Matériels et Méthodes
V. Recherche bibliographique :
10. Évolution/Suivi :
Observ´amos na sec¸c˜ao anterior que n˜ao ´e de todo conveniente definir os polin´omios com coeficientes em A como fun¸c˜oes de determinado tipo, com dom´ınio e valores em A. Apesar disso, nada nos impede de definir fun¸c˜oes de A em A a partir de polin´omios em A[x].
3.4. Fun¸c˜oes Polinomiais 139
Defini¸c˜ao 3.4.1. Se p = PNn=0pnxn ´e um polin´omio em A[x], a fun¸c˜ao p∗ : A → A definida por p∗(a) = PN
n=0pnan diz-se func¸˜ao polinomial associada a p.
Exemplo 3.4.2.
Seja A = Z2, e p = 1+x+x2(7). A fun¸c˜ao polinomial associada ao polin´omio
p´e p∗ : Z
2 → Z2 dada por p∗(a) = 1 + a + a2, para qualquer a∈ Z2. Neste
caso, temos p∗(0) = p∗(1) = 1, e portanto p∗ ´e uma fun¸c˜ao constante, apesar
de p n˜ao ser um polin´omio constante. Em particular, se q = 1, temos p6= q
e p∗= q∗.
Sendo A um anel e designando por AAo conjunto das fun¸c˜oes f : A→ A, observ´amos no Cap´ıtulo 1 que AA ´e um anel, com as opera¸c˜oes usuais de soma e produto de fun¸c˜oes. A fun¸c˜ao que associa a cada polin´omio p∈ A[x] a respectiva fun¸c˜ao p∗ : A→ A ´e uma fun¸c˜ao Ψ : A[x] → AA, e temos Proposi¸c˜ao 3.4.3. Ψ : A[x]→ AA ´e um homomorfismo.
Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q ∈ A[x], onde podemos sempre escrever (tomando se necess´ario coeficientes nulos adicionais) p =PNn=0pnxne q =PNn=0qnxn.
Supondo que a∈ A, temos a provar as seguintes igualdades: (p + q)∗(a) = p∗(a) + q∗(a), e
(pq)∗(a) = p∗(a)q∗(a).
A primeira destas igualdades foi provada no Cap´ıtulo 2 em termos um pouco mais gerais. A segunda pode ser demonstrada sem grandes dificuldades por indu¸c˜ao em N .
Exemplos 3.4.4.
1. Dado um polin´omio p∈ A[x], a fun¸c˜ao p∗ associada est´a definida n˜ao s´o no
anel A como em qualquer extens˜ao de A. Por exemplo, sendo p = 1 + 2x +
3x2
∈ Z[x], a fun¸c˜ao polinomial associada ´e em princ´ıpio p∗ : Z→ Z, dada
naturalmente por p∗(n) = 1 + 2n + 3n2, para qualquer n
∈ Z. No entanto,
como Z⊂ Q podemos tamb´em considerar q∗ : Q→ Q, dada igualmente por
q∗(r) = 1 + 2r + 3r2, para qualquer r
∈ Q.
De um modo geral, se o anel B ´e uma extens˜ao do anel A (no sentido em que
existe um homomorfismo injectivo φ : A→ B, donde φ(A) ´e um subanel de B
isomorfo a A), e p =PNn=0pnxn ´e um polin´omio em A[x], ent˜ao p determina
uma fun¸c˜ao polinomial q∗ : B → B, nomeadamente q∗(b) = PN
n=0φ(pn)bn.
´
E claro que, na nota¸c˜ao da sec¸c˜ao anterior, temos q∗ = (pφ)∗. Tal como
observ´amos em rela¸c˜ao `a forma can´onica de p∗, ´e uma mera quest˜ao de bom
7Daqui em diante, n˜ao distinguimos entre o inteiro n e a classe n, sendo claro do
contexto se nos referimos a um inteiro (elemento de Z) ou a uma classe de equivalˆencia nalgum Zm.
senso saber se utilizamos uma letra diferente para q∗e se ´e necess´ario escrever
explicitamente os coeficientes na forma φ(pn), ou se ´e mais razo´avel usar o
mesmo s´ımbolo para pn e φ(pn).
