Ao estudarmos lógicas modais, adentramos em situações de análise de uma moda- lidade com certos comportamentos axiomáticos, a qual foge de outros comportamentos. Quando trazemos o foco para as lógicas modais não-normais, das quais as lógicas modais clássicas são um grupo restrito porém mais abrangente que as lógicas modais normais, ampliamos a construção de comportamentos lógicos. Nesse sentido, lógicas que sintetizam comportamentos de conhecimento, obrigatoriedade ou temporalidade podem ser construí- das.
Analisando semanticamente essas lógicas, o estudo de vizinhanças nos dá uma visão completa e correta delas. Além de trazer à luz um estudo mais abrangente de estruturas semânticas, elas trazem um entendimento matemático que se aproxima da construção, já conhecida, de modelos canônicos, em um paralelo entre os conjuntos maximais consisten- tes, conjuntos de provas e conjuntos verdade. Nessa perspectiva, o estudo de modelos de vizinhança aborda resultados, mesmo não-intuitivos, bastante interessantes.
Quando adentramos na construção de sistema de provas que buscam propriedades estruturais importantes na teoria da prova, podemos encontrar vários sistemas interes- santes, como por exemplo o sistema aninhado apresentado por LELLMANN; PIMENTEL (2017). Estudamos neste trabalho o sistema rotulado apresentado porDALMONTE; NEGRI (2018), que utiliza de uma notação semântica para construir os sequentes e regras do seu sistema de prova.
No exemplo a seguir podemos observar que, mesmo com um sequente inicial derivável, podemos construir provas no cálculo de sequentes G3E* que não conseguem nalizar. Isso ocorre pela tomada de decisão envolvendo a regra E do sistema.
A ` B
A ` A, B E A ` A ∨ B ∨R ` A → (A ∨ B) → R
Ao escolhermos a fórmula B no lado direito na regra E, estamos interrompendo a prova e não conseguiremos encontrar sequentes iniciais nas folhas da árvore de derivação. No próximo exemplo, vejamos como a mesma derivação seria construída utilizando o SRE*.
[a] : w, [a] : A, v : [a], v : A ` w : A, w : B, ¯[a] : A, v : A init [a] : w, [a] : A, v : [a] ` w : A, w : B, ¯[a] : A, v : A
∀L
[a] : w, [a] : A ` w : A, w : B, ¯[a] : A, [a] : A
∀R
[a] : w, [a] : A, v : ¯[a], v : A ` v : A, w : A, w : B, ¯[a] : A init [a] : w, [a] : A, v : ¯[a], v : A ` w : A, w : B, ¯[a] : A
∃R
[a] : w, [a] : A, ¯[a] : A ` w : A, w : B, ¯[a] : A
∃L
[a] : w, [a] : A ` w : A, w : B, ¯[a] : A R w : A ` w : A, w : B L
w : A ` w : A ∨ B ∨R ` w : A → w : (A ∨ B) → R
Claramente, pela estrutura de construção de sequentes mais complexos, a prova terá uma altura maior do que a prova apresentada anteriormente, mas vale a ressalva que, em termos de complexidade de prova, só adicionamos a complexidade referente aos rótulos. Mesmo com uma prova maior, podemos ver que o problema da não nalização da prova não ocorrerá nesse sistema, mesmo que para vias de apresentarmos uma prova menor tenhamos construído a prova diretamente com a regra R sendo aplicada sobre a fórmula A. Se aplicamos a regra R sobre a fórmula B não geramos informação que nos auxilie na nalização da prova, mas podemos continuar ainda assim com a prova.
Isso é possível nesse sistema de provas pois a regra E foi separada em várias etapas, utilizando o sentido semântico de vizinhanças. No SRE*, as regras para a modalidade se apresentam como duas, uma para cada lado do sequente no qual a modalidade aparece. Quando pensamos na construção de uma provador automático de teoremas, esse sistema, por não apresentar uma escolha como na regra E, terá uma computação mais rápida e e ciente. Assim, no sentido de construir provadores automáticos de teoremas para as lógicas não-normais apresentadas inicialmente nesse capítulo, o sistema SRE* apresenta uma vantagem decisiva sobre o cálculo de sequentes usual.
Por m, a notação utilizada no sistema para os rótulos, construindo rótulos que envol- vem as relações mundos-fórmulas, mundos-termos e termos-fórmulas, pode ser entendida pela de nição de realização, apresentada no Capítulo 4 e discutida nele. Essa noção de rótulos representa exatamente o signi cado semântico das estruturas, transformado nas regras ∀ e ∃.
rotulando uma fórmula a direita. Para isso ser verdadeiro, necessitamos que [a] ⊆ [[A]], a vizinhança seja subconjunto do conjunto verdade da fórmula. Ou seja, ∀v ∈ [a] ⇒ v ∈ [[A]]. Ora, a partir do signi cado de rótulos do tipo mundo-fórmulas e mundo-vizinhanças vemos que a regra ∀ R é construída a partir desse signi cado semântico, utilizando
variáveis como nas regras de ∀ e ∃ da lógica de primeira ordem.
Assim, encontramos uma di culdade quando estudamos sistemas de provas que uti- lizam de linguagem semântica para a construção dos sequentes quanto ao tamanho dos sequentes e das provas. Entretanto, as provas são feitas de formas mais automatizáveis, uma vez que esses sistemas têm como objetivo a retirada de uma regra de derivação que envolva o processo de escolha. A ideia de separar um grande passo da prova, que envolve uma complexidade alta, em alguns pequenos passos, mais facilmente compreendíveis traz ganhos não apenas estruturais para o sistema de provas, mas traz também uma compre- ensão mais clara sobre o signi cado da construção da prova.
Essa extensa análise sobre sistemas de provas fornece ferramentas para a construção de sistemas de provas para lógicas modais clássicas especí cas, a partir da axiomatização escolhida, por exemplo construir um sistema rotulado para lógica temporal ou epistêmica. Além disso, a análise das estruturas de vizinhança para lógicas modais não normais in- tuicionista pode ser uma possibilidade de trabalho futuro, seguindo conceitos e ideias de SIMPSON(1994), adaptando a construção para vizinhanças.
Referências
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