendijk, and R. Righini, Na-ture 390, 671 (1997).
36Voir cependant la r´ef´erence suivante ou l’effet de l’absorption semble ˆetre parfaitement discrimin´e : M. St¨orzer, P. Gross, C. M. Aegerter, and G. Maret, Phys. Rev. Lett. 96, 063904 (2006). 37A. A. Chabanov, M. Stoychev, and A. Z. Genack, Nature 404,
850 (2000).
38P. Sebbah, B. Hu, J. M. Klosner, and A. Z. Genack, Phys. Rev. Lett. 96, 183902 (2006).
62 B. Complete S-matrix in a microwave cavity at room
temperature, Physical Review E 71, 016205 (2005)
Cet article est l’un de ceux pr´esent´es dans ce docu-ment dont je suis le plus fier : je le crois bien ´ecrit, et il repr´esente l’aboutissement de longues ann´ees d’efforts. Que de chemin parcouru depuis les premi`eres mesures r´ealis´ees en quasi catimini, avec Patrick Sebbah, sur un analyseur de r´eseaux de l’ESINSA...
Nous adoptons dans cet article une d´emarche « per-turbative », c’est-`a-dire que le mod`ele est progressive-ment rendu plus complexe pour atteindre la situation physique voulue. La mod´elisation de la cavit´e sans perte et des antennes est expos´ee dans la section II ; deux points importants, mais plus techniques, l’auto-adjonction du Hamiltonien total et l’expression de la matrice de cou-plage, sont trait´es dans l’annexe A. La section III intro-duit les pertes ohmiques et se conclue, avec l’´equation (50), par l’expression analytique compl`ete de la matrice de diffusion. Je souligne que, d’une part, la distinction entre pertes ohmiques homog`enes (´equation (48)) et in-homog`enes (´equation (49)), et, d’autre part, la fonction de transfert des antennes (51) et les pertes associ´ees (52), constituaient, `a la parution de cet article, des r´esultats totalement nouveaux. La section IV confronte, enfin, la mod´elisation aux exp´eriences : les tests sont pass´es avec un succ`es remarquable, comme le montrent notamment les figures 4, 5 et 7.