2. Continuando o exemplo anterior, recordamos que M2(Z) ´e o anel das matri-
zes 2× 2 com entradas inteiras, e que o conjunto das matrizes da forma nI
(onde I ´e a matriz identidade e n ∈ Z) ´e isomorfo a Z. O monomorfismo
φ : Z → M2(Z) ´e dado por φ(n) = nI, e portanto (pφ)∗ : M2(Z) → M2(Z)
´e dada por (pφ)∗(C) = φ(1) + φ(2)C + φ(3)C2, onde C designa agora uma
qualquer matriz em M2(Z). ´E claro que a express˜ao φ(1) + φ(2)C + φ(3)C2 se
pode simplificar neste caso para I + 2C + 3C2, express˜ao em tudo igual `a usada
no exemplo 1, com excep¸c˜ao da pequena “subtileza” de substituir o s´ımbolo “1”
pelo s´ımbolo “I”, este ´ultimo representando evidentemente a matriz identidade.
No primeiro exemplo, a identifica¸c˜ao do anel Z com a sua imagem em Q ´e aceit´avel e recomend´avel. No segundo exemplo n˜ao ´e necess´ario substituir os coeficientes de grau > 0 (porque o produto de uma matriz pelo inteiro n ´e igual ao produto da mesma matriz por nI), mas ´e indispens´avel substituir o coeficiente com grau zero, porque a soma de uma matriz com um inteiro n n˜ao est´a definida, e portanto n˜ao deve ser usada para representar a soma da mesma matriz com a matriz nI.
Por outro lado, podemos utilizar estas ideias para formalizar a no¸c˜ao de raiz de um polin´omio:
Defini¸c˜ao 3.4.5. Seja p ∈ A[x] e B uma extens˜ao de A. Dizemos que b∈ B ´e uma raiz de p se p∗(b) = 0.
Quando escrevemos a express˜ao p∗(a), estamos habituados a considerar p∗ como fixo e a como vari´avel (a “vari´avel independente” da fun¸c˜ao p∗). No entanto, ´e poss´ıvel considerar ao mesmo tempo p∗ e a como vari´aveis independentes. Supondo que A ´e mais uma vez um qualquer anel abeliano com identidade e B uma sua extens˜ao, introduzimos a seguinte defini¸c˜ao (sem esquecer as observa¸c˜oes acima a prop´osito da identifica¸c˜ao entre um anel e uma sua imagem isomorfa):
Defini¸c˜ao 3.4.6. A fun¸c˜ao Val : A[x]×B → B ´e dada por Val(p, b) = p∗(b). Val(p, b) diz-se o valor do polin´omio p no ponto b.
A fun¸c˜ao Val tem duas vari´aveis independentes (o polin´omio p e o ponto b). Se fixarmos o polin´omio p, Val reduz-se `a fun¸c˜ao p∗ : B→ B, associada ao polin´omio p, de que j´a vimos v´arios exemplos. ´E tamb´em poss´ıvel fixar o valor de b, para obter uma fun¸c˜ao ψ : A[x]→ B.
Exemplos 3.4.7.
1. Seja A = Z, B = C e b = i. Temos portanto ψ : Z[x] → C dada por
ψ(p) = p∗(i), e para determinar a imagem de ψ(Z[x]) recordamos que qualquer
3.4. Fun¸c˜oes Polinomiais 141
a 2. Por outras palavras, p = (1+x2)q+(a
0+a1x), onde q∈ Z[x] e a0, a1∈ Z.
Logo p∗(i) = a0+ a1i ´e um inteiro de Gauss.
2. Seja A = Q, B = R e b = √2. Neste caso, ψ(p) = p∗(√2), e como p =
(2−x2)q + (a
0+ a1x), onde q∈ Q[x] e a0, a1∈ Q, temos p∗(√2) = a0+ a1√2,
e conclu´ımos que ψ(Q[x]) ´e o conjunto dos n´umeros reais da forma a0+ a1√2
com a0, a1∈ Q.
3. O anel A[x] ´e sempre uma extens˜ao de A, e por isso supomos agora A ar-
bitr´ario, B = A[x] e b = x. ´E ´obvio que ψ(p) = p∗(x) = p, i.e., ψ : A[x]→
A[x] ´e a identidade. Por este motivo, podemos designar o polin´omio p pelo
s´ımbolo p∗(x), usualmente simplificado para p(x).
Por analogia com o ´ultimo exemplo, sempre que B ´e uma extens˜ao de A, b∈ B, e ψ : A[x] → B ´e dada por ψ(p) = p∗(b), designamos o conjunto ψ(A[x]) pelo s´ımbolo A[b]. ´E esta a raz˜ao pela qual introduzimos o s´ımbolo Z[i] quando primeiro referimos os inteiros de Gauss. No caso do segundo dos Exemplos 3.4.7, temos
Q[√2] ={p∗(√2) : p∈ Q} = {a0+ a1 √
2 : a0, a1∈ Q}.
