Soit un nombre pair 2x qui ne v´erifierait pas la conjecture de Goldbach. Il n’existerait alors aucune d´ecomposition additive de ce nombre pair 2xcomme somme de deux nombres premiers, l’un inf´erieur `ax et l’autre sup´erieur `a x.
Appelonsp1,p2,...,pΠ(x) les nombres premiers inf´erieurs `ax. Il faudrait alors que tous les nombres de la forme 2x−pi(pipremier impair inf´erieur `ax) soient compos´es. Ces nombres compos´es devraient avoir chacun au moins deux di-viseurs premiers impairs inf´erieurs `ax.
Etudions d’abord un cas d’´ecole, o`u seulement trois nombres premiers seraient inf´erieurs `ax, nous les appelleronsp1=a,p2=betp3=c. Il s’agit vraiment d’un cas d’´ecole puisque la conjecture a ´et´e v´erifi´ee par ordinateur jusqu’`a 3.1017 en d´ecembre 2005 par l’´equipe portugaise d’Oliveira et Silva. Repr´esentons pour ce cas d’´ecole tous les graphes possibles de divisibilit´e qui repr´esenteraient le fait que tous les 2x−pi(pi∈[a, b, c]) aient au moins deux diviseurs premiers impairs diff´erents chacun, `a choisir parmia,bouc. Le nombre total de tels graphes est 27 (= 33).
Expliquons d’abord comment lire un graphe : `a gauche, les sommets repr´esentent les nombres premierspi inf´erieurs `ax. A droite, les sommets repr´esentent leur
“correspondant”, ´egal `a 2x−pi pour chacun d’entre eux. On prend l’habitude de disposer les sommets `a des distances ´egales alors que les nombres premiers ne sont pas ´egalement espac´es en r´ealit´e, ce pour des raisons de lisibilit´e.
1Les recherches pr´esent´ees ici ont ´et´e d´eclench´ees par la lecture du roman de Doxiadis
“Oncle P´etros et la Conjecture de Goldbach”.
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Par exemple, le graphe ci-dessus se lit : 2x−aest divisible paraetc, 2x−b est divisible parbetcet 2x−cest divisible paraetc. Appelonsd1l’´ecart entre p1=aetp2=bet appelonsd2l’´ecart entrep2=betp3=c. On retrouve ces
´ecartsd1entre 2x−aet 2x−betd2entre 2x−bet 2x−c.
On gardera en m´emoire le fait que les ´ecarts entre les nombres premiers se retrouvent “en face”. Si les ´ecarts sont `a gauche de haut en basd1entrep1et p2,d2entrep2etp3, on retrouvera “en face” les mˆemes ´ecarts,d1entre 2x−p1
et 2x−p2etd2entre 2x−p2et 2x−p3.
Etudions toutes les possibilit´es que chacun des 2x−pi soit divisible par au moins 2 nombres premiers impairspidiff´erents sur la figure 2, page suivante.
Un graphe aboutit `a une contradiction s’il contient l’une des configurations d’arcs pr´esent´ees dans la figure 3.
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Expliquons le cas du graphe qu’on appelle d1 =k.p1. Si 2x−a et 2x−b, qui sont s´epar´es par l’´ecartd1 sont tous les deux divisibles parp1=a, cet ´ecart existant ´egalement entrep1=aetp2=b, alorsp2ne pourrait pas ˆetre premier, ce qui est contradiction avec nos hypoth`eses. On peut faire un raisonnement similaire pour le graphe nomm´ed2 =k.p2.
Pour les 3 configurations correspondant aux cas appel´esdi=k.pj avec j > i, l’impossibilit´e vient du fait qu’entre un nombre premier et le nombre premier pr´ec´edent, l’´ecart ne peut ˆetre un multiple de n’importe quel nombre premier sup´erieur (par d´efinition, un nombre est premier s’il y a un ´ecart de taille lui-mˆeme entre z´ero et lui, et il ne pourrait y avoir d’´ecart multiple de lui entre deux nombres premiers qui lui seraient inf´erieurs). Quant `a la configurationd2=k.p1, si 2x−p2 et 2x−p3, tous deux impairs, sont tous les deux divisibles par p1, l’´ecart entre eux est forc´ement strictement sup´erieur `a 2.p1. Or, le postulat de Bertrand, prouv´e par Tchebychev, affirme qu’il y a toujours un nombre premier entre un nombre et son double. Cela est en particulier valable si le nombre en question est premier. On a donc d2 < p2 < 2.p1. d2 ne pouvant ˆetre simultan´ement strictement inf´erieur et strictement sup´erieur `a 2.p1, on aboutit l`a-encore `a une contradiction ; ce cas est `a rapprocher des cas de contradictions concernantd2que l’on a d´ej`a trouv´es pr´ec´edemment ;
On voit que l’on aboutit `a une impossibilit´e d`es quedi=k.pj,∀i,∀j.
Probl`eme : on n’a pas envisag´e les possibilit´es pour les 2x−pid’ˆetre divis-ibles par un carr´e de premier impair, ce qui les rendrait ´egalement compos´es.
La combinatoire augmente alors consid´erablement : on passe de 3 possibilit´es d’associations pour chacun des 3 sommets `a droite `a 6 chacun : aa, ab, ac, bb, bc etcc. Ce qui fait un total de 216 (= 63) minis-graphes `a ´etudier. Sur ces 216, 189 contiennent des arcs contradictoires. Pour les 27 restant, dessin´es sur la figure ci-apr`es, on va pouvoir ´eliminer certains, grˆace `a la d´ecouverte de nouvelles contradictions mais on restera ennuy´ee par les autres.
Les arcs correspondant `a la divisibilit´e par un carr´e de premier impair sont dessin´es en bleu.
Les quatre configurations d’arcs page suivante sont elles-aussi impossibles :
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• Pour le casd1+d2=k.p1, ce qui aurait pour cons´equencep3non premier
;
• Pour le casd1 +d2 =k.p2, si 2x−p1et 2x−p3, tous deux impairs, sont tous les deux divisibles parp1, l’´ecart entre eux est forc´ement strictement sup´erieur `a 4.p1(il y a 2x−p2 entre eux deux). Comme cons´equence de Tchebychev, on a cette fois-ci qued1+d2< p1+p2<3.p1. On est face `a un nouveau cas de contradiction.
• Pour le casd1 +d2 =k.p3: il ne peut y avoir entre un nombre premierp et un nombre premier inf´erieur `apun ´ecart multiple dep;
On a ´epaissi les arcs de ces configurations impossibles, dans les 45 cas pour lesquels on n’avait pas encore conclu. Il reste encore les 6 cas pour lesquels chacun des 2x−piest divisible par un carr´e de premier impair. On a entour´e les graphes correspondant dans la figure de la page 5. Il faut comprendre pourquoi ces cas sont impossibles.
Pour r´esumer, d`es que deux sommets de la partie droite d’un graphe sont reli´es `a un mˆeme sommet de la partie gauche du graphe, on aboutit `a une contradiction. Les configurations d’arcs impossibles sont :
• soit de la formedi=k.pj ;
• soit de la forme Σdi=k.pj.