Os exemplos anteriores sugerem que A[b] ´e sempre um subanel de B. ´E isso que provamos a seguir.
Proposi¸c˜ao 3.4.8. Fixado b ∈ B, e definindo ψ : A[x] → B por ψ(p) = p∗(b), ψ ´e um homomorfismo de an´eis, donde A[b] ´e um subanel de B. Demonstra¸c˜ao. Procedemos como na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.4.3.
Por analogia com a Defini¸c˜ao 3.3.11, sempre que A[b] ´e um dom´ınio integral designamos o seu corpo de frac¸c˜oes por A(b).
Note-se que A[b] cont´em necessariamente os valores de todos os po- lin´omios constantes, que formam um subanel de A[b] isomorfo a A. Por- tanto, A[b] ´e sempre uma extens˜ao de A. (O anel dos inteiros de Gauss cont´em um subanel isomorfo a Z, Q(√2) cont´em um subanel isomorfo a Q, etc.). Por outro lado, nos Exemplos 3.4.7, ψ ´e injectiva apenas no ´ultimo, e portanto s´o no ´ultimo caso ´e que A[b] ´e isomorfo a A[x]. ´E claro que ψ ´e injectiva se e s´o se o seu n´ucleo N (ψ) se reduz ao polin´omio zero, e que o n´ucleo de ψ, dado por
N (ψ) ={p ∈ A[x] : p∗(b) = 0},
´e simplesmente o conjunto dos polin´omios com coeficientes em A que tˆem b como uma das suas ra´ızes. Conclu´ımos que ψ ´e injectiva se e s´o se b n˜ao ´e raiz de nenhum polin´omio n˜ao-nulo com coeficientes em A.
Defini¸c˜ao 3.4.9. Seja B uma extens˜ao de A, e b ∈ B. Dizemos que b ´e alg´ebrico sobre A se existe algum polin´omio n˜ao-nulo p ∈ A[x] tal que p∗(b) = 0. Caso contr´ario, b diz-se transcendente sobre A.
Exemplo 3.4.10.
Como vimos acima, i ´e alg´ebrico sobre Z, e √2 ´e alg´ebrico sobre Q (como
ali´as sobre Z). O polin´omio x ´e sempre transcendente sobre A.
Em geral, se B ´e uma qualquer extens˜ao de A, ent˜ao B pode conter ele- mentos alg´ebricos e elementos transcendentes sobre A, ou apenas elementos alg´ebricos sobre A. Distinguimos estas possibilidades como se segue: Defini¸c˜ao 3.4.11. B diz-se uma extens˜ao alg´ebrica de A se todos os seus elementos s˜ao alg´ebricos sobre A. Caso contr´ario, B diz-se uma ex- tens˜ao transcendente de A.
Exemplos 3.4.12.
1. O anel dos inteiros de Gauss ´e uma extens˜ao alg´ebrica de Z. Para o ve-
rificar, notamos apenas que o inteiro de Gauss m + ni ´e raiz do polin´omio
com coeficientes inteiros (x− m)2+ n2= x2
− 2mx + m2+ n2, que ´e sempre
n˜ao-nulo.
2. Q[√2] ´e uma extens˜ao alg´ebrica de Q, porque a + b√2 ´e raiz do polin´omio
com coeficientes racionais (x− a)2
− 2b2, mais uma vez n˜ao-nulo.
3. Q ´e uma extens˜ao alg´ebrica de Z, porque mn ´e raiz de nx− m ∈ Z[x].
4. C ´e uma extens˜ao alg´ebrica de R, porque a + bi ´e raiz de (x− a)2+ b2∈ R[x].
5. A[x] ´e uma extens˜ao transcendente de A.
6. Provaremos adiante que R ´e uma extens˜ao transcendente de Q.
O pr´oximo resultado diz essencialmente que A[x] ´e a menor extens˜ao transcendente de A. A sua demonstra¸c˜ao fica como exerc´ıcio.
Teorema 3.4.13. Qualquer extens˜ao transcendente de A cont´em um suba- nel isomorfo a A[x].
Exerc´ıcios.
1. Conclua a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.4.3.
2. Suponha que √n ´e irracional, e mostre que Q[√n] ´e uma extens˜ao alg´ebrica de Q, um subcorpo de R, e um espa¸co vectorial de dimens˜ao 2 sobre Q.8
3. Demonstre o Teorema 3.4.13.
4. Suponha que A⊂ B s˜ao dom´ınios integrais e b ∈ B. Mostre que:
8Os corpos da forma Q[√a] onde a n˜ao ´e um quadrado perfeito, os chamados corpos